【正文】 取自經(jīng)濟(jì)學(xué)，政治學(xué)，財(cái)政金融，法律，甚至日常生活中的若干相互依存性事例 ? 藝術(shù)品拍賣 (諸如在克里斯蒂（ Christie）或索士比（ Sotheby）拍賣行，那里待售出自布拉克（ Braque）直至維羅內(nèi)塞（ Veronese）的藝術(shù)品 )和債券拍賣（美國(guó)財(cái)政部為籌措聯(lián)邦預(yù)算支出，以這種方式出售政府公債） 。 ? 破產(chǎn)法（詳細(xì)說(shuō)明在什么時(shí)候和有多少債權(quán)人可以從已破產(chǎn)的公司那兒收賬） 。 “ 策略 ” 運(yùn)用包含了估計(jì)群體內(nèi)總想占別人便宜者的可能性，“ 理性 ” 參與需要對(duì)較好分?jǐn)?shù)的好處與額外工作的成本仔細(xì)地進(jìn)行比較。以及平均來(lái)說(shuō)，一種新藥的開(kāi)發(fā)成本大約為 3億 5千萬(wàn)美元。主要的投標(biāo)人是投資銀行，如萊曼兄弟（ Lehman Brothers） 或摩里爾 ?林奇（ Merrill Lynch）等（他們轉(zhuǎn)而將證券出售給他們的客戶）。 來(lái)自生物學(xué)與法律方面的例子 ? 動(dòng)物習(xí)性：剛過(guò)去的 25年里，博弈論更吸引人的應(yīng)用之一已經(jīng)深入生物學(xué)領(lǐng)域，特別是關(guān)于動(dòng)物之間爭(zhēng)斗和競(jìng)爭(zhēng)的分析。這里，債權(quán)人 “ 群體 ” 內(nèi)的 “ 相互作用 ” 來(lái)自于這樣的事實(shí)：個(gè)別債權(quán)人能夠成功地依法占有的錢就不再可能屬于其他任何一個(gè)人。而在 Marienbad，誰(shuí)拿走最后的火柴，那么這個(gè)局中人就算輸。 150年前 。主要的畫(huà)圖形式稱為博弈樹(shù)，是由一個(gè)根和若干枝依次排列組成。 局中人 1 局中人 1 1, 1 1, 1 1, 1 局中人 2 (0, 0) 1, 1 1, 1 (2, 1) (0, 1) l 局中人 2 (1, 0) (0, 1) (1, 1) (1, 0) (2, 0) r L u R d m 策略型表示式如下： 1 / 2 lL lR rL rR u 1, 1 1, 1 1,1 1, 1 m 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 d 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 投票博弈 假如一個(gè)投票人所贊成的議案通過(guò)，她得到的盈利為 1。 對(duì)于不確定情況 ， 盈利應(yīng)當(dāng)在不確定性的所有可能解上取期望值而計(jì)算得到 。對(duì)于策略組合， s1*， s2*， … ， sN*，其中每一個(gè)局中人相應(yīng)于一個(gè)策略，局中人 i的盈利將表示為 π i (s1*， s2*， … ， sN*)。 BAN。 案例：藝術(shù)品拍賣的策略型 ? 藝術(shù)品拍賣：描述 假如我們被帶入位于紐約洛克菲勒中心的索士比 ?派克伯尼特的大型拍賣場(chǎng)之一 。 ) 出價(jià)程序： 一旦輪到標(biāo)號(hào) 264， “ 你出價(jià)所必須做的就是舉起你的拍賣牌并等待拍賣商理會(huì)你 ， 你不必叫出你出價(jià)的數(shù) ——通常由拍賣商以 10%的增量自動(dòng)確定高一些的出價(jià) 。 在這種情況，我們稱 si為劣策略。 一個(gè)策略的組合 ， 如果每一個(gè)局中人的策略都是占優(yōu)策略 ， 那稱這個(gè)策略的組合為占優(yōu)策略解 ?，F(xiàn)在，你感覺(jué)自己象個(gè)傻瓜！你失去了一幅估價(jià)為 3000美元的畫(huà)，而你用（稍高于2700美元）就可以擁有它。 ， 博弈存在占優(yōu)策略解 。 例如，對(duì)于公司 1，只有當(dāng)它的價(jià)格不高于公司2的價(jià)格，才能有所收益。 可以看到如果投票人在第 Ⅱ 輪中真實(shí)地投票 ， 那么在那個(gè)階段 ， A擊敗 N， 而 B輸給 N。 就是說(shuō) ， 不啟用 Di(I)中的策略 ， 這對(duì) i = 1, 2, … , N均成立 。 [1] 尤其 Si – Di(I)包含了策略向量（ s1, …, si – 1, si + 1, …, sN），其中每一個(gè)策略 sj都是非劣的。 如果其他局中人某一次理性的 “ 失誤 ” 可能代價(jià)昂貴的話 ， 這尤其成問(wèn)題 。 而且一個(gè)理性的局中人不認(rèn)為他的對(duì)手會(huì)采用劣策略 。 生物學(xué)家試圖解釋有關(guān)動(dòng)物爭(zhēng)斗的兩個(gè)特定程式的事實(shí)： 1. 多數(shù)沖突無(wú)需戰(zhàn)斗而得到解決 。 ， 每一個(gè)局中人的策略選擇是關(guān)于他對(duì)手選擇的最優(yōu)反應(yīng) 。 兩家公司在市場(chǎng)上面臨單純的需求曲線 ， 假設(shè)需求曲線為 Q = ? – ?P 其中 ? 0, ? 0。 當(dāng)兩家公司滿意地解決了這兩件事時(shí) ， 將得到工業(yè)范圍的 ——或納什 ——均衡 。 簡(jiǎn)單的模型 假如我們有大小為 y 0的公共財(cái)產(chǎn)資源 。 2)( 21 ccy ??我們回到第 1周期，如果局中人 1消費(fèi) c1，他這樣做的效用將取為 log c1， 局中人 1必須確定他從資源的可利用儲(chǔ)備中可以消費(fèi)多少。結(jié)果，在第 1周期后留下的量是 y/(n+1)。 那么局中人 i的期望盈利等于 )],()1(),()1([)],(),([**1111iMiMiiiMiMiissqpssqpssqpssqp?????????????????????討論使用混合策略而不使用純策略的含義 定義 。 混合策略可以優(yōu)于某些純策略 混合策略能虛張聲勢(shì) 混合策略和納什均衡 沒(méi)有混合策略，納什均衡未必一定存在。策略 b(s1) 形式上定義為 ),(m in)](,[ 21112sssbss?? ?在 傳統(tǒng)方法 中，局中人 1認(rèn)定，不管她采取何種策略，局中人 2將正確地預(yù)測(cè)并且采取一個(gè)（使局中人 1）最差或贏利最小化的策略 b(s1)。 ? 注 2： 穩(wěn)妥方法給予局中人 1一個(gè)單方面手段去參與博弈。 ? 命題 1 （最小最大優(yōu)于最大最?。?。那么 和 是穩(wěn)妥策略，并且最大最?。ê妥钚∽畲螅┯ハ嘞嗟惹业扔? 。 ? 3． 單方向前進(jìn) 。說(shuō)它是 有條件的 ，因?yàn)槿绻┺牡竭_(dá)某個(gè)決策結(jié)后，它告訴局中人從這個(gè)結(jié)點(diǎn)出發(fā)后順沿哪條枝。 完美信息的博弈 具有如下性質(zhì)的展開(kāi)型博弈：在每一個(gè)信息集中正好有一個(gè)結(jié) 。注意，在每一對(duì)盈利中的第一項(xiàng)是“ 可口可樂(lè) ” 的盈利。尤其，在隨后結(jié)點(diǎn)上的決策者，考慮到他對(duì)博弈今后未來(lái)的猜想，反過(guò)來(lái)選擇可采用的最優(yōu)行動(dòng)。 承諾的力量 在生活中，通常，只有少量的選擇總比有較多的選擇要差一些。（即，我們通過(guò)剔除 “ 寬容 ” 而縮減了 “ 百事 ” 的選擇可能）。另一方面，假使有 “ 毒藥 ” 條文，博弈就如例 1’那樣： CSX聯(lián)合鐵路公司達(dá)成協(xié)議采取強(qiáng)硬措施。如前一樣，不設(shè)立 “ 毒藥 ” ， CSX聯(lián)合鐵路公司的盈利是 2。D。 卡特爾 ， 第 2步 證實(shí)下面的陳述：無(wú)論哪一家公司做Ramp。 假設(shè) 5把專利競(jìng)爭(zhēng)轉(zhuǎn)入完美信息博弈；我們來(lái)看它的展開(kāi)型。它可以一次完成，如果 R這樣做，它在兩個(gè)位置都得到正利潤(rùn)：在第一種情況為 $20 – $7 ，而如果它離完成尚有 3步的話，利潤(rùn)則為 $20 – $15?；蛘咚梢砸苿?dòng) 2步到（ 2, 3）或者 1步到（ 3, 3）。D比緩慢的 Ramp。 假設(shè)輪到公司 R行動(dòng) 。那樣總花費(fèi)為 $21（為什么？），超過(guò)了專利的價(jià)值。最后，假設(shè)由可口可樂(lè)公司和百事公司所作的那些進(jìn)入市場(chǎng)后的選擇是同時(shí)決定的（從而，這是一個(gè)不完美信息博弈。也存在著第二個(gè)安全區(qū)域集合。 此后它知道 S將退出 ， 從而它可以一次一步地走向最終的圓滿完成；那三步將再花費(fèi) $6， 于是總代價(jià)為 $8，它少于專利的價(jià)值 。 第 5步 證明相同的結(jié)論，對(duì)于位置（ 4, 2）和（ 4, 1）同樣會(huì)發(fā)生 R退出競(jìng)爭(zhēng)，然后S慢慢地推進(jìn)。D而留在原處。例如，如果 R選擇不作進(jìn)展，這使它無(wú)需成本，但是它將發(fā)現(xiàn) S在下一周期會(huì)贏得專利。D決策，RCA和索尼離完成項(xiàng)目分別有 3步和 4步。而且，被選中的公司將是比較接近于完成的那一家。 為了使分析容易處理 ， 我們做一些簡(jiǎn)化假設(shè)： 1. 可以度量離最終目的的距離 ， 例如 ， 我們可以說(shuō) ，公司 S處于離項(xiàng)目完成還有 n步 。 CSX聯(lián)合鐵路公司獲得利潤(rùn) ，這仍然比他們不采用 “ 毒藥 ” 而得到的 2好一些。于是展開(kāi)型就如圖所見(jiàn)到的那樣（注意，在盈利向量中的第一項(xiàng)是第一個(gè)行動(dòng)者的盈利，即， CSX聯(lián)合鐵路公司的盈利）。 后推歸納法 科恩（和策墨羅）定理。但是，展開(kāi)型博弈，尤其是完美信息博弈，提供了少量（選擇）可以蘊(yùn)含更多（均衡盈利）的例子。 第一個(gè)分量告訴我們“ 可口可樂(lè) ” 是否進(jìn)入市場(chǎng) ， 第二個(gè)分量告訴 ， 如果 “ 百事 ” 反應(yīng) “ 強(qiáng)硬 ” ， 它是否會(huì)行為 “ 強(qiáng)硬 ” ， 而第三個(gè)說(shuō)明了如果 “ 百事 ” 寬容的話 ，“ 可口可樂(lè) ” 將采取的行動(dòng) 。假設(shè)在 “ 百事 ”的決策之后， “ 可口可樂(lè) ” 有進(jìn)一步的決策可做；它必須決定自己是否發(fā)動(dòng)一場(chǎng)積極的廣告戰(zhàn)并花費(fèi)大量資金于設(shè)備方面，采取諸如此類的行動(dòng)。 例 1：進(jìn)入 Ⅰ 考慮下述經(jīng)濟(jì)模型。 混合策略 混合策略定義的方式以與策略型完全相同；它就是在純策略上的一個(gè)概率分布。 為保證這三條性質(zhì)，在前結(jié)點(diǎn)上強(qiáng)加下述限制： 1． 結(jié)點(diǎn)不能是自身的前結(jié)點(diǎn) 。那么穩(wěn)妥策略構(gòu)成了博弈的納什均衡。不管我們考慮的是純策略或者是混合策略，該陳述都是正確的。如果事實(shí)上她的對(duì)手沒(méi)有采用最優(yōu)反應(yīng)，那么她的盈利只能更高一些。 在選擇自己最好的 “ 最差盈利 ” 時(shí) ， 重要的是局中人 1完全有理由同時(shí)考慮混合策略 。 例 1: 扔硬幣打賭 1 \ 2 L C R U 5, 5 8, 8 4, 4 M 7, 7 9, 9 0, 0 D 9. 9 1, 1 2, 2 例 2: 壁球 1 \ 2 向前 （ F） 后退 （ B） 前面 （ f） 20， 80 70， 30 后面 （ b） 90， 10 30， 70 在每一格中，分別為局中人 1和局中人 2贏的百分比。這個(gè)混合策略的支撐由所有那些（在這個(gè)戰(zhàn)略行動(dòng)中）具有正概率的純策略構(gòu)成。在人口眾多的情況下加劇了公共問(wèn)題的悲劇。如通常情況，局中人 1對(duì)局中人 2的消費(fèi)有個(gè)猜測(cè)，并且在該基礎(chǔ)上決定他自己的消費(fèi)水平。 在他們?cè)噲D過(guò)度消費(fèi)的事件中 ， 假定總量簡(jiǎn)單地由他們平分；即 ， 每個(gè)人最終消費(fèi) y/2 。預(yù)先指定生產(chǎn) “ 配額 ” 為 Q1與 Q2；它們的選擇是使得總利潤(rùn)最大化： ]][)([ 2121, 21 cbaM a x ????每家公司的 價(jià)格 每家公司的 生產(chǎn)數(shù)量 利潤(rùn) 注意到如果公司如卡特爾那樣經(jīng)營(yíng) ， 它們比起在納什均衡里的產(chǎn)量生產(chǎn)得少一些；卡特爾的產(chǎn)量是古諾特 納什均衡產(chǎn)量水平的 75%。 需求曲線的另一種理解方式是 ， 如果 Q=Q1+Q2是雙寡頭自身之間生產(chǎn)的量 ， 由此產(chǎn)生的價(jià)格是 我們通過(guò)記 和 來(lái)簡(jiǎn)化這個(gè) （ 逆 ） 需求曲線的表達(dá)式；即 ， 從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)我們將使用的逆需求函數(shù)為 P = a – b Q ??? QP ?????a?1?b假設(shè)每家公司的成本函數(shù)相同 ， 并且每單元成本不隨生產(chǎn)的單元數(shù)變化 。 ， 納什均衡是最普遍的求解方法 。 2. 當(dāng)獎(jiǎng)勵(lì)較高時(shí) ， 戰(zhàn)斗的可能性更大 。 如果存在一個(gè)最終唯一預(yù)測(cè) ， 則稱它為 IEDS解 。 考慮下面的博弈 。 在那種情況 ， 這些每個(gè)人剩下的單一策略構(gòu)成的向量稱為 累次剔除劣策略 （ IEDS） 的結(jié)局 ， 該博弈則稱為 占優(yōu)可解的 。 一個(gè)策略 si 現(xiàn)在成為劣的 ， 是指：假定每一個(gè)其他局中人也都在第 Ⅰ 輪中剔除了劣策略之后 ， 在 Si ? Di(I)中存在另外一個(gè) ， 它始終至少與 si一樣地好 ， 而在某些時(shí)候嚴(yán)格地好于 si。從而，我們得到了IEDS結(jié)局為：投票人１取 AAN，投票人２取 AAB，投票人３取 BNN， A（以２票）贏得第 Ⅰ 輪，而在決賽中繼續(xù)擊敗 N。 通過(guò)了第 Ⅰ輪的方案再面臨與維持原狀 N（ “ 都不 ” ） 進(jìn)行決賽 。 第三章 占優(yōu)可解性 概念 1. 劣與非劣策略 2. 累次剔除劣策略 案例研究：選舉聯(lián)合國(guó)秘書(shū)長(zhǎng) 更正式的定義 討論 概念 1. 劣與非劣策略 定義。 總 結(jié) ， 每個(gè)局中人可使用的策略 ，和關(guān)于任何策略組合 （ 一個(gè)策略對(duì)應(yīng)于一個(gè)局中人 ） 的盈利來(lái)描述 。 左 右 頂 7, 3 5, 3 底 7, 0 3, 1 案例研究續(xù)：拍賣中的占優(yōu)策略 競(jìng)拍人 以她對(duì)雷諾依作品的真實(shí)估價(jià)作為她的最高叫價(jià) 的策略是一個(gè)占優(yōu)策略。 * 同樣的定義應(yīng)用于強(qiáng)優(yōu)。 如果沒(méi)有人超過(guò)你的出價(jià) ， 就是說(shuō) ， 沒(méi)有其他的拍賣牌舉起 ， 那么拍賣商敲下小木槌以結(jié)束拍賣 。 她的旁邊有一對(duì)隨從舉著待拍賣物件的影像 。 BNB。第一個(gè)分量是，如果議案A在第一階段通過(guò)后在第二輪中投票人如何投票，第二分量是，如果（在第一輪中）議案 B通過(guò)后，該投票人又將如何投票。最簡(jiǎn)單的博弈類型是兩個(gè)局中人有兩個(gè)策略的博弈。 投票人 2 投票人 3 投票人 1 A B B B B B