【正文】 L1 // L2219。 平面P 1和P 2平行或重合相當(dāng)于. 例5 求兩平面 xy+2z6=0和2x+y+z5=0的夾角. 解 n1=(A1, B1, C1)=(1, 1, 2), n2=(A2, B2, C2)=(2, 1, 1), , 所以, 所求夾角為. 例6 一平面通過兩點M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1)且垂直于平面x+y+z=0, 求它的方程. 解 方法一: 已知從點M1到點M2的向量為n1=(1, 0, 2), 平面x+y+z=0的法線向量為n2= (1, 1, 1). 設(shè)所求平面的法線向量為n=(A, B, C). 因為點M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1)在所求平面上, 所以n^n1, 即A2C=0, A=2C. 又因為所求平面垂直于平面x+y+z=0, 所以n^n1, 即A+B+C=0, B=C. 于是由點法式方程, 所求平面為 2C(x1)+C(y1)+C(z1)=0, 即2xyz=0. 方法二: 從點M1到點M2的向量為n1=(1, 0, 2), 平面x+y+z=0的法線向量為n2= (1, 1, 1).設(shè)所求平面的法線向量n 可取為n1180。7. 5 平面及其方程 一、平面的點法式方程 法線向量: 如果一非零向量垂直于一平面, 這向量就叫做該平面的法線向量. 容易知道, 平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直. 唯一確定平面的條件: 當(dāng)平面P上一點M0 (x0, y0, z0)和它的一個法線向量n=(A, B, C)為已知時, 平面P的位置就完全確定了. 平面方程的建立: 設(shè)M (x, y, z)是平面P上的任一點. 那么向量必與平面P的法線向量n垂直, 即它們的數(shù)量積等于零: . 由于 n =(A, B, C), , 所以 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0. 這就是平面P上任一點M的坐標(biāo)x, y, z所滿足的方程. 反過來, 如果M (x, y, z)不在平面P上, 那么向量與法線向量n不垂直, 從而. , 即不在平面P上的點M的坐標(biāo)x, y, z不滿足此方程. 由此可知, 方程A(xx0)+B(yy0)+C(z z0)=0就是平面P的方程. 而平面P就是平面方程的圖形. 由于方程A(xx0)+B(yy0)+C(z z0)=0是由平面P上的一點M0(x0, y0, z0)及它的一個法線向量n =(A, B, C)確定的, 所以此方程叫做平面的點法式方程. 例1 求過點(2, 3, 0)且以n=(1, 2, 3)為法線向量的平面的方程. 解 根據(jù)平面的點法式方程, 得所求平面的方程為 (x2)2(y+3)+3z=0, 即 x2y+3z8=0. 例2 求過三點M1(2, 1, 4)、M2(1, 3, 2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程. 解 我們可以用作為平面的法線向量n. 因為, , 所以 . 根據(jù)平面的點法式方程, 得所求平面的方程為 14(x2)+9(y+1)(z 4)=0, 即 14x+9y z15=0. 二、平面的一般方程 由于平面的點法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一點及它的法線向量來確定, 所以任一平面都可以用三元一次方程來表示 . 反過來, 設(shè)有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0. 我們?nèi)稳M足該方程的一組數(shù)x0, y0, z0, 即 Ax0+By0+Cz0 +D=0. 把上述兩等式相減, 得 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0, 這正是通過點M0(x0, y0, z0)且以n=(A, B, C)為法線向量的平面方程. 由于方程 Ax+By+Cz+D=0. 與方程 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0同解, 所以任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的圖形總是一個平面. 方程Ax+By+Cz+D=0稱為平面的一般方程, 其中x, y, z的系數(shù)就是該平面的一個法線向量n的坐標(biāo), 即 n=(A, B, C). 例如, 方程3x4y+z9=0表示一個平面, n=(3, 4, 1)是這平面的一個法線向量. 討論: 考察下列特殊的平面方程, 指出法線向量與坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸的關(guān)系, 平面通過的特殊點或線. Ax+By+Cz=0。2p). ……(4)這是因為, 固定一個t, 得G上一點M1(j(t), y(t), w(t)), 點M1繞z軸旋轉(zhuǎn), 得空間的一個圓, 該圓在平面z=w(t)上, 其半徑為點M1到z軸的距離, 因此, 固定t的方程(4)就是該圓的參數(shù)方程. 再令t在[a, b]內(nèi)變動, 方程(4)便是旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 例如直線 繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 . (上式消t和q, 得曲面的直角坐標(biāo)方程為) 又如球面x2+y2+z2=a2可看成zOx面上的半圓周 (0163。=asin w t,由于動點同時以線速度v 沿平行于 z 軸的正方向上升, 所以 z=MM162。 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示球心在坐標(biāo)原點O, 半行為2a的上半球面. 第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的圓, 這圓的圓心在點(a, 0) , 半行為a . 方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線. 二、空間曲線的參數(shù)方程 空間曲線C的方程除了一般方程之外, 也可以用參數(shù)形式表示, 只要將C上動點的坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù): . 當(dāng)給定t=t1時, 就得到C上的一個點(x1, y1, z1)。, 有, 即是曲面S162。 繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面. 三、柱面 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 方程x2+y2=R2在xOy 面上表示圓心在原點O、半徑為R的圓. 在空間直角坐標(biāo)系中, 這方程不含豎坐標(biāo)z, 即不論空間點的豎坐標(biāo)z怎樣, 只要它的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y能滿足這方程, 那么這些點就在這曲面上. 也就是說, 過xOy 面上的圓x2+y2=R2, 且平行于z軸的直線一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以這個曲面可以看成是由平行于z軸的直線l 沿xOy 面上的圓x2+y2=R2移動而形成的. 這曲面叫做圓柱面, xOy 面上的圓x2+y2=R2叫做它的準(zhǔn)線, 這平行于z軸的直線l 叫做它的母線. 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 在空間直角坐標(biāo)系中, 過xOy 面上的圓x2+y2=R2作平行于z軸的直線l , 則直線l上的點都滿足方程x2+y2=R2, 因此直線l一定在x2+y2=R2表示的曲面上. 所以這個曲面可以看成是由平行于z軸的直線l 沿xOy 面上的圓x2+y2=R2移動而形成的. 這曲面叫做圓柱面, xOy 面上的圓x2+y2=R2叫做它的準(zhǔn)線, 這平行于z軸的直線l 叫做它的母線. 柱面: 平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面, 定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線, 動直線L叫做柱面的母線. 上面我們看到, 不含z的方程x2+y2=R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面, 它的母線平行于z軸, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的圓x2+y2=R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z 軸的柱面, 其準(zhǔn)線是xOy 面上的曲線C: F(x, y)=0. 例如, 方程y2=2x表示母線平行于z軸的柱面, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的拋物線y2 =2x, 該柱面叫做拋物柱面. 又如, 方程 xy=0表示母線平行于z軸的柱面, 其準(zhǔn)線是xOy 面的直線 xy=0, 所以它是過z 軸的平面. 類似地, 只含x、z而缺y的方程G(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面. 例如, 方程 xz=0表示母線平行于y軸的柱面, 其準(zhǔn)線是zOx 面上的直線 xz=0. 所以它是過y軸的平面. 　 四、二次曲面 與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線相類似, 我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面. 怎樣了解三元方程F(x, y, z)=0所表示的曲面的形狀呢? 方法之一是用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截, 考察其交線的形狀, 然后加以綜合, 從而了解曲面的立體形狀. 這種方法叫做截痕法. 研究曲面的另一種方程是伸縮變形法: 設(shè)S是一個曲面, 其方程為F(x, y, z)=0, S 162。b = ( ay bz az by) i + ( az bx ax bz) j + ( ax by ay bx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號, 上式可寫成 =aybzi+azbx j+axbykaybxkaxbz jazbyi = ( ay bz az by) i + ( az bx ax bz) j + ( ax by ay bx) k. . 例4 設(shè)a=(2, 1, 1), b=(1, 1, 2), 計算a180。j + az bz k180。 ( bx i + by j + bz k) = ax bx i180。 (2) 分配律: (a+b)180。 (2) 對于兩個非零向量a、b, 如果a180。0+0180。j + az bz k(bx i + by j + bz k) =ax bx i(lb) = l(a 反之, 如果a^b, 則a7. 2 數(shù)量積 向量積 一、兩向量的數(shù)量積 數(shù)量積的物理背景: 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點M1移動到點M2. 以s表示位移. 由物理學(xué)知道, 力F所作的功為 W = |F| |s| cosq , 其中q 為F與s的夾角. 數(shù)量積: 對于兩個向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積, 記作ab, 即a 。 同相, 在zOx面上的點, y=0。 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要條件是: 存在唯一的實數(shù)l, 使 b = la. 證明: 條件的充分性是顯然的, 下面證明條件的必要性. 設(shè)b // a. 取, 當(dāng)b與a同向時l取正值, 當(dāng)b與a反向時l取負(fù)值, 即b=la. 這是因為此時b與la同向, 且 |la|=|l||a|. 再證明數(shù)l的唯一性. 設(shè)b=la, 又設(shè)b=ma, 兩式相減, 便得 (lm)a=0, 即|lm||a|=0. 因|a|185。3)相加可寫成 a1+a2+ +an, 并按向量相加的三角形法則, 可得n個向量相加的法則如下: 使前一向量的終點作為次一向量的起點, 相繼作向量a1, a2, , an, 再以第一向量的起點為起點, 最后一向量的終點為終點作一向量, 這個向量即為所求的和. 負(fù)向量: 設(shè)a為一向量, 與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量, 記為a. 向量的減法: 我們規(guī)定兩個向量b與a的差為ba=b+(a). 即把向量a加到向量b上, 便得b