【正文】 由以上分析得變換關(guān)系： 或 00 ?? ??c?? ??2c?? ?1)1(1)( 1122211211?????????????zrzrrzrzzgu)2(1122212????????????????jjjjjererreree??????????????????~0~0~~000,~~0 ????? ??? 時(shí)，如圖 3(a), ,1)1(,0 ????? g，時(shí) ??? 全通函數(shù)取負(fù)號(hào)。 f2 1f 2sfsf解 : 1）先確定上下邊帶的 3dB數(shù)字截止頻率，及上阻帶下邊頻 r a dff s ???? ?????3522 / 2 1 2 . 5 1 0 / 1 0 0 . 2 5ls f f r a d? ? ? ?? ? ? ? ?r a dff ssu ???? ?????2）確定數(shù)字中心頻率 : 0)2c os ()2c os (c os21210 ?????????0 ( ) / 2 0 . 5lu? ? ? ?? ? ?得： 3512 / 2 3 7 . 5 1 0 / 1 0 0 . 7 5us f f r a d? ? ?? ? ? ? ?3522 / 2 4 5 . 1 2 5 1 0 / 1 0 0 . 9 2 5s u s sf f r a d? ? ? ?? ? ? ? ?3）求模擬低通截止頻率和阻帶下邊頻 01c o s c o s c o s 0 .5 c o s 0 .7 5 1s in s in 0 .7 5ucu?? ????? ?? ? ? ? ? ?0c o s c o s c o s( 0 .5 ) c o s( 0 .9 2 5 ) 4 .1 6 5 3sin sin ( 0 .9 2 5 )sussu?? ????? ?? ? ? ?4）求 , 當(dāng) =1時(shí) ,三階巴氏低通濾波器的傳輸函數(shù)為 : H sa ( ) ?cH s s s sa ( ) ? ? ? ?12 2 13 25）求 H(z),將 代入上式得 s z zz zz? ? ?? ? ??202222 1111cos ?H z H s z z zza s zz( ) ( )? ? ? ? ??? ??? ? ??22112 4 64121 3 33fs26）求相對(duì) =。 ? ??? ??? ,1Z???進(jìn)行頻率變換有以下兩種基本方法 ： 6． 5 設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器頻率變換法 第一種方法的簡(jiǎn)化的形式： ? 找出歸一化模擬低通原型與數(shù)字高通，帶通和帶阻濾波器之間的從 S域到 Z域的變換關(guān)系 ? 直接由歸一化模型低通原型變換成所需的數(shù)字濾波器 在模擬濾波器的高通設(shè)計(jì)中，低通至高通的變換就是 S變量 的倒置，這一關(guān)系同樣可應(yīng)用于雙線性變換，只要將變換式 中的 S代之以 1/S，就可得到數(shù)字高通濾波器 . 即 11112 ?????zzTs1．歸一化模擬低通原型到數(shù)字高通濾波器的頻率變換 由于倒數(shù)關(guān)系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性，因此，也不會(huì)影響雙線變換后的穩(wěn)定條件，而且 軸仍映射在單位圓上，只是方向顛倒了。 )。 )。 （ 四 ） 將雙線性變換關(guān)系代入 ， 求 H(Z)。 分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解 。 ，故雙線性變換只能用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn) ： ? 對(duì)時(shí)域的采樣會(huì)造成頻域的混疊效應(yīng)，因而有可能使設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)與原來(lái)模擬濾波器的頻域響應(yīng)相差很大，而且不能用來(lái)設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器 – 原因： 從 S平面到 Z平面的映射是多值的映射關(guān)系 雙線性變換的映射過程 脈沖響應(yīng)不變法的映射過程 雙線性變換法的改進(jìn) 為避免 頻域的混疊 ，分兩步完成 S平面到 Z平面的映射 ?????? ? TT ?? ，?將 S平面壓縮到某一中介的 S1平面的一條橫帶域 ?通過標(biāo)準(zhǔn)的變換將此橫帶域映射到整個(gè) Z平面上去， 為了將 S平面的 jΩ軸壓縮到 S1平面 jΩ1軸上的－ π/T到 π/T 一段上 ， 可通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)： ????? 0)2(tg 1 TΩcΩ ??這里 C是待定常數(shù)， 經(jīng)過這樣的頻率變換， 當(dāng) Ω由 時(shí) , Ω1由 π/T經(jīng)過０變化到 π/T ，即 S平面的整個(gè) jΩ軸被壓縮到 S1平面的 2π/T 一段。 解： 3111)3)(1(2)(??????? sssssHTT ezezzH 311 1111)(???? ????243131)(1)(?????????????zeeezeezTTTTT模擬濾波器的頻率響應(yīng)為 : 示于圖 a ???????????? ?? 4)3(2)3)(1(2)()(2 jjjsHjHa js數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為 : 顯然 與采樣間隔 T有關(guān) ,如圖 b, T越小 ,衰減越大 ,混疊越小 ,當(dāng) fs=24Hz ,混疊可忽略不計(jì) ,為什么混迭呢 ? ????? 2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj ????????? ??????)( ?jeH3．幾點(diǎn)修正 1）、消去 T的影響 H e T H j Tj( ) ( )? ? ? ?? ?1由 上 式可見， 數(shù)字頻率響應(yīng)與模擬頻率響應(yīng)的第一差別是具有一個(gè)乘法因子 (1/T)= fS，當(dāng)采樣頻率 fS很高時(shí)，將會(huì)使濾波器的增益很大，這往往是不希望的，為此可對(duì) 下 式作修正 ： nTtthnh ?? )()(h n Th t t nT( ) ( )? ?令 2）、直接用數(shù)字頻率表示的求 H(z)的公式 在實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中 ， 因模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的表格大都是歸一化低通原型 ， 其濾波器 3dB點(diǎn)截止頻率都?xì)w一化在 ? c ? 1H sa ( )原因：可將設(shè)計(jì)公式及有關(guān)參數(shù)表格化，使之更通用。 ?? ?? ???????????????????????????nn s TnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()(])()([)(?aaaa?????????nnznhzH )()(sTez ?s平面與 z平面的映射關(guān)系 以上表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，它所完成的 S 平面到 Z 平面的變換，正是拉氏變換到 Z變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對(duì) Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過 的映射關(guān)系映射到 Z 平面上。 若給定的指標(biāo) =3dB, 即通帶邊頻 時(shí) , ε =1,可求得 cp ???pA(b)從模方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù) H(s) ①求得極點(diǎn) ,2,1)/(1 1|)(| 22 ??????? NjjjH Nc帶入上式，得：?? js0)(1 2 ??? Ncjs?)12()1( ??? kje由于Nkes NNkjck 2,2,12/)12( ???? ?? ?分析討論 ?c在歸一化頻率的情況 =1， 極點(diǎn)均勻分布在單位圓上 Nkes NNkjk 2,2,12/)12( ??? ?? ?對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng) ,它的所有極點(diǎn)均應(yīng)在 s的左半平面上 ②系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 濾波器的極點(diǎn)求出后，可取左平面上的所有極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù) )(1)(1iNissAsH????對(duì)于低通濾波器 ， 為了保證在頻率零點(diǎn) =0處 ， =1， 可取 ?|)(| ?jH????NiiN sA1)1()()1()(1 iiNiNssssH??? ??因此得 例 621舉例說(shuō)明系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 設(shè)計(jì)一巴特沃思濾波器 ， 使其滿足以下指標(biāo) : 通帶邊頻 =100k rad/s, 通帶的最大衰減為 =3dB， 阻帶邊頻為 =400k rad/s,阻帶的最小衰減為 =35 dB p?Ap s?As解 :由于通帶邊頻就是 3dB 截止頻率，即 cp ???1110 ??? pA? ??? sA?確定階次 N ， )/l g ( )/l g ( ?????csN ?? 3?N取求左半平面的極點(diǎn) : s e kk c j k N N? ?? ?? ( ) / , ,2 1 2 1 2 3?,3/21 ?jc es ?? ,2 ?jc es ?? s ec j3 2 3? ?? ? /得極點(diǎn)： 構(gòu)成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) H(s)為 H s s s ss s s s s s s s scc c c( ) ( )( )( )? ?? ? ? ? ? ? ?1 2 31 2 333 2 2 32 2?? ? ?相對(duì)截止頻率 歸一化，得歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) ?c H sa ( )H s s s sa ( ) ? ? ? ?12 2 13 2③一般 N階歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) 表示 H ss s a s a s a s saiNiNN N( )( )???? ? ? ? ?????1 1111 2211?是 =1時(shí)的極點(diǎn)，分布在單位圓上 si ?c分母一般稱為巴特沃思多項(xiàng)式，其系數(shù)可通過查表求得 ,見表 521 表 621 巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù) N a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 表 622 巴特沃思多項(xiàng)式因式分解 N 巴 特 沃 思 多 項(xiàng) 式 1 s+1 2 s2++1 3 (s+1)(s2+s+1) 4 (s2++1)(s2++1) 5 (s+1)(s2++1)(s2++1) 6 (s2++1)(s2 ++1)(s2 ++1) 7 (s+1)(s2++1)(s2++1)(s2++1) 8 (s2++1)(s2++1)(s2++1)(s2++1) 9 (s+1)(s2++1)(s2+s+1)(s2++1)(s2++1) 上述歸一化公式和表格是相對(duì) 3dB 截止頻率 給出的。 模擬濾波器設(shè)計(jì) IIR濾波器的設(shè)計(jì)是基于模擬濾波器的成熟技術(shù)而完成的 簡(jiǎn)單介紹模擬濾波器設(shè)計(jì)的一些基本概念，并介紹兩種常用的濾波器的設(shè)計(jì)方法 ： ? 巴特沃思 (Butterworth)濾波器 ? 切比雪夫 (Chebyshev)濾波器 6． 2． 1模擬濾波器設(shè)計(jì)的基本概念 1 . 模擬濾波器的頻率特性與衰減特性 濾波器的頻率特性主要取決于構(gòu)成濾波器系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) ???? jssHjH |)()( 工程設(shè)計(jì)中給定的指標(biāo)往往是通帶和阻帶的衰減 ， 它一般用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)來(lái)定義 dBjHjHA |)(|lg20|)(|lg10)( 2 ??????? 當(dāng)要求濾波器具有線性相位特性 （ 延時(shí) τ 為常數(shù) ） 時(shí)濾波器的頻率特性為 H j H j e j( ) |