同濟大學(xué)第六版工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(文件)
【正文】 ??????????????????????????????????? (i) 若 R（ B） R(A)，則 ~B 中的 11??rd ，于是 ~B 的第 r+1 行對應(yīng)方程為 0=1，矛盾，故方程組（ *）無解。1139。11139。139。 注： （ ii）（ iii）證明過程同時提供了求解方法；對于（ iii） ,方程組（ *）的解也可用（“參數(shù)式”）表示（見 P73 例 10） 例（ P74 例 12）求解 ?????????????????0895443313432143214221xxxxxxxxxxxx 解：??????????????????????????????????????000004147231045432301~089514431311311)(rbAB r(B)=r(A)=2n=4 ?方程組有無限多解。 解：原方程組解為 bxA ???， ?A 為方陣， ?（ 1）可用 Cramer 法則判定。 例 3 問 a ,b 取何值時下面方程組 ? ?????????????????????????12323122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx 有唯一解，無解或有無限多解？ 解： ? ??????????????????????????????????????01000101001221001111~112323101221001111abaababABr （ i） 當 1?a 時， R(B)=R(A)=4=n,方程組有唯一解； （ ii） 當 a=1, 1?b 時， R(B)=3R(A)=2，方程組無解； （ iii） 當 a=1, 1?b 時， R(B)=R(A)=2n,方程組有無限多解。 反之，設(shè)lxsxx?????是 0???xC的解，則 0)( ??? ?????? xCxBAxAB 又 ? A 為列滿秩矩陣， ? 0???xB（見 P71） ???x亦是 0???xB的解。 設(shè) AB=C，則 ? ?)(),(m in)( BRARCR ? 證 : 由 AB=C 知 ， 矩 陣 方 程 CxA ???有解)()()()()(, ARcARCRARcARBx ???????? 又 ? TTT CAB ? 由以上證明知 )()()()( BRBRCRCR TT ??? ? ?)(),(m in)( BRARCR ?? 例 4（ P80,20）設(shè) A為列滿秩矩陣， AB=C，證明線性方程組 0???xB與0???xC 同解。 （ 2）（ 3）當 時0?A ，方程組或無解或有無限多解 當 時，0?? 由 ? ? ??????????????????????000010000111~011131110111 rbAB 知， R(B)=2R(A)=1，此時方程組無解 當 時，3??? 由 ? ? ??????????????????????????????000021101101~321131210112 rbAB 知 ， R(B)= R(A)=23，此時方程有無限多解，且通解為： ????????????????????????????????????????????02111121321321cxxxcxcxcx或 ? ?Rc? 注：亦可直接將 ? ? ）解法行階梯陣（見 175~ PbAB r? ，由于 B 中含參數(shù) ? ，行變換并不方便。（參見 P73 例 10） 例 2（ P75 例 13）設(shè) ? ?? ??????????????????????3213213211310)1(xxxxxxxxx 當? 取何值，方程組（ 1）有唯一解 。1139。 )(*39。11239。 都不出現(xiàn)，于是 ~B 對應(yīng)方程組有唯一解： ),.2,1( nidx ii ??? ，故方程（ *）有唯一解。1139。 n 元線性方程 bxA ???（ *） (i) 無解 ? R（ B） R(A) (ii) 有唯一解 ? R（ B） =R(A) =n (iii) 有無限多解 ? R（ B） =R(A)=rn 證：只需證明（ i） ~（ iii）的充分性（“ ?”） 設(shè) R（ A） =r，對 B=? ?bA 進行一系列初等行變換，在允許調(diào)換未知量順序（必要時）的情況下，可如下行最簡陣： ? ?rbAB ~?~139。(4) 證明見 chp4 注：（ 1）的特例，當 B=b 為非零列向量時，有 1)(),()( ??? ARbARAR (4)的推廣：若 ? ?mxnijaA?， ? ?nxsijbB?，則 nBRARABR ??? )()()( 例 4 設(shè) n階方陣 A滿足 0232 ??? EAA ,證明： nEAREAR ???? )2()( （ *） 證：由 0)2)((23 ?????? EAEAEAA ,由性質(zhì)（ 4）得 ： nEAREAR ???? )2()( （ 1） ,)2()( EEAEA ????? 由性質(zhì)（ 2）得： n=R(
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1