【正文】 rAAA , 21 ? 均為方陣空白處都是零 塊 . 若 rAAA , 21 ? 都是可逆矩陣，則這個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣也可逆，并且 ?????????????????????????????????11211121rr AAAAAA?? （五）矩陣的初等變換與初等方陣 1． 初等變換 對(duì)一個(gè)矩陣 A 施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換， （ 1）交換 A 的某兩行（列）； （ 2）用一個(gè)非零數(shù) k 乘 A 的某一行（列）； （ 3）把 A 中某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上 . 注意：矩陣的初等變換與行列式計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計(jì)算是求值過(guò)程，用等號(hào)連接，而對(duì)矩陣施行初等變換是變換過(guò)程用“ ? ”連接前后矩陣 . 初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)常用的運(yùn)算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡(jiǎn)化的階梯形矩陣 . 2．初等方陣 由單位方陣 E 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣 . 由于初等變換有三種類型，相應(yīng)的有三種類型的初等方陣，依次記為 ijP ， )(kDi 和)(kTij ，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初 等方陣 . 3．初等變換與初等方陣的關(guān)系 設(shè) A 為任一個(gè)矩陣，當(dāng)在 A 的左邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì) A 作同類型的初等行變換；在 A 的右邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì) A 作同類型的初等列變換 . 4．矩陣的等價(jià)與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 若矩陣 A 經(jīng)過(guò)若干次初等變換變?yōu)?B，則稱 A 與 B 等價(jià)，記為 BA? 對(duì)任一個(gè) nm? 矩陣 A，必與分塊矩陣 ???????? OOOEr 等價(jià)，稱這個(gè)分塊矩陣為 A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 .即對(duì)任一個(gè) nm? 矩陣 A，必存在 n 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q，使得 ????????? OO OEPAQ r 5．用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣 設(shè) A 為任一個(gè) n 階可逆矩陣，構(gòu)造 nn 2? 矩陣（ A， E） 然后 ),(),( 1?? AEEA 注意： 這里的初等變換必須是初等行變換 . 例 2 求???????????????421412311A 的逆矩陣 解： ? ?? ?? ?1 2 21 1 32 1 1 3 1 12 1 3 3 2 21 1 3 1 0 0 1 1 3 1 0 0( , ) 2 1 4 0 1 0 0 1 2 2 1 01 2 4 0 0 1 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 0 1 0 0 4 2 10 1 2 2 1 0 0 1 0 4 1 20 0 1 3 1 1 0 0 1 3 1 1AE? ? ????? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?行 行行 行行 行 行 行行 行 行 行 則 ????????????????1132141241A 例 3 求解矩陣方程 ?????????????????????????213411421412311X 解：令??????????????????????????213411,421412311BA ，則矩陣方程為 BAX? ，這里 A 即為例 2 中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘 1?A ，得 ????????????????????????????????????? ?2052032134111132141241 BAX 也能用初等行變換法，不用求出 1A? ，而直接求 BA1? ),(202005202003001214213441211311),( 1 BAEBA ???????????????????????????? 則 ???????????? ?2052031BAX （六）矩陣的秩 1． 秩的定義 設(shè) A 為 nm? 矩陣，把 A 中非零子式的最高階數(shù)稱為 A 的秩，記為秩 )(A 或 )(Ar 零矩陣的秩為 0，因而 ? ?nmA ,m in)(0 ?? 秩 ，對(duì) n 階方陣 A，若秩 nA?)( ，稱A 為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣 . 2． 秩的求法 由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩 .對(duì)任一個(gè)矩陣 A，只要用初等行變換把 A 化成階梯形矩陣 T，則秩 (A)=秩 (T)=T 中非零行的行數(shù) . 3．與滿秩矩陣等價(jià)的條件 n 階方陣 A 滿秩 ? A 可逆，即存在 B，使 EBAAB ?? ? A 非奇異，即 0?A ? A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為 E ? A 可以表示為有限個(gè)初等方陣的乘積 ? 齊次線性方程組 0?AX 只有零解 ? 對(duì)任意非零列向量 b，非齊次線性方程組 bAX? 有唯一解 ? A 的行（列）向量組線性無(wú)關(guān) ? A 的行（列）向量組為 nR 的一個(gè)基 ? 任意 n 維行（列）向量均可以表示為 A 的行（列）向量組 的線性組合，且表示法唯一 . ? A 的特征值均不為零 ? AAT 為正定矩陣 . （七）線性方程組的消元法 . 對(duì)任一個(gè)線性方程組???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa??????22112222212111212111 可以表示成矩陣形式 bAX? ，其中 nmijaA ?? )( 為系數(shù)矩陣， Tmbbbb ),( 21 ?? 為常數(shù)列矩陣， TnxxxX ),( 21 ?? 為未知元列矩陣 . 從而線性方程組 bAX? 與增廣矩陣 ),( bAA? 一一對(duì)應(yīng) . 對(duì)于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣， 從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解 . 第三章 向量空間 （一） n 維向量的定義與向量組的線性組合 1． n 維向量的定義與向量的線性運(yùn)算 由 n 個(gè)數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè) n 維向量，若用一行表示，稱為 n 維行向量，即 n?1 矩陣，若用一列表示，稱為 n 維列向量，即 1?n 矩陣 與矩陣線性運(yùn)算類似，有向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律 . 2．向量的線性組合 設(shè) m??? , 21 ? 是一組 n 維向量， mkkk , 21 ? 是一組常數(shù)，則稱 mmkkk ??? ??? ?2211 為 m??? , 21 ? 的一個(gè)線性組合，常數(shù) mkkk , 21 ? 稱為組合系數(shù) . 若一個(gè)向量 ? 可以表示成 mmkkk ???? ???? ?2211 則稱 ? 是 m??? , 21 ? 的線性組合，或稱 ? 可用 m??? , 21 ? 線性表出 . 3．矩陣的行、列向量組 設(shè) A 為一個(gè) nm? 矩陣，若把 A 按列分塊，可得一個(gè) m 維列向量組稱之為 A 的列向量組 . 若把 A 按行分塊，可得一個(gè) n 維行向量組稱之為 A 的行向量組 . 4．線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法 . 向量 ? 能用 m??? , 21 ? 線性表出的充要條件是線性方程組???? ???? mmxxx ?2211 有解，且每一個(gè)解就是一個(gè)組合系數(shù) . 例 1 問 T)5,1,1(??? 能否表示成 T)3,2,1(1 ?? ， T)4,1,0(2 ?? ， T)6,3,2(3 ?? 的線性組合？ 解：設(shè)線性方程組為 ???? ??? 332211 xxx 對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換： ?????????????????????? ???110020201001564313121201),(),( 321 ?????A 則方程組有唯一解 1,2,1 321 ???? xxx 所以 ? 可以唯一地表示成 321 , ??? 的線性組合，且 321 2 ???? ??? （二）向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) 1． 線性相關(guān)性概念 設(shè) m??? , 21 ? 是 m 個(gè) n 維向量，如果存在 m 個(gè)不全為零的數(shù) mkkk , 21 ? ，使得 02211 ???? mmkkk ??? ? ，則稱向量組 m?? , 21 ? 線性相關(guān)，稱 mkkk , 21 ? 為相關(guān)系數(shù) .否則，稱向量 m??? , 21 ? 線性無(wú)關(guān) . 由定義可 知， m??? , 21 ? 線性無(wú)關(guān)就是指向量等式02211 ???? mmkkk ??? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 021 ???? mkkk ? 時(shí)成立 . 特別 單個(gè)向量 ? 線性相關(guān) ? 0?? ； 單個(gè)向量 ? 線性無(wú)關(guān) ? 0?? 2．求相關(guān)系數(shù)的方法 設(shè) m??? , 21 ? 為 m 個(gè) n 維列向量，則 m??? , 21 ? 線性相關(guān) ? m 元齊次線性方程組 02211 ???? mmxxx ??? ? 有非零解，且每一個(gè)非零解就是一個(gè)相關(guān)系數(shù) ?矩陣 ),( 21 mA ??? ?? 的秩小于 m 例 2 設(shè)向量組 1 2 3( 2 , 1 , 7 ) , (1 , 4 ,1 1 ) , ( 3 , 6 , 3 )T T T? ? ?? ? ? ? ?，試討論其線性相關(guān)性 . 解：考慮方程組 0332211 ??? ??? xxx 其系數(shù)矩陣 ??????????????????????????0001102013117641312),( 321 ???A 于是，秩 32)( ??A ，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同解的方程組為 ??? ?? ?? 0023231 xx xx 令 13?x ，得一個(gè)非零解為 1,1,2 321 ???? xxx 則 02 321 ???? ??? 3．線性相關(guān)性的若干基本定理 定理 1 n 維向量組 m??? , 21 ? 線性相關(guān) ? 至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合 .即 m??? , 21 ? 線性無(wú)關(guān) ? 任一個(gè)向量都不能表示為其余向量的線性組合 . 定理 2 如果向量組 m??? , 21 ? 線性無(wú)關(guān)，又 m???? , 21 ? 線性相關(guān)，則 ?可以用 m??? , 21 ? 線性表出，且表示法是唯一的 . 定理 3 若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必相 關(guān)，或者整體無(wú)關(guān)，部分必?zé)o關(guān) . 定理 4 無(wú)關(guān)組的接長(zhǎng)向量組必?zé)o關(guān) . （三）向量組的極大無(wú)關(guān)組和向量組的秩 1．向量組等價(jià)的概念 若向量組 S 可以由向量組 R 線性表出，向量組 R 也可以由向量組 S 線性表出，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià) . 2．向量組的極大無(wú)關(guān)組 設(shè) T 為一個(gè)向量組，若存在 T 的一個(gè)部分組 S，它是線性無(wú)關(guān)的，且 T中任一個(gè)向量都能由 S 線性表示，則稱部分向量組 S 為 T 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 . 顯然，線性