【正文】 認(rèn)定，不管她采取何種策略，局中人 2將正確地預(yù)測并且采取一個（使局中人 1）最差或贏利最小化的策略 b(s1)。 現(xiàn)在我們來給出保證盈利（或者最差情況下的最高盈利）的正式定義。 ? 注 2： 穩(wěn)妥方法給予局中人 1一個單方面手段去參與博弈。那種可能性將是 下面小 節(jié)的主題。 ? 命題 1 （最小最大優(yōu)于最大最?。?。 局中人 1的最小最大盈利正好是局中人 2的最大最小盈利 （ 的負(fù)值 ） ， 即 M1 = m2 = ? [b (q*),q* ] (反過來，局中人 2的最小最大盈利是局中人 1的最大最小盈利的負(fù)值。那么 和 是穩(wěn)妥策略，并且最大最?。ê妥钚∽畲螅┯ハ嘞嗟惹业扔? 。 重要的是知道博弈從何處開始 ， 所以必須有一個 ， 也只能有一個出發(fā)點 。 ? 3． 單方向前進 。 3． 前結(jié)點可以排序： 如果 ?和 ?都是 ?的前結(jié)點 ，必定是或者 ?是 ?的前結(jié)點 ， 或者反過來 。說它是 有條件的 ，因為如果博弈到達(dá)某個決策結(jié)后，它告訴局中人從這個結(jié)點出發(fā)后順沿哪條枝。局中人 2的混合策略由 33 1 個數(shù)給定，每個數(shù)對應(yīng)于指派給每個純策略的概率。 完美信息的博弈 具有如下性質(zhì)的展開型博弈：在每一個信息集中正好有一個結(jié) 。新市場的潛在贏利影響 “ 可口可樂 ” 的決策，而這主要依賴于 “ 百事 ” 對 “ 可口可樂 ” 進入它的市場將做出怎樣的反應(yīng)。注意，在每一對盈利中的第一項是“ 可口可樂 ” 的盈利。即，行為或者 “ 強硬 ” 或者“ 寬容 ” 。尤其，在隨后結(jié)點上的決策者，考慮到他對博弈今后未來的猜想，反過來選擇可采用的最優(yōu)行動。 但是 ， “ 百事 ” 正好有二個策略 ——要么反應(yīng)強硬 ， 要么寬容 “ 可口可樂 ” 。 承諾的力量 在生活中，通常，只有少量的選擇總比有較多的選擇要差一些。如果局中人在后面有許多選擇，比起如果她有少數(shù)幾個選擇來，在未來的行為可以相當(dāng)?shù)夭煌?。（即，我們通過剔除 “ 寬容 ” 而縮減了 “ 百事 ” 的選擇可能）。事實上，如果對每一個局中人，不存在相同的兩個盈利，那么存在唯一的后退歸納解。另一方面，假使有 “ 毒藥 ” 條文，博弈就如例 1’那樣： CSX聯(lián)合鐵路公司達(dá)成協(xié)議采取強硬措施。設(shè)立 “ 毒藥 ” ，南諾福克將選擇不收購，因而 CSX聯(lián)合鐵路公司將得到利潤 3。如前一樣，不設(shè)立 “ 毒藥 ” ， CSX聯(lián)合鐵路公司的盈利是 2。這個例子反映了在鐵路貨運危機中實際發(fā)生的事情。D。 3. 向前移動一步花費 2（ 百萬 ） 美元 ， 向前移動二步花費 7（ 百萬 ） 美元 ， 和向前移動三步花費 15（ 百萬 ） 美元 。 卡特爾 ， 第 2步 證實下面的陳述：無論哪一家公司做Ramp。D花費的資金；如果 RCA在這個周期作出 Ramp。 假設(shè) 5把專利競爭轉(zhuǎn)入完美信息博弈；我們來看它的展開型。 它的最優(yōu)決策顯然是在一次行動中完成博弈 。它可以一次完成，如果 R這樣做，它在兩個位置都得到正利潤：在第一種情況為 $20 – $7 ，而如果它離完成尚有 3步的話，利潤則為 $20 – $15。 第 3步 （ a）使用前面的分析去證明，如果博弈處于（ 2, 2），無論哪家公司首先行動都應(yīng)該對兩步投資并完成博弈?；蛘咚梢砸苿?2步到（ 2, 3）或者 1步到（ 3, 3）。因此 R的最佳反應(yīng)是挑選第 4種選擇，不進展。D比緩慢的 Ramp。此后，公司 S可以一次向前一步。 假設(shè)輪到公司 R行動 。當(dāng)然該論證可對稱地應(yīng)用于公司 S。那樣總花費為 $21（為什么？），超過了專利的價值。在公司 R的安全區(qū)域 Ⅱ ， S應(yīng)該立即退出。最后，假設(shè)由可口可樂公司和百事公司所作的那些進入市場后的選擇是同時決定的（從而，這是一個不完美信息博弈。百事公司是那個市場的目前供貨者，并且肯定會以強硬（ T）或者用寬容（ A）對付可口可樂公司的進入。也存在著第二個安全區(qū)域集合。 證明如果 R必須在 （ 5, 4） 行動 ， 它的最終純利潤是 $7。 此后它知道 S將退出 ， 從而它可以一次一步地走向最終的圓滿完成；那三步將再花費 $6， 于是總代價為 $8，它少于專利的價值 。 在觸發(fā)區(qū)域 I中將有一場搶先行動，而在安全區(qū)域 I中 “ 戰(zhàn)爭 ”煙消云散。 第 5步 證明相同的結(jié)論，對于位置（ 4, 2）和（ 4, 1）同樣會發(fā)生 R退出競爭，然后S慢慢地推進。 作為唯一的幸存者，公司 S將最終獲得專利。D而留在原處。 稱這樣的位置集為“ 觸發(fā)區(qū)域 I‖. 第 4步 例如，關(guān)于像（ 4, 3）這樣的位置，當(dāng)輪到公司 R行動的時候我們可以得到什么結(jié)論？注意， R不能一次完成博弈。例如，如果 R選擇不作進展，這使它無需成本，但是它將發(fā)現(xiàn) S在下一周期會贏得專利。 類似地 ， 如果位置是 （ r, 1） 并且輪到 S行動 ， S將一次完成項目 。D決策，RCA和索尼離完成項目分別有 3步和 4步。D資助后它才作進一步的決策。而且，被選中的公司將是比較接近于完成的那一家。 卡特爾 ， 第 1步 證實下面的陳述：因為兩家公司中只有一家將獲得專利 ， 它只支付其中的一家去做 Ramp。 為了使分析容易處理 ， 我們做一些簡化假設(shè)： 1. 可以度量離最終目的的距離 ， 例如 ， 我們可以說 ，公司 S處于離項目完成還有 n步 。D模型 后退歸納：模型分析 Ramp。 CSX聯(lián)合鐵路公司獲得利潤 ，這仍然比他們不采用 “ 毒藥 ” 而得到的 2好一些。 法律 “ 毒藥 ” 2 ? 你認(rèn)為如此過分的事情很好，但是在實際中難道南諾福克不會提出收購計劃嗎？好吧，那樣的話也許展開型中的盈利稍有不同。于是展開型就如圖所見到的那樣（注意，在盈利向量中的第一項是第一個行動者的盈利，即， CSX聯(lián)合鐵路公司的盈利）。 ： “ 毒藥 ” 和其他收購?fù)? ? 法律 “ 毒藥 ” 1 假設(shè)沒有 “ 毒藥 ” 條文，那個博弈就如例 1那樣 ——南諾?？耍?Norfolk Southern）必須決定是否反對 CSX聯(lián)合鐵路公司的聯(lián)盟。 后推歸納法 科恩（和策墨羅）定理。這種變化基本上對于具有增加了的選擇的局中人可能是有利的或者有害的。但是，展開型博弈，尤其是完美信息博弈，提供了少量（選擇）可以蘊含更多（均衡盈利）的例子。 2． (ETA, A)——其結(jié)局為 ， “ 可口可樂 ” 進入而兩家公司都寬容 。 第一個分量告訴我們“ 可口可樂 ” 是否進入市場 ， 第二個分量告訴 ， 如果 “ 百事 ” 反應(yīng) “ 強硬 ” ， 它是否會行為 “ 強硬 ” ， 而第三個說明了如果 “ 百事 ” 寬容的話 ，“ 可口可樂 ” 將采取的行動 。它包含了理性，因為在考慮到局中人所想的將會是博弈的未來行為，因此，他將在決策結(jié)上選擇他可使用的最優(yōu)行動。假設(shè)在 “ 百事 ”的決策之后， “ 可口可樂 ” 有進一步的決策可做；它必須決定自己是否發(fā)動一場積極的廣告戰(zhàn)并花費大量資金于設(shè)備方面，采取諸如此類的行動。另一方面，如果 “ 百事 ”不發(fā)動這樣強硬的反擊 ——畢竟這樣做代價昂貴 ——―可口可樂 ” 將賺到錢。 例 1：進入 Ⅰ 考慮下述經(jīng)濟模型。例如，乘地鐵需要的時間可能依賴于在地鐵系統(tǒng)中是否存在一個高峰時間的延遲。 混合策略 混合策略定義的方式以與策略型完全相同；它就是在純策略上的一個概率分布。 那么 ， 必定存在一個結(jié)點 ?， 它是 ?和 ?雙方的前結(jié)點 。 為保證這三條性質(zhì)，在前結(jié)點上強加下述限制： 1． 結(jié)點不能是自身的前結(jié)點 。 ? 2． 無循環(huán) 。那么穩(wěn)妥策略構(gòu)成了博弈的納什均衡。 )~,~( qp命題 3（穩(wěn)妥和充分地參與） 。不管我們考慮的是純策略或者是混合策略，該陳述都是正確的。人們可以認(rèn)為這是更樂觀的辦法；試圖預(yù)測對手的行動并且對此作出最優(yōu)的反應(yīng)。如果事實上她的對手沒有采用最優(yōu)反應(yīng)，那么她的盈利只能更高一些。 ? 注 1： 由于策略 b(p)使得局中人 1的盈利最小化，因此，它是局中人 2對付 p的最優(yōu)反應(yīng)（因此使用這個記號）。 在選擇自己最好的 “ 最差盈利 ” 時 ， 重要的是局中人 1完全有理由同時考慮混合策略 。 2. 穩(wěn)妥 地參與：最大最小 在零和博弈中，當(dāng)且僅當(dāng)局中人 1干得差時，局中人 2干得好。 例 1: 扔硬幣打賭 1 \ 2 L C R U 5, 5 8, 8 4, 4 M 7, 7 9, 9 0, 0 D 9. 9 1, 1 2, 2 例 2: 壁球 1 \ 2 向前 （ F） 后退 （ B） 前面 （ f） 20， 80 70， 30 后面 （ b） 90， 10 30， 70 在每一格中，分別為局中人 1和局中人 2贏的百分比。 含義。這個混合策略的支撐由所有那些（在這個戰(zhàn)略行動中）具有正概率的純策略構(gòu)成。 第二步，把加權(quán)了的盈利合計在一起。在人口眾多的情況下加劇了公共問題的悲劇。在該意義下，在納什均衡中我們對資源存在過分地榨??；即，我們經(jīng)受了公共問題的悲劇。如通常情況，局中人 1對局中人 2的消費有個猜測，并且在該基礎(chǔ)上決定他自己的消費水平。因為再也沒有下面的周期了，因此沒有理由對在第 2周期可用的量節(jié)省任何部分。 在他們試圖過度消費的事件中 ， 假定總量簡單地由他們平分；即 ， 每個人最終消費 y/2 。 ? 資源枯竭 。預(yù)先指定生產(chǎn) “ 配額 ” 為 Q1與 Q2；它們的選擇是使得總利潤最大化： ]][)([ 2121, 21 cbaM a x ????每家公司的 價格 每家公司的 生產(chǎn)數(shù)量 利潤 注意到如果公司如卡特爾那樣經(jīng)營 ， 它們比起在納什均衡里的產(chǎn)量生產(chǎn)得少一些；卡特爾的產(chǎn)量是古諾特 納什均衡產(chǎn)量水平的 75%。 。 需求曲線的另一種理解方式是 ， 如果 Q=Q1+Q2是雙寡頭自身之間生產(chǎn)的量 ， 由此產(chǎn)生的價格是 我們通過記 和 來簡化這個 （ 逆 ） 需求曲線的表達(dá)式；即 ， 從這個觀點出發(fā)我們將使用的逆需求函數(shù)為 P = a – b Q ??? QP ?????a?1?b假設(shè)每家公司的成本函數(shù)相同 ， 并且每單元成本不隨生產(chǎn)的單元數(shù)變化 。 ；它一定是納什均衡 ， 但相反的含義未必成立 。 ， 納什均衡是最普遍的求解方法 。 總 結(jié) ， 局中人 i的一個策略選擇為他產(chǎn)生了最高可能的盈利 。 2. 當(dāng)獎勵較高時 ， 戰(zhàn)斗的可能性更大 。 ),(),( *** iiiiii ssss ?? ? ??),(),( *** iiiiii ssss ?? ? ??定義： 性別爭端 丈夫＼妻子 足球（ F） 歌劇（ O） 足球（ F） 3， 1 0， 0 歌?。?O） 0， 0 1， 3 伯川德定價 公司 1＼公司 2 高（ H） 中（ M） 低（ L） 高（ H） 6， 6 0， 10 0， 8 中（ M） 10， 0 5， 5 0， 8 低（ L） 8， 0 8， 0 4， 4 案例研究：動物王國中的納什均衡 荒漠蜘蛛的故事 ， 雌蜘蛛在網(wǎng)里產(chǎn)卵 ， 由于這樣的網(wǎng)很難搭建 ， 因此 ， 網(wǎng)是稀少的 。 如果存在一個最終唯一預(yù)測 ， 則稱它為 IEDS解 。 在以下博弈中 ，每一個局中人都有一個劣策略 ——―差 ” ——可是在剔除那個策略后留下來的是一個只有非劣策略的 2 2博弈 。 考慮下面的博弈 。 沒有一個局中人會采用只是在 15輪剔除劣策略之后才轉(zhuǎn)變成的劣策略 ， 這件事似乎就不太合理 。 在那種情況 ， 這些每個人剩下的單一策略構(gòu)成的向量稱為 累次剔除劣策略 （ IEDS） 的結(jié)局 ， 該博弈則稱為 占優(yōu)可解的 。通過這種做法，又建立了一個在前三輪中為劣策略的集合；稱這個集合為 Di (Ⅲ )。 一個策略 si 現(xiàn)在成為劣的 ， 是指：假定每一個其他局中人也都在第 Ⅰ 輪中剔除了劣策略之后 ， 在 Si ? Di(I)中存在另外一個 ， 它始終至少與 si一樣地好 ， 而在某些時候嚴(yán)格地好于 si。 假如美國和非洲關(guān)于三個候選人的中意順序如下： 美國： 非洲： BAH ??HAB ??非洲 HAA HHA HAB HHB BAA BHA BAB BHB 美國 A 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 B 1, 1 0, 0 1, 1 0, 0 1, 1 0, 0 1, 1 0, 0 H 1, 1 1, 1 0, 0 0, 0 1, 1 1, 1 0, 0 0, 0 在一輪剔除之后 ， 實際上的博弈成為： 美國＼非洲 HHA A 1, 1 B 0, 0 H 1, 1 占