【正文】 ( 16 16 ) 中相對于 ? 的 DF 統(tǒng)計量的分布與式 ( 16 1 0 ) 中 DF 統(tǒng)計量的分布漸近相同。 見圖 . 其 蒙特卡羅模擬的檢驗臨界值表分別見附表 11 和 12 。 DF 分布近似于整體向左大約移動了 1 .6 個單位的 t 分布。上式表明當(dāng) T ? ? 時，統(tǒng)計量DF 收斂于 維納 過程的泛函。 yt = ? + ? t + ? yt 1 + vt, ( ? 1, vt ? II D ( 0, ?2) ) （ 16 11 ） 其中 ? = ?0 ? ( ?0 ?1) , ? = ?1(1 ? ) 。因為 ut是平穩(wěn)的， yt只會暫時背離趨勢。過程（ 16 8 ） 稱作隨機趨勢過程。若仍用通常的 t 檢驗臨界值進行假設(shè)檢驗，那么拒絕 ?1 = 0 的概率就會大大增加。 0 . 70 . 80 . 91 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24T = 5 0T = 1 0 0T = 1 0 0 0 圖 16 1 t = 5 0 、 1 0 0 、 1 0 0 0 條件下隨機游走過程的自相關(guān)函數(shù)圖 k 2021/6/15 計量經(jīng)濟學(xué) 對于 A R ( 1) 過程 yt = ?1 yt 1 + vt , ? ?1? 1, y0 = 0, vt ? IN(0 , ?v2) ( 1 6 4 ) 進行迭代運算，得 yt = vt + ?1vt 1 + ?12 yt 2 = … = ????101tiitiv? 對上式分別求期望和方差， E ( yt) = E (????101tiitiv?) = 0 V ar( yt) = E (????101tiitiv?)2 =22111v??? A R ( 1) 過程的自相關(guān)函數(shù)是 ?k = ?1k，（ 見第 14 章 14 . 節(jié) ） 。當(dāng) zt的單 積次 數(shù)小于 d時，則稱 yt與 xt存在協(xié)整（協(xié) 積 ）關(guān)系。 若時間序列 yt ? I( d ) ， xt ? I( c ) ，則 zt = ( a yt + b xt) ? I ( m ax[ d , c ]) 當(dāng) d c 時， zt ? I ( d ) ，即 zt只有經(jīng)過 d 次差分才能平穩(wěn)。對上式進行迭代運算，得 yt = yt 2 + ut 1 + ut = … = ??tiiu1 2021/6/15 計量經(jīng)濟學(xué) 對上式分別求期望、方差和自相關(guān)系數(shù)， E ( yt) = E (??tiiu1) =??tiiu1)(E= 0 ， V ar ( yt) = V ar (??tiiu1) =??tiiu1)(V a r= t ?u2 C ov ( yt, yt k) = E( yt yt k) = E(?????ktiitii uu11) = E(???ktiiu12) = ( t k ) ?u2 ?k =)(V a r)(V a r),(C ovkttkttyyyy??= 222)()(uuukttkt?????=tktkt???1 ( 16 3 ) 只有當(dāng)樣本容量 t 趨于無窮時，相關(guān)系數(shù)才等于 1 。 反復(fù)生成樣本容量 T = 1 0 0 的時間序列 xt和 yt 各 1 萬次，并相應(yīng)作如下一元線性回歸， yt = ?0 + ?1 xt + wt 其中 wt表示隨機誤差項。所以統(tǒng)計量)?( 1?t的分布是發(fā)散的。迭代展開后該過程含有一個確定性 2 次時間趨勢項， ( ? / 2) t2。 趨勢平穩(wěn)過程也稱為退勢平穩(wěn) 過程，因為其減去趨勢后為平穩(wěn)過程， yt ?1t = ?0+ ut。)?( ?t的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 取樣本容量 T = 100 ，用蒙特卡羅方法模擬 1 萬次得到的??和 DF 的分布分別見圖 16 7 和圖 16 8 。 2021/6/15 計量經(jīng)濟學(xué) yt = yt 1 + ut, y0 = 0, ut ? I ID ( 0, ?u2) ( 16 7 ) yt = ? + ? t + yt 1 + ut, y0 = 0, ut ? I ID ( 0, ?u2) ( 16 9 ) 模型 T ?? 0 . 0 1 0 . 0 2 5 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 9 0 0 . 9 5 0 . 9 7 5 0 . 9 9 2 5 4 . 3 8 3 . 9 5 3 . 6 0 3 . 2 4 1 . 1 4 0 . 8 0 0 . 5 0 0 . 1 5 (c ) 5 0 4 . 1 5 3 . 8 0 3 . 5 0 3 . 1 8 1 . 1 9 0 . 8 7 0 . 5 8 0 . 2 4 生成過程（ 16 7 ） 1 0 0 4 . 0 4 3 . 7 3 3 . 4 5 3 . 1 5 1 . 2 2 0 . 9 0 0 . 6 2 0 . 2 8 估計式（ 16 9 ） 2 5 0 3 . 9 9 3 . 6 9 3 . 4 3 3 . 1 3 1 . 2 3 0 . 9 2 0 . 6 4 0 . 3 1 5 0 0 3 . 9 8 3 . 6 8 3 . 4 2 3 . 1 3 1 . 2 4 0 . 9 3 0 . 6 5 0 . 3 2 ? 3 . 9 6 3 . 6 6 3 . 4 1 3 . 1 2 1 . 2 5 0 . 9 4 0 . 6 6 0 . 3 3 048121620240 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0 1 . 1b e t a 1 b e t a 2 b e t a 3 3 個檢驗式??分布的比較 2021/6/15 計量經(jīng)濟學(xué) .0.1.2.3.4.5.66 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4D F 1D F 2D F 3Z 3 個檢驗式 DF 分布的比較 2021/6/15 計量經(jīng)濟學(xué) yt = ? + ? t + ? yt 1 + ut ( 16 14 ) 當(dāng)真實的過程是式 ( 16 7 ) 或 ( 16 8 ) ，而用式 ( 16 14 ) 進行估計時，隨著 T ? ? ， 統(tǒng)計量 )?( ?t的漸近分布也是 維納 過程的泛函。 2021/6/15 計量經(jīng)濟學(xué) 把式 ( 16 15 ) 用自回歸算子表示為 ? ( L ) yt = ut 若 yt 存在一個單位根，上式可以表達為 ? ( L ) * ( 1 – L ) yt = ? ( L ) * ? yt = ut ( 16 17 ) 其中 ? ( L ) * 表示從 p 階自回歸算子 ? ( L ) 中分離出因子 ( 1 – L ) 后所得的p – 1 階自回歸算子?？紤] yt可以用如下 A R ( 1) 過程描述。 當(dāng)式 ( 16 19 ) 中加入位移項 ? 和趨勢項 ? t 時， DF 分布分別與式 ( 16 1 3 ) 和 ( 16 1 4 ) 中 ? 的 DF 分布漸近相同。 （ 2 ） DF 檢驗采用的是最小二乘（ O L S ）估計。 2021/6/15 計量經(jīng)濟學(xué) 在進行單位根檢驗時應(yīng)注意如下幾點。當(dāng)單位根檢驗估計式的 D W 值很低，即被檢驗序列是一個高階 A R ( p ) 序列時，應(yīng)該采用如下回歸式檢驗單位根。 ( 4 ) 因為實際的經(jīng)濟時間序列通常不會是一個簡單的 A R ( 1) 過程，所以A D F 檢驗（增項 DF 檢驗）是最常用的單位根檢驗方法。應(yīng)該在檢驗式中加入被檢驗序列 的差分滯后項，即采用A D F 檢驗式。 （ 4 ） ? ? 0 ， ? = 0 。 yt序列有單位根，是隨機趨勢序列（非平穩(wěn)）。檢驗結(jié)束。檢驗結(jié)束。 總結(jié)以上檢驗步驟，給出單位根檢驗綜述。其中有四項選擇。 E V i e w s 4 中由檢驗者選擇。對數(shù)的進口額序列顯示了上揚趨勢。檢驗式中之所以加了一個 ? L ni mt 1項，為的是克服式（ 16 27 ）誤差項中的自相關(guān)（現(xiàn)在 DW = ，若不加 ? L ni mt 1項， DW = 1. 43 ）。檢驗式中沒有必要再加入常數(shù)項。式（ 16 30 ）中)?(?t= 。 進一步對 sz i ndext的差分 序列進行單位根檢驗。對于趨勢或均值存在結(jié)構(gòu)變化的序列來說，如果不考慮這種變化，當(dāng)用 DF 、 A D F統(tǒng)計量檢驗單位根時，常會把一個帶結(jié)構(gòu)變化（包括趨勢變化或均值變化）的平穩(wěn)過程誤判為隨機趨勢非平穩(wěn)過程。 D= 1 , (t= 1 0 1 ~ 2 0 0 ) 仍使用 yt序列，當(dāng) T =101 ? 2 00 時，把均值從原來的 0 改變?yōu)?10 ，序列如圖 16 15 a所示，相應(yīng)散點圖見圖 16 15b 。 A D F( 0. 05)表示 0. 05 水平 A D F 臨界值。 以 T =20 0 為例定義 脈沖式 虛擬變 量 DP t 如下，序列見圖 16 16 。 yt = ? + ? t + ? D Lt + ut （ 16 34 ） 其中 D Lt是階躍式虛擬變量。 因為原假設(shè)模型（ 16 35 ）是一個動態(tài)模型，所以只需加 入一個 階躍 式 虛擬變量就可以描述趨勢（斜率）突變。 原假設(shè) H30含義是， yt 為均值和趨勢雙結(jié)構(gòu)突變 的單位根過程；備擇 假設(shè) H31含義是， yt 為均值。備擇假設(shè)是一個非動態(tài)模型，所以要描述 趨勢 變化必須加入一個漸進式虛擬變量。 因為原假設(shè)模型 （ 16 33 ） 是一個動態(tài)模型，所以只需加 入一個 脈沖式 虛擬變量就可以描述均值突變。 DLt =?????100,1100,0tt 0 . 00 . 51 . 01 . 525 50 75 1 00 1 25 1 50 1 75 2 00D L0 . 00 . 51 . 01 . 525 50 75 1 00 1 25 1 50 1 75 2 00D T 圖 16 1 7 階躍式 虛擬變量序列圖 圖 16 1 8 漸進 式 虛擬變量序列圖 以 T =20 0 為例定義漸進 式 虛擬變量 DTt如下，序列見圖 16 18 。檢