【正文】 出曲線的參數(shù)方程 ( 或直角坐標方程) , 確定參數(shù)的變化范圍。于是, 變力F(x, y)所作的功 , 從而 . 這里t=t(x, y), {cost, sint}是曲線L在點(x, y)處的與曲線方向一致的單位切向量. 把L分成n個小弧段: L1, L2, , Ln。 小弧段Li的起點為(xi1, yi1), 終點為(xi, yi), Dxi=xixi1, Dyi=yiyi1。b)上的連續(xù)函數(shù), L的方向與t的增加方向一致, 則 . 簡要證明: 不妨設(shè)a163。 OB 的方程為, x從0變到1. 因此 . 第二種方法: 以y為積分變量. L的方程為x=y2, y從1變到1. 因此 . 例2. 計算. (1)L為按逆時針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2 。 AB: x=1, y從0變到1. =0+1=1. 例4. 計算, 其中G是從點A(3, 2, 1)到點B(0, 0, 0)的直線段. 解: 直線AB的參數(shù)方程為 x=3t, y=2t, x=t, t從1變到0. 所以所以 . 例5. 設(shè)一個質(zhì)點在M(x, y)處受到力F的作用, F的大小與M到原點O的距離成正比, F的方向恒指向原點. 此質(zhì)點由點A(a, 0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0, b), 求力F所作的功W. 例5. 一個質(zhì)點在力F的作用下從點A(a, 0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0, b), F的大小與質(zhì)點到原點的距離成正比, 方向恒指向原點. 求力F所作的功W. 解: 橢圓的參數(shù)方程為x=acost, y=bsint , t從0變到. , , 其中k0是比例常數(shù). 于是 . . 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 由定義, 得 , 其中F={P, Q}, T={cost, sint}為有向曲線弧L上點(x, y)處單位切向量, dr=Tds={dx, dy}. 類似地有 . 其中F={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}為有向曲線弧G上點(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }. 167。x163。y163。D時, 由格林公式得。D時, 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r2(r0). 由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D1, 應(yīng)用格林公式得, 即, 其中l(wèi)的方向取順時針方向. 于是 =2p.分析: 這里, , 當x2+y2185。, 所以有以下結(jié)論: 曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)相當于沿G內(nèi)任意閉曲線C的曲線積分等于零. 定理2 設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù), 則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立. 充分性易證: 若, 則, 由格林公式, 對任意閉曲線L, 有. 必要性: 假設(shè)存在一點M0206。10. 4 對面積的曲面積分 一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題: 設(shè)S為面密度非均勻的物質(zhì)曲面, 其面密度為r(x, y, z), 求其質(zhì)量: 把曲面分成n個小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積)。 (2)若曲面S可分成兩片光滑曲面S1及S2, 則 。a2h2. 因為 , , , 所以 . 提示: . 例2 計算, 其中S是由平面x=0, y=0, z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個邊界曲面. 解 整個邊界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次記為SSS3及S4, 于是 . 提示: S4: z=1xy, . 167。(DSi)yz , cosbiDSi187。0取上述和的極限, 就得到流量F的精確值. 這樣的極限還會在其它問題中遇到. 抽去它們的具體意義, 就得出下列對坐標的曲面積分的概念. 提示: 把DSi看成是一小塊平面, 其法線向量為ni, 則通過DSi流向指定側(cè)的流量近似地等于一個斜柱體的體積. 此斜柱體的斜高為|vi|, 高為|vi|cos(vi,^ni)=vini, 體積為viniDSi .因為 ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k, vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k, viniDSi=[P(xi, hi, zi)cosai+Q(xi, hi, zi)cosbi+R(xi, hi, zi)cosgi]DSi , 而 cosaiDSi187。P(xi, hi, zi)(DSi)yz+Q(xi, hi, zi)(DSi)zx+R(xi, hi, zi)(DSi)xy . 對于S上的一個小塊s, 顯然在Dt時間內(nèi)流過s的是一個彎曲的柱體. 它的體積近似于以s為底, 而高為 (|V|Dt)cos(V,^n)=Vn Dt的柱體的體積: VnDtDS, 這里n=(cosa, cosb, cosg)是s上的單位法向量, DS表示s的面積. 所以單位時間內(nèi)流向s 指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于 VnDS187。 , n), 單位時間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于 m. 按對面積的曲面積分的定義, . 舍去流體這個具體的物理內(nèi)容, 我們就抽象出如下對坐標的曲面積分的概念. 定義 設(shè)S為光滑的有向曲面, 函數(shù)R(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n塊小曲面DSi(DSi同時也代表第i小塊曲面的面積). 在xOy面上的投影為(DSi)xy, (xi, hi, zi )是DSi上任意取定的一點. 如果當各小塊曲面的直徑的最大值l174。S時, zi=z(xi, hi). 從而有 . 同理當S取下側(cè)時, 有 . 這是因為n=(cosa, cosb , cosg), , , . 類似地, 如果S由x=x(y, z)給出, 則有 . 如果S由y=y(z, x)給出, 則有 . 應(yīng)注意的問題: 應(yīng)注意符號的確定. 例1. 計算曲面積分 , 其中S是長方體W的整個表面的外側(cè), W=((x, y, z) |0163。b, 0163。 左右面分別記為S5和S6. S1: z=c (0163。b)的上側(cè)。y163。b, 0163。y163。 S5: y=0 (0163。c)的左側(cè). S6: y=b (0163。c)的右側(cè)。0, y179。1(x179。 S3取外側(cè). 根據(jù)三重積分的計算法, 有 . 另一方面, 有 , , , 以上三式相加, 得 . 所以 . 類似地有 , , 把以上三式兩端分別相加, 即得高斯公式. 例1 利用高斯公式計算曲面積分, 其中S為柱面x2+y2=1及平面z=0, z=3所圍成的空間閉區(qū)域W的整個邊界曲面的外側(cè). 解 這里P=(yz)x, Q=0, R=xy, , , . 由高斯公式, 有 . 例2 計算曲面積分, 其中S為錐面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h (h0)之間的部分的下側(cè), cosa、cosb、cosg是S上點(x, y, z)處的法向量的方向余弦. 解 設(shè)S1為z=h(x2+y2163。1, 0163。1的表面所得的截痕, 若從x軸的正向看去取逆時針方向. 解 取S為平面的上側(cè)被G所圍成的部分, S的單位法向量, 即. 按斯托克斯公式, 有 . , 其中Dxy為S在xOy平面上的投影區(qū)域, 于是 . 提示 : . . . 二、環(huán)流量與旋度 旋度: 向量場A=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))所確定的向量場 稱為向量場A的旋度, 記為rotA, 即 . 旋度的記憶法: . 斯托克斯公式的另一形式: , 或 其中n是曲面S上點(x, y, z)處的單位法向量, t是S的正向邊界曲線G上點(x, y, z)處的單位切向量. 沿有向閉曲線G的曲線積分 叫做向量場A沿有向閉曲線G的環(huán)流量. 上述斯托克斯公式可敘述為: 向量場A沿有向閉曲線G 的環(huán)流量等于向量場A的旋度場通過G所張的曲面S的通量. 內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研