【正文】 f(x, y, z)163。 求質量的近似值: ((xi, hi, zi )是DSi上任意一點)。G, 使, 不妨設h0, 則由的連續(xù)性, 存在M0的一個d 鄰域U(M0, d), 使在此鄰域內有. 于是沿鄰域U(M0, d)邊界l 的閉曲線積分 , 這與閉曲線積分為零相矛盾, 因此在G內. 應注意的問題: 定理要求, 區(qū)域G是單連通區(qū)域, 且函數P(x, y)及Q(x, y)在G內具有一階連續(xù)偏導數. 如果這兩個條件之一不能滿足, 那么定理的結論不能保證成立. 破壞函數P、Q及、連續(xù)性的點稱為奇點. 例5 計算, 其中L為拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧. 解: 因為在整個xOy面內都成立, 所以在整個xOy面內, 積分與路徑無關. . 討論: 設L為一條無重點、分段光滑且不經過原點的連續(xù)閉曲線, L的方向為逆時針方向, 問是否一定成立？提示: 這里和在點(0, 0)不連續(xù). 因為當x2+y2185。0時, 有. 二、平面上曲線積分與路徑無關的條件 曲線積分與路徑無關: 設G是一個開區(qū)域, P(x, y)、Q(x, y)在區(qū)域G內具有一階連續(xù)偏導數. 如果對于G內任意指定的兩個點A、B以及G內從點A到點B的任意兩條曲線L L 2, 等式 恒成立, 就說曲線積分在G內與路徑無關, 否則說與路徑有關. 設曲線積分在G內與路徑無關, L 1和L 2是G內任意兩條從點A到點B的曲線, 則有 , 因為 219。 當(0, 0)206。d}. 類似地可證 . 由于D即是X－型的又是Y－型的, 所以以上兩式同時成立, 兩式合并即得 . 應注意的問題: 對復連通區(qū)域D, 格林公式右端應包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分, 且邊界的方向對區(qū)域D來說都是正向. 設區(qū)域D的邊界曲線為L, 取P=y, Q=x, 則由格林公式得 , 或. 例1. 橢圓x=a cosq , y=b sinq 所圍成圖形的面積A. 分析: 只要, 就有. 解: 設D是由橢圓x=acosq , y=bsinq 所圍成的區(qū)域. 令, , 則. 于是由格林公式, =pab. 例2 設L是任意一條分段光滑的閉曲線, 證明 . 證: 令P=2xy, Q=x2, 則. 因此, 由格林公式有. (為什么二重積分前有“177。b}. 因為連續(xù), 所以由二重積分的計算法有 . 另一方面, 由對坐標的曲線積分的性質及計算法有 . 因此 . 設D={(x, y)|y1(y)163。 格林公式及其應用 一、格林公式 單連通與復連通區(qū)域: 設D為平面區(qū)域, 如果D內任一閉曲線所圍的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復連通區(qū)域. 對平面區(qū)域D的邊界曲線L, 我們規(guī)定L的正向如下: 當觀察者沿L的這個方向行走時, D內在他近處的那一部分總在他的左邊. 區(qū)域D的邊界曲線的方向: 定理1設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成, 函數P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導數, 則有 , 其中L是D的取正向的邊界曲線. 簡要證明: 僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進行證明. 設D={(x, y)|j1(x)163。 (2)從點A(a, 0)沿x軸到點B(a, 0)的直線段. 解 (1)L 的參數方程為x=a cosq, y=a sinq, q從0變到p. 因此 . (2)L的方程為y=0, x從a變到a. 因此 . 例3 計算. (1)拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧。b. 對應于t點與曲線L的方向一致的切向量為{j162。 (xi, h)為Li上任意一點, l為各小弧段長度的最大值. 如果極限總存在, 則稱此極限為函數 f(x, y)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分, 記作, 即, 如果極限總存在, 則稱此極限為函數 f(x, y)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分, 記作, 即. 設L為xOy面上一條光滑有向曲線, {cost, sint}是與曲線方向一致的單位切向量, 函數P(x, y)、Q(x, y)在L上有定義. 如果下列二式右端的積分存在, 我們就定義 , , 前者稱為函數P(x, y)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分, 后者稱為函數Q(x, y)在有向曲線L上對坐標y的曲線積分, 對坐標的曲線積分也叫第二類曲線積分. 定義的推廣: 設G為空間內一條光滑有向曲線, {cosa, cosb, cosg}是曲線在點(x, y, z)處的與曲線方向一致的單位切向量, 函數P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定義. 我們定義(假如各式右端的積分存在) , , . , , .對坐標的曲線積分的簡寫形式: 。 變力在Li上所作的功近似為: F(xi, hi)Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi 。 (3)將曲線積分化為定積分。x163。y163。x163。2(t)185。b),則質量元素為 , 曲線的質量為 . 即 . 定理 設f(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù), L的參數方程為 x=j(t), y=y(t) (a163。 性質2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2, 則 。0, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數f(x, y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即. 其中f(x, y)叫做被積函數, L 叫做積分弧段. 設函數f(x, y)定義在可求長度的曲線L上, 并且有界. 將L任意分成n個弧段: Ds1, Ds2, , Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧長。Dsi, 得第i小段質量的近似值m(xi , hi)Dsi。 教學難點： 兩類曲線積分的關系及兩類曲面積分的關系； 對坐標的曲線積分與對坐標的曲面積分的計算； 應用格林公式計算對坐標的曲線積分； 應用高斯公式計算對坐標的曲面積分； 應用斯托克斯公式計算對坐標的曲線積分。4. 了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會用高斯公式計算曲面積分。高等數學教案 167。3. 熟練掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分的原函數。 教學重點: 兩類曲線積分的計算方法； 格林公式及其應用； 兩類曲面積分的計算方法； 高斯公式、斯托克斯公式； 兩類曲線積分與兩類曲面積分的應用。 任取(xi , hi)206。0, 則整個物質曲線的質量為 . 這種和的極限在研究其它問題時也會遇到. 定義 設L為xOy面內的一條光滑曲線弧, 函數f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一點列M1, M2, , Mn1把L分在n個小段. 設第i個小段的長度為Dsi, 又(xi, hi)為第i個小段上任意取定的一點, 作乘積f(xi, hi)Dsi, (i=1, 2, , n ), 并作和, 如果當各小弧段的長度的最大值l174。0時, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數f(x, y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即 . 其中f(x, y)叫做被積函數, L 叫做積分弧段. 曲線積分的存在性: 當f(x, y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時, 對弧長的曲線積分是存在的. 以后我們總假定f(x, y)在L上是連續(xù)的. 根據對弧長的曲線積分的定義,曲線形構件的質量就是曲線積分的值, 其中m(x, y)為線密度. 對弧長的曲線積分的推廣: . 如果L(或G)是分段光滑的, 則規(guī)定函數在L(或G)上的曲線積分等于函數在光滑的各段上的曲線積分的和. 例如設L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2, 則規(guī)定 . 閉曲線積分: 如果L是閉曲線, 那么函數f(x, y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作 . 對弧長的曲線積分的性質: 性質1 設cc2為常數, 則 。t163。2(t)+y162。b), 則=?提示: L的參數方程為x=x, y=y(x)(a163。d), 則=?提示: L的參數方程為x=j(y), y=y(c163。b), 則=? 提示: . 例1 計算, 其中L是拋物線y=x2上點O(0, 0)與點B(1, 1)之間的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0163。 (2)寫