【正文】 ?? ???? ,時(shí) 2)雙線性變換缺點(diǎn)： Ω與 ω成非線性關(guān)系 ， 導(dǎo)致： a. 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變 ， (使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變 )。 4)脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶阻濾波器 ,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中 的頻帶，再用脈 沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)才采用 。 ????????)( ?jeH)( TjH a ?00脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混淆 注意：高通和帶阻濾波器一定不能滿足避免頻率混迭要求，將會(huì)產(chǎn)生混疊 脈沖響應(yīng)不變法不適合用來設(shè)計(jì)高通和帶阻數(shù)字濾波器。 nTtthnh ?? )()(1( ) ,( ) [ ]Hsh t L H s??如 果 已 知?jiǎng)t 有 ： （ ）則可由下式求的 H（ z）： )]([)]([)( nThZnhZzH ??下面討論兩種常用的映射變換方法。 ? 頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準(zhǔn)頻率 （ 濾波器的截止頻率 ） ? 計(jì)算實(shí)際電路參數(shù)時(shí)應(yīng)要將歸一化頻率乘以截止頻率 ， 進(jìn)行反歸一化 ? 頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通 、 帶通 、 帶阻等其它類型的濾波器的變換方法 3 . 從模方函數(shù) 求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(s) 當(dāng)不含有源器件，作為一個(gè)因果穩(wěn)定、物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)必須滿足的條件 | ( )|H j? 2a、是一個(gè)具有實(shí)系數(shù)的 s有理函數(shù) )(/)()( sDsNsH ?b、所有極點(diǎn)必須全部分布在 s的左半平面內(nèi) c、 分子多項(xiàng)式式 N(s)的階次必須小于或等于分母多項(xiàng)式D(s)的階次 —— 正實(shí)函數(shù) 實(shí)函數(shù)的傅立葉變換存在共軛對稱的性質(zhì) H j H j* ( ) ( )? ?? ?)()(|)(| 2 ????? jHjHjH ()( sHsHjs ????| ( )| ( ) * ( ) ( ) ( )H j H j H j H j H j? ? ? ? ?2 ? ? ?有 得平面的虛軸，解析延拓代表 sj?從給定的模方函數(shù)求出所需要的系統(tǒng)函數(shù)的方法 a、解析延拓 ,令 s= 代入模方函數(shù)得到 , 并求其零極點(diǎn) j? H s H s( ) ( )?b、 取 所有在左半平面的極點(diǎn)作為 的極點(diǎn) )(sHH s H s( ) ( )?c、按需要的相位條件 (最小相位 ,混合相位等 )取 一半的零點(diǎn)構(gòu)成 的零點(diǎn) )(sHH s H s( ) ( )?4． 模擬濾波器的設(shè)計(jì) 逼近問題 pAsA：通帶衰減 ：阻帶衰減 ??,：與通帶衰減、阻帶衰減有關(guān)的系數(shù) ：通帶截止頻率 ：阻帶截止頻率 p?s?尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性 —— 所謂逼近問題 最常用的具有優(yōu)良性能的濾波器： ? 巴特沃思 (Butterworth)濾波器 ? 切比雪夫 (Chebyshev)濾波器 ? 橢圓 (elliptic)函數(shù)或考爾（ Cauer）濾波器 ? 實(shí)現(xiàn)線性相位的貝塞爾濾波器 211 0 l o g ( )1pA ??? ?211 0 l o g ( )1sA ??? ?之間的關(guān)系、與 sP AA?? ,6． 2． 2巴特沃思 Butterworth低通濾波器 1．基本性質(zhì) BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù) BW的低通模平方函數(shù)表示 ,2,1)/(1 1|)(| 22 ??????? NjjjH Nc指定 、 后，帶 到上式，得 pAp? p???0 . 122211| ( ) | 1 01 ( / ) 1pAp NpcHj ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?10 10 1. A p13 ＝時(shí)，＝當(dāng) ?dBA p指定 、 后，帶 到上式，得 sAs? s???0 . 122211| ( ) | 1 01 ( / ) 1sAs NscHj ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?10 10 1. A s用 3dB截止頻率 來規(guī)一化：對頻率進(jìn)行 ，下式變?yōu)? ?c ? ?/ c,2,1)/(11|)(|22 ??????? NjjjH Nc| ( )|( )H j N??2211??討論： | ( )| ( )H j N? ?2 211? ?當(dāng) =0 時(shí) ， =1 ,取最大值 ?| ( )|H j? 2當(dāng) 時(shí) ， =,取 3dB值 )(1 c???| ( )|H j? 2? ? 1)(/,1/ 22 接近時(shí)，很小，通帶 ???????? jHNNcc? ? 0)(/,1/ 22 接近時(shí)，很大，通帶 ???????? jHNNcc阻帶內(nèi)，由于 | ( )|( )H j jj cN? ??221? 或 A H j N jjsc? ? ?10 202l g | ( )| l g ( )? ??幅度隨著 N的增加阻帶衰減近似為 6N db/倍頻程。 N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性 | ( )| ( )H j N? ?2 211? ?上式的臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開為 ： ???????? NNjH 422 1|)(|12,2,1,0|)(| 02 ????? ?? NkjHddk? =0處函數(shù)對 2N— l階導(dǎo)數(shù)都等于零 —— 曲線在 =0附近是最 “ 平坦 ” ,—— 巴特沃思濾波器又叫做 “ 最大平坦濾波器 ” ? ? 歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性 2．設(shè)計(jì)過程 (a)按給定指標(biāo)確定階次 N 222 )( ?? ??? Nps)/l g ()]110/()110l g [(21)/l g ()/l g ( psAApspsN???????? ??)/l g ()110l g ()/l g ()l g ()/l g ()/l g ( csAcscssN?????????? ???實(shí)際計(jì)算時(shí)，要對上式求得的數(shù)值取整加 1。 方法 ：將 H(s)表示為部分分式形式 kkNk ssAsH?? ?? 1)(? 其拉氏反變換為 ? 得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) ? 對上式兩邊取 Z變換得 )()(1tueAth tskNkk?????????NknTskNknTsk nueAnTueAnhkk11)()()()(11 1)( ?? ?? ? zeAzH Ts kNk k（ 623） 根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號(hào)拉氏變換的關(guān)系 ??????????? ??maa mTjsHTsH?21)(?推導(dǎo)理想采樣信號(hào)的拉氏變換與采樣序列的 Z 變換之間存在的 S 平面與 Z 平面的映射關(guān)系。 例 將一個(gè)具有如下系統(tǒng)函數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化 。 2s?6． 4 設(shè)計(jì) IIR濾波器的雙線性變換法 1．設(shè)計(jì)方法 )( ?jH)( ?jeH 從頻域響應(yīng)出發(fā)，直接使數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng) ， 逼近模擬濾波器的頻域響應(yīng) ,進(jìn)而求出 H(z)。 例如 ， 一個(gè)模擬微分器 ， 它的幅 度與頻率是直線關(guān)系 ，但通過雙線性變換后 ， 就不可能得到數(shù)字微分器 bk t gjHeHbkjHtgj ?????????? 2)()()(2???b. 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。 例 1 設(shè)采樣周期 ,設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲 LP濾波器 ,其 3dB截止頻率 fc=1khz。 最后得： sc ff /2111 20 55 20 )(???? ??????? zzzzZHC?K HzfK Hzf cs 10,40 ??K HzfK Hzf cs 1,4 ?? b. 雙線性變換法 （ 一 ） 首先確定數(shù)字域臨界頻率 ??? ?? Tf ccTtgTcc222 ????????? ?cs ?/32 )/()/(2)/(211)(ccca ssssH ???????Tc /2??（ 二 ） 根據(jù)頻率的非線性關(guān)系 ， 確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率 (三 ) 以 代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù) 并將 代入上式 。 s 39。 39。因此 ,雙線性變換法使過渡帶變窄 ,對頻率的選擇性改善 ,而脈沖響應(yīng)不變法存在混淆 ,且沒有傳輸零點(diǎn) 。并求阻帶的最小衰減。 ，即將 Z變換成 Z即可 —— 旋轉(zhuǎn)變換 11111)( ????????ZZZGz??將下式中的 用 代替， 1?Z 1??Z得到低通到高通的變換 ???????????????1111 ZZz???????? ??????? ???2c os2c os cccc ?????圖 3 (a) LPBP變換 1?0?2??c?c??????003．?dāng)?shù)字低通 — 數(shù)字帶通 LPBP變換把帶通的中心頻率 故 N=2。 ????????????????????????????1122221111122212122212??????????jjjjjjjjjjererrereeererrereecc把變換關(guān)系 代入（ 2）式得 ： 消去 r1，得： 令 cc ???? ??? 21 ,)()()()(1212121222111122)()(2??????????????????????jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeeercccccc????????????????????????????2)2(12 ctgtgk ??? ??確定 r1, r2 ： 可證明， 其中 r1,r2代入（ 2）式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖 3（ b）。由下式 sANcssjH22 10)/(11|)(| ???????得： ])/(1 1[l og10 210 NcssA ?????代入 和 及 N=3，求得 ?c s?dBA s ?例 653設(shè)計(jì)的帶通濾波器的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng) 6． 5． 2 數(shù)字域頻率變換法 在已知數(shù)字低通濾波器時(shí)，通過在 Z域內(nèi)的數(shù)字頻域變換得到所需類型的數(shù)字濾波器