【正文】 ）的另一種表達(dá)形式如下。 趨勢平穩(wěn)過程也稱為退勢平穩(wěn) 過程，因為其減去趨勢后為平穩(wěn)過程， yt ?1t = ?0+ ut。 趨勢平穩(wěn) 過 程由確定性時間趨勢 ?1 t 所主導(dǎo)。 yt + k的長期預(yù)測值將趨近于趨勢線 ?0+ ?1( t +k ) 。 1 00102030405060708025 50 75 100 125 1 00102030405050 100 150 200 250 300 350 400t r e n d s t a t i o n a r y p r o c e s s 圖 16 5 yt = 0 . 1 + 0. 0 1 t + yt 1+ ut, ut? II D(0 , 1 ) 生成的序列 圖 16 6 yt = 0 . 0 5 + 0 . 1 t + AR (1 ), ? = 0 . 8 生成的序列 （ 4 ） yt = ?0 + ?1 t + ut, ut = ? ut 1 + vt, ( ? 1, vt ? I ID(0, ?2) ) ( 16 10 ) 式中 yt ?0 ?1t = ut。迭代展開后該過程含有一個確定性 2 次時間趨勢項， ( ? / 2) t2。 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) （ 3 ） yt = ? + ? t + yt 1 + ut, y0 = 0, ut ? I ID ( 0 , ?u2) ( 16 9 ) 其中 ? 是漂移項， ? t 是時間趨勢項。迭代展開后該過程含有一個確定性時間趨勢項 ? t 。 1 05051020 40 60 80 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0y = y ( 1 ) + u 02040608050 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0s t o c h a s t i c t r e n d p r o c e s s 圖 16 3 由 yt = yt 1+ ut, ut ? II D( 0 , 1 ) 生成的序列 圖 16 4 由 yt = 0 . 1 + yt 1+ ut, ut ? II D(0 , 1 ) 生成的序列 （ 2 ） yt = ? + yt 1 + ut , y0 = 0, ut ? I ID ( 0, ?u2) ( 16 8 ) 其中 ? 是漂移項。所以統(tǒng)計量)?( 1?t的分布是發(fā)散的。 .0.1.2.3.4 3 0 2 0 1 0 0 10 20 30 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) .0.1.2.3.4 3 0 2 0 1 0 0 10 20 30 圖 16 2 模型（ 16 9 ）中 t (1??) 分布的蒙特卡羅模擬結(jié)果（ fil e : s p u r io u s r e g r e 0 2 ） 理論推導(dǎo)可以證明當(dāng)用兩個相互獨(dú)立的 I ( 1) 序列進(jìn)行回歸時，回歸系數(shù)的)?( 1?t統(tǒng)計量不服從通常意義的 t 分布。此外隨著樣本容量的增加，拒絕 ?1 = 0 的概率會變得越來越大。用兩個相互獨(dú)立的 I( 1) 序列回歸，)?( 1?t分布的方差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于正常 t 分布的方差。 反復(fù)生成樣本容量 T = 1 0 0 的時間序列 xt和 yt 各 1 萬次，并相應(yīng)作如下一元線性回歸， yt = ?0 + ?1 xt + wt 其中 wt表示隨機(jī)誤差項。設(shè)數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)如下， xt = xt 1 + ut , x0 = 0, ut ? II D ( 0, 1) yt = yt 1 + vt , x0 = 0 , vt ? II D ( 0, 1) E( ui vj) = 0 , ? i , j 其中 II D ( 0, 1) 表示獨(dú)立同分布，均值為零， 方差為 1 。 第 16章 單位根檢驗與協(xié)整 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 把上面的結(jié)果總結(jié)如表 16 1 。這正是在第 14 章求序列的自相關(guān)函數(shù)時看到的結(jié)果。對上式進(jìn)行迭代運(yùn)算，得 yt = yt 2 + ut 1 + ut = … = ??tiiu1 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 對上式分別求期望、方差和自相關(guān)系數(shù)， E ( yt) = E (??tiiu1) =??tiiu1)(E= 0 ， V ar ( yt) = V ar (??tiiu1) =??tiiu1)(V a r= t ?u2 C ov ( yt, yt k) = E( yt yt k) = E(?????ktiitii uu11) = E(???ktiiu12) = ( t k ) ?u2 ?k =)(V a r)(V a r),(C ovkttkttyyyy??= 222)()(uuukttkt?????=tktkt???1 ( 16 3 ) 只有當(dāng)樣本容量 t 趨于無窮時，相關(guān)系數(shù)才等于 1 。 ut ? IN(0, ?u2) 表示 ut 服從相互獨(dú)立的正態(tài)分布。 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 第 1 6 章 單位根檢驗 與協(xié) 整 1 6 .1 .2 單 積 時間序列的統(tǒng)計特征 首先以隨機(jī)游走過程和平穩(wěn)的 A R ( 1) 過程為代表討論非平穩(wěn)過程和平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特征。但也有 zt的單 積次 數(shù)小于 d 的情形。 若時間序列 yt ? I( d ) ， xt ? I( c ) ，則 zt = ( a yt + b xt) ? I ( m ax[ d , c ]) 當(dāng) d c 時， zt ? I ( d ) ，即 zt只有經(jīng)過 d 次差分才能平穩(wěn)。2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 第 1 6 章 單位根檢驗 與協(xié) 整 張曉峒 （ 2 00 9 7 20 ） 南開大學(xué)數(shù)量經(jīng)濟(jì) 研究所所長、 博士生導(dǎo)師 中國數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)會常務(wù)理事 、 天津市數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)會理事長 nk evi ew s yaho . htt p:/ / 0: 7050 （南開大學(xué) ? 經(jīng)濟(jì)學(xué)院 ? 數(shù)量經(jīng)濟(jì)研究所 ） 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 第 1 6 章 單位根檢驗 與協(xié) 整 1 6 .1 非平穩(wěn)時間序列與虛假回歸 1 6 .1 .1 單 積 定義 單 積 ：若一個非平穩(wěn)時間序列 yt必須經(jīng)過 d 次差分之后才能變換成一個平穩(wěn)的、可逆的 A R MA 時間序列，則稱 yt是 d 次 單積的。用 yt ? I( d ) 表示。 一般來說 ，若 yt ? I ( d ) ， xt ? I ( d ) ，則 zt = ( a yt + b xt) ? I ( d ) 其中 a 、 b 為常數(shù)。當(dāng) zt的單 積次 數(shù)小于 d時，則稱 yt與 xt存在協(xié)整（協(xié) 積 ）關(guān)系。 對于隨機(jī)游走過程， yt = yt 1 + ut , y0 = 0, ut ? IN (0, ?u2) ( 16 2 ) 其中 ut為白噪聲序列。其均值為零，方差為 ?u2。有限樣本條件下，特別是小樣本條件下，隨著滯后期 k 的增加，相關(guān)系數(shù)有所衰減。 0 . 70 . 80 . 91 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24T = 5 0T = 1 0 0T = 1 0 0 0 圖 16 1 t = 5 0 、 1 0 0 、 1 0 0 0 條件下隨機(jī)游走過程的自相關(guān)函數(shù)圖 k 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 對于 A R ( 1) 過程 yt = ?1 yt 1 + vt , ? ?1? 1, y0 = 0, vt ? IN(0 , ?v2) ( 1 6 4 ) 進(jìn)行迭代運(yùn)算，得 yt = vt + ?1vt 1 + ?12 yt 2 = … = ????101tiitiv? 對上式分別求期望和方差， E ( yt) = E (????101tiitiv?) = 0 V ar( yt) = E (????101tiitiv?)2 =22111v??? A R ( 1) 過程的自相關(guān)函數(shù)是 ?k = ?1k，（ 見第 14 章 14 . 節(jié) ） 。 表 16 1 隨機(jī)游走過程和平穩(wěn)的 AR (1 ) 過程統(tǒng)計特征比較 隨機(jī)游走過程 平穩(wěn)的 AR (1 ) 過程 均值 0 0 方差 t ?u2， ( 隨時間無限大 ) ?u2/(1 ?12) ， ( 有限值 ) 自相關(guān)系數(shù) ?k =)/(1 tk?? 1 , ? k , 當(dāng) t ? ? ?k = ?1k， ( 隨 k 的增加衰減為零 ) 穿越零均值點(diǎn)的期望時間 無限的 有限的 記憶性 永久的 暫時的 第 16章 單位根檢驗與協(xié)整 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 1 6 .1 .3 虛假回歸 下面用反復(fù)生成兩個相互獨(dú)立的 I( 1) 時間序列并進(jìn)行一元線性回歸的方法研究回歸系數(shù)對應(yīng)的 t 統(tǒng)計量的分布特征。 xt和 yt為 I( 1) 過程且相互獨(dú)立。從而得到)?( 1?t分布 的估計如圖。若仍用通常的 t 檢驗臨界值進(jìn)行假設(shè)檢驗，那么拒絕 ?1 = 0 的概率就會大大增加。本來設(shè)定的條件是 xt和 yt相互獨(dú)立，則對于一元線性回歸 應(yīng)該有檢驗結(jié)論 ?1 = 0 ，但由于變量的非平穩(wěn)性使假設(shè)檢驗的結(jié)論常常是 ?1 ? 0 ，從而 導(dǎo)致虛假回歸 。隨著 T ? ? ， T 1/2)?( 1?t的極限分布是維納（ W i ener ）過程的泛函。 )?( 1?t分布 t( 100 ) 2021/6/15 計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 1 6 .2 .1 DF 統(tǒng)計量的分布特征 定義如下 4 類數(shù)據(jù)生成過程， （ 1 ） yt = yt 1 + ut, y0 = 0, ut ? I ID ( 0, ?u2) ( 16 7 ) 過程（ 16 7 ） 是隨機(jī)游走過程。過程（ 16 8 ） 稱作隨機(jī)趨勢過程。 該過程是一個帶漂移項的單位根過程，差分后變?yōu)槠椒€(wěn)過程，所以也稱作差分平穩(wěn)過程。過程（ 16 9 ） 稱作 趨勢非 平穩(wěn)過程 。這是一個帶時間趨勢 2 次方項的單位根過程。因為 ut是平穩(wěn)的，