高等數(shù)學(xué)定積分試題(文件)
【正文】 axaxadttfxgdttgxfdttgtfxgxfxF )()()()()()()()(2)( 2222? ? 0)()()()()()()()(2 2222 ???? ? dtxgtftgxftgtfxgxfxa單調(diào)減)( xF?0)()()( ???? aFxFbF? ?? ???????? bababadxxgdxxfdxxgxf )()()()( 222即另證 定積分不等式的證明方法 —— 輔助函數(shù)法 ① 將一個積分限換成變量，移項(xiàng)使一端為 0 另一端即為所求作的輔助函數(shù) F ( x ) ② 判定單調(diào)性，與端點(diǎn)的值進(jìn)行 比較即得證 )( xF ?求例 8 設(shè) 0)0(,0)0(,)( ???? ffxf 連續(xù) 求 ???xxxdttfxdttf0200)()(2l i m解 ? ??? xxxfxdttfxxxfI0220)()(2)(2l i m? ??? xxxxfdttfxf020)()(2)(2l i m)()(3)(4lim 20 xfxxfxfxx ?????)(0)0()(3)(4lim20xfxfxfxfx ??????? 1)0()0(3 )0(4 ??????fff1s i nlim 020????? xbxdttatxx這是 型未定式的極限 解 由 L’Hospital法則 1)c o s(l i m20????? xaxbxIx 0l i m20 ?? xx?0)c o s(l i m 0 ???? ? xaxbx 0)1( ??? ab00a = 0 或 b =1 將 a = 0 代入知不合題意 故 b =1 4,12)c o s1(lim20????????aaxaxxx例 9 試確定 a , b 的值使 0)(,]1,0[)( ?? ?xfxf 上連續(xù)在證明 ? ??1010)(ln)(ln dxxfdxxf證一 由定積分的定義 )(ln1lim)(ln10 1 nifndxxfnin? ????? ??????? ????nin nifn 1 )(1lnl i m（ 因 f ( x ) 是凸函數(shù)） ??????? ????nin nifn 1 )(1l i mln dxxf?? 10)(ln證二 記 adxxf ??10)( 則 a 0 例 10 設(shè) xy ln? 上凸 故其上任一點(diǎn)的切線都在曲線的上方 在 x = a 處的切線方程為 )(1ln axaay ???])([1ln)(ln),( atfaatftfx ????? 有令?? ? ????101010])([1ln)(ln dtatfaadtdttf? ???101)(1ln dttfaa aln?證三 易證明當(dāng) t 0 時有 1ln ?? tt或 tee t ?? ?? 10)()(dxxfxft令又曲線 1)()()(ln)(ln1010???? ?? dxxfxfdxxfxf01)()()(ln)(ln10101010 ?????? ???dxxfdxxfdxxfdxxf? ??1010)(ln)(ln dxxfdxxf例 11 設(shè) f ( x ) 在 [ a , b ] 上連續(xù)且 f ( x ) 0 證明 ?? ? ????baabdxxfdxxfdxxfba )(21)()(],[ ??? 使令 ??xadttfxF )()(則 F ( x ) 在 [ a , b ] 上連續(xù)，在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo) 0)()( ??? xfxF 即
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