【正文】 面積的曲面積分為 . 如果積分曲面S的方程為x=x(y, z), Dyz為S在yOz面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為 . 例1 計算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部. 解 S的方程為, Dxy : x2+y2163。 當(dāng)(v,^n)時, Avn0, 這時我們?nèi)园袮vn稱為流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量, 它表示流體通過閉區(qū)域A實際上流向n所指一側(cè), 且流向n所指一側(cè)的流量為Avn. 因此, 不論(v,^n)為何值, 流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量均為Avn . 把曲面S分成n小塊: DS1, DS2, , DSn(DSi同時也代表第i小塊曲面的面積). 在S是光滑的和v是連續(xù)的前提下, 只要DSi的直徑很小, 我們就可以用DSi上任一點(xi, hi, zi )處的流速 vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k代替DSi上其它各點處的流速, 以該點(xi, hi, zi )處曲面S的單位法向量 ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k代替DSi上其它各點處的單位法向量. 從而得到通過DSi流向指定側(cè)的流量的近似值為 viniDS i (i=1, 2, ,n) 于是, 通過S流向指定側(cè)的流量 , 但 cosaiDSi187。 令l174。(DSi)xy ,所以 viniDSi187。 0取上式兩端的極限, 就得到 . 同理當(dāng)S取下側(cè)時, 有 . 因為當(dāng)S取上側(cè)時, cosg0, (DSi)xy=(Dsi)xy. 當(dāng)(xi, hi, zi)206。y163。 前后面分別記為S3和S4。y163。a, 0163。y163。 S4: x=0 (0163。c)的后側(cè)。z163。z163。0的部分. 解 把有向曲面S分成以下兩部分: : (x179。0)的下側(cè). S1和S2在xOy面上的投影區(qū)域都是Dxy : x2+y2163。10. 6 高斯公式 通量與散度 一、高斯公式 定理1設(shè)空間閉區(qū)域W是由分片光滑的閉曲面S所圍成, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 或 , 簡要證明 設(shè)W是一柱體, 上邊界曲面為S1: z=z2(x, y), 下邊界曲面為S2: z=z1(x, y), 側(cè)面為柱面S3, S1取下側(cè), S2取上側(cè)。x163。z163。y163。h 2)的上側(cè), 則S與S1一起構(gòu)成一個閉曲面, 記它們圍成的空間閉區(qū)域為W, 由高斯公式得 提示: . 而 ,因此 . 提示: 根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性, . . 例3 設(shè)函數(shù)u(x, y, z)和v(x, y, z)在閉區(qū)域W上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明 , 其中S是閉區(qū)域W的整個邊界曲面, 為函數(shù)v(x, y, z)沿S的外法線方向的方向?qū)?shù), 符號, 稱為拉普拉斯算子. 這個公式叫做格林第一公式. 證: 因為方向?qū)?shù) , 其中cosa、cosb、cosg是S在點(x, y, z)處的外法線向量的方向余弦. 于是曲面積分 . 利用高斯公式, 即得 , 將上式右端第二個積分移至左端便得所要證明的等式. 二、通量與散度 高斯公式的物理意義: 將高斯公式 改寫成 , 其中vn=vn=Pcosa +Qcosb +Rcosg, n={cosa , cosb , cosg}是S在點(x, y, z)處的單位法向量. 公式的右端可解釋為單位時間內(nèi)離開閉區(qū)域W的流體的總質(zhì)量, 左端可解釋為分布在W內(nèi)的源頭在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量. 散度: 設(shè)W的體積為V, 由高斯公式得 , 其左端表示W(wǎng)內(nèi)源頭在單位時間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值. 由積分中值定理得 . 令W縮向一點M(x, y, z)得 . 上式左端稱為v在點M的散度, 記為divv, 即 . 其左端表示單位時間單位體積分內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量. 一般地, 設(shè)某向量場由 A(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k 給出, 其中P, Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), S是場內(nèi)的一片有向曲面, n是S上點(x, y, z)處的單位法向量, 則叫做向量場A通過曲面S向著指定側(cè)的通量(或流量), 而叫做向量場A的散度, 記作div A, 即 . 高斯公式的另一形式: , 或, 其中S是空間閉區(qū)域W的邊界曲面, 而 An=An=Pcosa+Qcosb+Rcosg是向量A在曲面S的外側(cè)法向量上的投影. 167。0, y179。0)的上側(cè), : (x179。 除SS4外, 其余四片曲面在yO z 面上的投影為零, 因此 =a2bc . 類似地可得 , . 于是所求曲面積分為(a+b+c)abc. 例2 計算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=1外側(cè)在x179。x163。x163。b, 0163。z163。b)的下側(cè)。 S2: z=0 (0163。x163。z163。x163。0時, 總存在, 則稱此極限為函數(shù)R(x, y, z)在有向曲面S上對坐標(biāo)x、y的曲面積分:, 記作,即 . 類似地有 . . 其中R(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 定義 設(shè)S是空間內(nèi)一個光滑的曲面, n=(cosa , cosb , cosg)是其上的單位法向量, V(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))是確在S上的向量場. 如果下列各式右端的積分存在, 我們定義 , , . 并稱為P在曲面S上對坐標(biāo)y、z的曲面積分, 為Q在曲面S上對坐標(biāo)z、x的曲面積分, 為R在曲面S上對坐標(biāo)y、z的曲面積分. 其中P、Q、R叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 以上三個曲面積分也稱為第二類曲面積分. 對坐標(biāo)的曲面積分的存在性: 對坐標(biāo)的曲面積分的簡記形式: 在應(yīng)用上出現(xiàn)較多的是 . 流向S指定側(cè)的流量F可表示為 F. 一個規(guī)定: 如果是分片光滑的有向曲面, 我們規(guī)定函數(shù)在S上對坐標(biāo)的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對坐標(biāo)的曲面積分之和. 對坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì): 對坐標(biāo)的曲面積分具有與對坐標(biāo)的曲線積分類似的一些性質(zhì). 例如(1)如果把S分成S 1和S2, 則 . (2)設(shè)S是有向曲面, S表示與S取相反側(cè)的有向曲面, 則 . 這是因為如果n=(cosa , cosb , cosg)是S的單位法向量, 則S上的單位法向量是 n =( cosa , cosb , cosg). 二、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法 將曲面積分化為二重積分: 設(shè)積分曲面S由方程z=z(x, y)給出的, S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy , 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)R(x, y, z)在S上連續(xù), 則有, 其中當(dāng)S取上側(cè)時, 積分前取“+”。(P(x, y, z)cosa+Q(x, y, z)cosb +R(x, y, z)cosg )DS . 如果把曲面S分成n小塊si(i=1, 2, (DSi)yz , cosbiDSi187。(DSi)zx , cosgiDSi187。10. 5 對坐標(biāo)的曲面積分 一、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 有向曲面: 通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的. 例如由方程z=z(x, y) 表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè). 設(shè)n=(cosa, cosb, cosg)為曲面上的法向量, 在曲面的上側(cè)cosg0, 在曲面的下側(cè)cosg0. 閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分. 類似地, 如果曲面的方程為y=y(z, x),則曲面分為左側(cè)與右側(cè), 在曲面的右側(cè)cosb0, 在曲面的左側(cè)cosb0. 如果曲面的方程為x=x(y, z), 則曲面分為前側(cè)與后側(cè), 在曲面的前側(cè)cos a0, 在曲面的后側(cè)cosa0. 設(shè)S是有向曲面. 在S上取一小塊曲面DS, 把DS投影到xOy面上得一投影區(qū)域, 這投影區(qū)域的面積記為(Ds)(即cosg都是正的或都是負(fù)的). 我們規(guī)定DS在xOy面上的投影(DS)xy為 , 其中cosg186。 (3)設(shè)在曲面S上