【正文】 f(x, y, z)163。 求質(zhì)量的近似值: ((xi, hi, zi )是DSi上任意一點(diǎn))。G, 使, 不妨設(shè)h0, 則由的連續(xù)性, 存在M0的一個(gè)d 鄰域U(M0, d), 使在此鄰域內(nèi)有. 于是沿鄰域U(M0, d)邊界l 的閉曲線積分 , 這與閉曲線積分為零相矛盾, 因此在G內(nèi). 應(yīng)注意的問題: 定理要求, 區(qū)域G是單連通區(qū)域, 且函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果這兩個(gè)條件之一不能滿足, 那么定理的結(jié)論不能保證成立. 破壞函數(shù)P、Q及、連續(xù)性的點(diǎn)稱為奇點(diǎn). 例5 計(jì)算, 其中L為拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧. 解: 因?yàn)樵谡麄€(gè)xOy面內(nèi)都成立, 所以在整個(gè)xOy面內(nèi), 積分與路徑無關(guān). . 討論: 設(shè)L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線, L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向, 問是否一定成立？提示: 這里和在點(diǎn)(0, 0)不連續(xù). 因?yàn)楫?dāng)x2+y2185。0時(shí), 有. 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 曲線積分與路徑無關(guān): 設(shè)G是一個(gè)開區(qū)域, P(x, y)、Q(x, y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果對(duì)于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L L 2, 等式 恒成立, 就說曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), 否則說與路徑有關(guān). 設(shè)曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), L 1和L 2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線, 則有 , 因?yàn)? 219。 當(dāng)(0, 0)206。d}. 類似地可證 . 由于D即是X－型的又是Y－型的, 所以以上兩式同時(shí)成立, 兩式合并即得 . 應(yīng)注意的問題: 對(duì)復(fù)連通區(qū)域D, 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分, 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向. 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L(zhǎng), 取P=y, Q=x, 則由格林公式得 , 或. 例1. 橢圓x=a cosq , y=b sinq 所圍成圖形的面積A. 分析: 只要, 就有. 解: 設(shè)D是由橢圓x=acosq , y=bsinq 所圍成的區(qū)域. 令, , 則. 于是由格林公式, =pab. 例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線, 證明 . 證: 令P=2xy, Q=x2, 則. 因此, 由格林公式有. (為什么二重積分前有“177。b}. 因?yàn)檫B續(xù), 所以由二重積分的計(jì)算法有 . 另一方面, 由對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有 . 因此 . 設(shè)D={(x, y)|y1(y)163。 格林公式及其應(yīng)用 一、格林公式 單連通與復(fù)連通區(qū)域: 設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域. 對(duì)平面區(qū)域D的邊界曲線L, 我們規(guī)定L的正向如下: 當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí), D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊. 區(qū)域D的邊界曲線的方向: 定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 其中L是D的取正向的邊界曲線. 簡(jiǎn)要證明: 僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進(jìn)行證明. 設(shè)D={(x, y)|j1(x)163。 (2)從點(diǎn)A(a, 0)沿x軸到點(diǎn)B(a, 0)的直線段. 解 (1)L 的參數(shù)方程為x=a cosq, y=a sinq, q從0變到p. 因此 . (2)L的方程為y=0, x從a變到a. 因此 . 例3 計(jì)算. (1)拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧。b. 對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)與曲線L的方向一致的切向量為{j162。 (xi, h)為L(zhǎng)i上任意一點(diǎn), l為各小弧段長(zhǎng)度的最大值. 如果極限總存在, 則稱此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即, 如果極限總存在, 則稱此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即. 設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線, {cost, sint}是與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y)、Q(x, y)在L上有定義. 如果下列二式右端的積分存在, 我們就定義 , , 前者稱為函數(shù)P(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 后者稱為函數(shù)Q(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分. 定義的推廣: 設(shè)G為空間內(nèi)一條光滑有向曲線, {cosa, cosb, cosg}是曲線在點(diǎn)(x, y, z)處的與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定義. 我們定義(假如各式右端的積分存在) , , . , , .對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的簡(jiǎn)寫形式: 。 變力在Li上所作的功近似為: F(xi, hi)Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi 。 (3)將曲線積分化為定積分。x163。y163。x163。2(t)185。b),則質(zhì)量元素為 , 曲線的質(zhì)量為 . 即 . 定理 設(shè)f(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù), L的參數(shù)方程為 x=j(t), y=y(t) (a163。 性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2, 則 。0, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即. 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 設(shè)函數(shù)f(x, y)定義在可求長(zhǎng)度的曲線L上, 并且有界. 將L任意分成n個(gè)弧段: Ds1, Ds2, , Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧長(zhǎng)。Dsi, 得第i小段質(zhì)量的近似值m(xi , hi)Dsi。 教學(xué)難點(diǎn)： 兩類曲線積分的關(guān)系及兩類曲面積分的關(guān)系； 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算； 應(yīng)用格林公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分； 應(yīng)用高斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分； 應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分。4. 了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會(huì)用高斯公式計(jì)算曲面積分。高等數(shù)學(xué)教案 167。3. 熟練掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。 教學(xué)重點(diǎn): 兩類曲線積分的計(jì)算方法； 格林公式及其應(yīng)用； 兩類曲面積分的計(jì)算方法； 高斯公式、斯托克斯公式； 兩類曲線積分與兩類曲面積分的應(yīng)用。 任取(xi , hi)206。0, 則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為 . 這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會(huì)遇到. 定義 設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧, 函數(shù)f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一點(diǎn)列M1, M2, , Mn1把L分在n個(gè)小段. 設(shè)第i個(gè)小段的長(zhǎng)度為Dsi, 又(xi, hi)為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn), 作乘積f(xi, hi)Dsi, (i=1, 2, , n ), 并作和, 如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值l174。0時(shí), 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即 . 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 曲線積分的存在性: 當(dāng)f(x, y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí), 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是存在的. 以后我們總假定f(x, y)在L上是連續(xù)的. 根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值, 其中m(x, y)為線密度. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的推廣: . 如果L(或G)是分段光滑的, 則規(guī)定函數(shù)在L(或G)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和. 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2, 則規(guī)定 . 閉曲線積分: 如果L是閉曲線, 那么函數(shù)f(x, y)在閉曲線L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分記作 . 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì): 性質(zhì)1 設(shè)cc2為常數(shù), 則 。t163。2(t)+y162。b), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=x, y=y(x)(a163。d), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=j(y), y=y(c163。b), 則=? 提示: . 例1 計(jì)算, 其中L是拋物線y=x2上點(diǎn)O(0, 0)與點(diǎn)B(1, 1)之間的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0163。 (2)寫