高等數(shù)學(xué)定積分試題(完整版)
【正文】 F( x ) 單調(diào)增 設(shè) )(),( bFMaFm ?? 則 ???badxxfMm )(,0? ? ?????babaMdxxfdxxfm )()(210由介值定理得 ????badxxfFba )(21)(],[ ?? 使即 ?? ?baadxxfdxxf )(21)(??? ? ? ????bab ba adxxfdxxfdxxfdxxf )(21)()()(??證 ? ?10)(,]1,0[)( Adxxfxf 上連續(xù)在設(shè)? ?101)()(xdyyfxfdx計(jì)算解 ? ??101])()[(xdxdyyfxfI ????????????? ?? ? xxdttfddyyf0101)()(dxxfdttfdttfdyyfxxx)]([)()()(10 01010???????????????? ? ?? ????????????????????? ?? ?? ?xxdttfddttfdxxfdttf010 01010)()()()(2)(21 2210Adttf ???????? ?例 12 例 13 設(shè) f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上連續(xù)，且單調(diào)不增 證明 對(duì)任何 有 ]1,0[??? ??? ?0 10 )()( dxxfdxxf證一 ]1,0[??? ? ? ???10 01 )()()( ?? dxxfdxxfdxxf由積分中值定理 ????? ???? 10 1 0)()( fdxxf1)1)(()( 21 2 ????? ????? fdxxf再由 f ( x )單調(diào)不增 得及 21 ?? ?)()( 21 ?? ff ?? ? ???? 10 0 1 )()()( ? ? dxxfdxxfdxxf)1)(()( 21 ???? ??? ff)1)(()( 11 ???? ??? ff )( 1?f??? ??? ???? 010 1 )()()( dxxffdxxf證二 ? ??? ??? 010 )()(1)( dxxfdxxfF記則 F(1)=0 20)()()(?????????dxxffF再由 f ( x )單調(diào)不增 ???? ?? ? ??0 0 )()()( fdxfdxxf0)( ??? ?F 單調(diào)減得 )( ?F 0)1()( ??? FF ?? ??10 0 )()( ?? dxxfdxxf即證三 ? ??? ?010 )()( dxxfdxxf? ? ???? ? ? ???0 0 1 )()()( dxxfdxxfdxxf? ???? ? ??? 0 1 )()()1( dxxfdxxf0)()1()()1( ????? ????? ff證四 tx ??令 ? ??? ??0 10 )()( dttfdxxf?? 10 )( dttf? ))()(( tftf ???證五 由 f ( x )單調(diào)不增 )1()()(1 ??? ??? fdxxf??? 1 )(1 1)( ??? dxxff?? ???? 10 )(1)()( ?? ???? dxxffdxxfdxxfdxxf? ??? ? ??? 0 1 )()()1(? ? ???? ? ? ??0 0 1 ])()([)( dxxfdxxfdxxfdxxf?? 10 )(?例 14 計(jì)算 ?? ?0 s i n x d xxJ mm解一 ??? ??0 1 s i ns i n xdxxxJ mm? ??? ?0 1 )( c o s]s i n[ xdxx m? ????? ?? ?? 0 101 ]s i n[c o s]c o ss i n[ dxxxxxxx mm= 0 dxxxxmxx mm ]c o ss i n)1([ s i nc o s 20 1 ???? ??? ?? ???? ??? 0 220 )s i n1(s i n)1(s i n1 dxxxxmxm mm= 0 ?? ???? ? ?? 00 2 s i n)1(s i n)1( x
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