【正文】 以化成方程(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2. 的形式, 它的圖形就是一個球面. 二、旋轉(zhuǎn)曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 設(shè)在yO z 坐標(biāo)面上有一已知曲線C, 它的方程為f (y, z) =0, 把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周, 就得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面. 它的方程可以求得如下: 設(shè)M(x, y, z)為曲面上任一點, 它是曲線C上點M1(0, y1, z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的. 因此有如下關(guān)系等式, , , 從而得 , 這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 在曲線C的方程f(y, z)=0中將y改成, 便得曲線C繞z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 同理, 曲線C繞y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 例4 直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周, 所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面. 兩直線的交點叫做圓錐面的頂點, 兩直線的夾角a ()叫做圓錐面的半頂角. 試建立頂點在坐標(biāo)原點O, 旋轉(zhuǎn)軸為z軸, 半頂角為a的圓錐面的方程. 解 在yO z 坐標(biāo)面內(nèi), 直線L的方程為 z=ycot a , 將方程z=ycota 中的y改成, 就得到所要求的圓錐面的方程 , 或 z2=a2 (x2+y2), 其中a=cot a . 例5. 將zOx坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為。S162。S162。0時, 得平面z=t上的橢圓 . 當(dāng)t變化時, 上式表示一族長短軸比例不變的橢圓, 當(dāng)|t|從大到小并變?yōu)?時, 這族橢圓從大到小并縮為一點. 綜合上述討論, 可得橢圓錐面的形狀如圖. (2)橢球面 由方程所表示的曲面稱為橢球面. 球面在x軸、y軸或z軸方向伸縮而得的曲面. 把x2+y2+z2=a2沿z軸方向伸縮倍, 得旋轉(zhuǎn)橢球面。7. 4 空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩個曲面的交線. 設(shè)　　　　　　　　　　F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0是兩個曲面方程, 它們的交線為C. 因為曲線C上的任何點的坐標(biāo)應(yīng)同時滿足這兩個方程, 所以應(yīng)滿足方程組. 反過來, 如果點M不在曲線C上, 那么它不可能同時在兩個曲面上, 所以它的坐標(biāo)不滿足方程組. 因此, 曲線C可以用上述方程組來表示. 上述方程組叫做空間曲線C的一般方程. 例1 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示母線平行于z軸的圓柱面, 其準線是xOy 面上的圓, 圓心在原點O, 半行為1. 方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面, 由于它的準線是zOx 面上的直線, 因此它是一個平面. 方程組就表示上述平面與圓柱面的交線. 例2 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示球心在坐標(biāo)原點O, 半行為a的上半球面. 第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面, 它的準線是xOy 面上的圓, 這圓的圓心在點, 半行為. 方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線. 例2162。的坐標(biāo)為x, y,0. 由于動點在圓柱面上以角速度w 繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 所以經(jīng)過時間t,∠AOM162。|sin∠AOM162。t163。q163。j163。1. : 167。 另一方面表明 它必通過原點, 即D=0. 因此可設(shè)這平面的方程為 By+Cz=0. 又因為這平面通過點(4, 3, 1), 所以有 3BC=0, 或 C=3B . 將其代入所設(shè)方程并除以B (B185。0). 解 設(shè)所求平面的方程為 Ax+By+Cz+D=0. 因為點P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)都在這平面上, 所以點P、Q、R的坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程, 即有 由此得 , , . 將其代入所設(shè)方程, 得 , 即 . 上述方程叫做平面的截距式方程, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距. 三、兩平面的夾角 兩平面的夾角: 兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角. 設(shè)平面P1和P2的法線向量分別為n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2), 那么平面P1和P2的夾角q 應(yīng)是和兩者中的銳角, 因此, . 按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式, 平面P1和P2的夾角q 可由 .來確定. 從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論: 平面P1和P2垂直相當(dāng)于A1 A2 +B1B2 +C1C2=0。0時, 這方程組應(yīng)理解為 。m1m2+n1n2+p1p2=0。 Am+Bn+Cp=0. 例3 求過點(1, 2, 4)且與平面2x3y+z4=0垂直的直線的方程. 解 平面的法線向量(2, 3, 1)可以作為所求直線的方向向量. 由此可得所求直線的方程為 . 五、雜例 例4 求與兩平面 x4z=3和2xy5z=1的交線平行且過點(3, 2, 5)的直線的方程. 解 平面x4z=3和2xy5z=1的交線的方向向量就是所求直線的方向向量s , 因為 , 所以所求直線的方程為 . 例5 求直線與平面2x+y+z6=0的交點. 解 所給直線的參數(shù)方程為 x=2+t, y=3+t, z=4+2t, 代入平面方程中, 得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)6=0. 解上列方程, 得t=1. 將t=1代入直線的參數(shù)方程, 得所求交點的坐標(biāo)為 x=1, y=2, z=2. 例6 求過點(2, 1, 3)且與直線垂直相交的直線的方程. 解 過點(2, 1, 3)與直線垂直的平面為 3(x2)+2(y1)(z3)=0, 即3x+2yz=5. 直線與平面3x+2yz=5的交點坐標(biāo)為. 以點(2, 1, 3)為起點, 以點為終點的向量為 . 所求直線的方程為 . 例6162。. 例2 求直線L1:和L2:的夾角. 解 兩直線的方向向量分別為s1 = (1, 4, 1)和s2 = (2, 2, 1). 設(shè)兩直線的夾角為j , 則 , 所以. 四、直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時, 直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角, 當(dāng)直線與平面垂直時, 規(guī)定直線與平面的夾角為. 設(shè)直線的方向向量s=(m, n, p), 平面的法線向量為n=(A, B, C), 直線與平面的夾角為j , 那么, 因此. 按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式, 有. 因為直線與平面垂直相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量平行, 所以, 直線與平面垂直相當(dāng)于 . 因為直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量垂直, 所以, 直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于 Am+Bn+Cp=0. 設(shè)直線L的方向向量為(m, n, p), 平面P的法線向量為(A, B, C) , 則 L^P 219。0時, 這方程組應(yīng)理解為 . 直線的任一方向向量s的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一組方向數(shù), 而向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦. 由直線的對稱式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程. 設(shè), 得方程組 . 此方程組就是直線的參數(shù)方程. 例1 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線. 解 先求直線上的一點. 取x=1, 有 . 解此方程組, 得y=2, z=0, 即(1, 2, 0)就是直線上的一點. 再求這直線的方向向量s. 以平面x+y+z=1和2xy+3z=4的法線向量的向量積作為直線的方向向量s : s=(i+j+k)180。 n2. 因為 , 所以所求平面方程為 2(x1)(y1)(z1)=0, 即 2xyz=0. 例7 設(shè)P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點, 求P0到這平面的距離. 解 設(shè)en是平面上的單位法線向量. 在平面上任取一點P1(x1, y1, z1), 則P0到這平面的距離為 .提示: , , 例8 求點(2, 1, 1)到平面 x+yz+1=0的距離. 解 . 167。0, b185。 By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0, Ax+By+D=0。q163。j163。t163。=vt .因此螺旋線的參數(shù)方程為 , 也可以用其他變量作參數(shù)。|cos∠AOM162。 隨著t的變動便得曲線C上的全部點. 方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程. 例3 如果空間一點M 在圓柱面x2+y2=a2 上以角速度w繞z軸旋轉(zhuǎn), 同時又以線速度v 沿平行于z軸的正方向上升(其中w、v都是常數(shù)), 那么點M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線. 試建立其參數(shù)方程. 解 取時間t為參數(shù). 設(shè)當(dāng)t=0時, 動點位于x軸上的一點A(a, 0, 0)處. 經(jīng)過時間t, 動點由A運動到M(x, y, z)(圖744). 記M在xOy 面上的投影為M162。 再沿y軸方向伸縮倍, 即得單葉雙曲面. (4)雙葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱為雙葉雙曲面. 把zOx面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn), 得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面。的方程. 例如，把圓錐面沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面的方程為, 即. (1)橢圓錐面 由方程所表示的曲面稱為橢圓錐面. 圓錐曲面在y軸方向伸縮而得的曲面. 把圓錐面沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面稱為橢圓錐面. 以垂直于z軸的平面z=t截此曲面, 當(dāng)t=0時得一點(0, 0, 0)。S162。是將曲面S沿x軸方向伸縮l倍所得的曲面. 顯然, 若(x, y, z)206。7. 3 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 在空間解析幾何中, 任何曲面都可以看作點的幾何軌跡. 在這樣的意義下, 如果曲面S與三元方程F(x, y, z)=0有下述關(guān)系: (1) 曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程F(x, y, z)=0。b . 解 =2ij2kk4ji =i5j 3k. 例5 已知三角形ABC的頂點分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解 根據(jù)向量積的定義, 可知三角形ABC的面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i6j+2k.于是 . 例6 設(shè)剛體以等角速度w 繞l 軸旋轉(zhuǎn), 計算剛體上一點M的線速度. 解 剛體繞l 軸旋轉(zhuǎn)時, 我們可以用在l 軸上的一個向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)則定出: 即以右手握住l 軸, 當(dāng)右手的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時, 大姆指的指向就是w的方向. 設(shè)點M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a , 再在l軸上任取一點O作向量r =, 并以q 表示w與r的夾角, 那么a =