【正文】 X(論文題目 ) [第 4 頁，共 15 頁 ] 函數項級數的收斂判別法應用 摘要： 函數項級數的收斂判別問題是函數項級數問題中最基本最重要的問題，在研究函數項級數收斂的問題時可借鑒一些數項級數的方法，本文對函數項級數的收斂判別方法及其應用做 了全面細致的闡述 關鍵詞： 函數項級數、收斂判別 1 引言 函數項級數作為數項級數的推廣 ,在研究內容上同數項級數有許多極其相似的地方 ,比如它們的收斂性、和的問題 ， 但函數項級數還有一點不同于數項級數 ,就是關于它的一致收斂性 。 于是對所有自然數 ),0(, ??xn ，有 XXXXXXX(論文題目 ) [第 6 頁，共 15 頁 ] ????? ??? xnxx exeex 11 22 ， 而當 ???x? 時，由 xex? 知，當 2?n 時 )(0111 )2()2(2 ???????? ???????? neeeeeex nxxnnxx ?? 于是 nxx eex ???12 在 ???x? 地一致收斂于零，因此存在 N ，當 Nn? 時，對所有? ???? ,?x 有 ??? ???? ???? nnxx eexeex 11 22 這樣當 Nn? 時，對所有 ???x0 ，有 ???? ?????? xnxnkkx eexex 1 22 ，因此級數 ????12nnxex 在???x0 上一致收斂。 證明 ： 由定理條件知 ,對 ? 0?? , ? N ,使得對 ? nN ,有 ()px?? ???? )(ln )(ln xpn xu n ，?? ?? ?? )()( 1)(1 xpnxp nxun 則當 ()px p1對 xD? 成立時 ,有pn nxu 1)( ?,而 p級數1pn? 當 p 1 時收斂 ,由優(yōu)級數判別法知函數項級數???1 )(n n xu 在 D上一致收斂 。 證明 ：由（ 1），任給 ,0?? 存在某正數 N,使得當 nN 及任何正整數 P，對一切 Ix? ，有 | )()(1 xuxu pnn ?? ?? ? |? XXXXXXX(論文題目 ) [第 8 頁，共 15 頁 ] 又由（ 2）（ 3）及阿貝爾引理得 : .3|))(|2|)((||)()()()(|111 ?Mxvxv xvxuxvxupnnpnpnnn ??? ???????? ? 于是根據函數項級數一致收斂的柯西準則就得到定理的 結論。 例 1 考察級數 )0(1 2 ?????? ? xexn nx 的一致收斂性 分析 ：由于函數項級數的一致收斂性要歸結到它的和函數列的一致收斂性上。 而 函數項級數的一個基本問題就是研究其一致收斂性，但是 一致收斂的判別比較困難， 函數項級數1 ()n Unx???在區(qū)間 I 上的一致收斂性與部分和函數列 ? ?()nSx 的一致收斂性是等價的。 一種自然的思想是將正項級數的判別法推廣到函數項級數一致收斂的判別法上去 .目前，正項級數的 D’ Alembert 判別法、 Cauchy 判別法、Raabe判別法和它 們的極限形式順利地推廣到了函數項級數的一致收斂的判別上 .此外，還有 很 多種判別函數項級數一致收斂的方法 ，這些方法視條件而定： 1 在和函數 ()Sx或極限函數 ()fx可以求出的情況下，可以用定義。所以我們首先要求出它的和函數列，由等比級數求和公式知當 0?x 時，xn nx exexxS ???? ??? ? 1)( 212 ，對于任意 n ，由于 xnxnnkxn eexexxSxS ?????? ???? ? 1)()( 212 因此級數的一致收斂性等價于函數列xnxeex ???12 對區(qū)間 )0( ???x 的一致收斂于零。 定理 3 （余項判別法） 函數項級數 ()nux? 在數集 D 上一致收斂于 ()Sx的充要條件是 : l im s u p | ( ) | l im s u p | ( ) ( ) | 0nnnnx D x DR x S x S x? ? ? ???? ? ?. 定理 4 （ 狄利克雷判別法 ） （ 1） )(xun? 是部分和函數 )()(1 xuxUnk kn ??? (n=1,2 )? 在 I 上一致有 界（ 2）對于每一個 |)(|, xvIx n? 是單調的 （ 3）在 I 上 )(0)( ??? nxv n 則級數在 I 上一致收斂 證明 ： 由（ 1），存在正數 M，對一切 x I? ,有 MxUn ?|)(| .因此當 n,p 為任意 正整數時， 都有 ： .2|)()(||)()(| 1 MxUxUxuxu npnpnn ????? ??? ? 對任何一個 x I? ,再由（ 2）及阿貝爾引理，得到 |)()()()(| 11 xvxuxvxu pnpnnn ???? ?? ? |) .)(|2|)((|2 1 xvxvM pnn ?? ?? 再由（ 3），任給 ? 0,存在正數 N，當 nN 時，對一切 x I? ,由 ,|)(| ??xvn 所 以 ??? MMxvxuxvxu pnpnnn 6)2(2|)()()()(| 11 ????? ???? ? 于是由一致收斂的 柯西準則，級數在 I 上一致收斂 . （注意： 利用狄利克雷判別函數級數一致收斂時， 三個條件 都應滿足 ） 同樣的， 結合數項級數比式判別法和根式判別法 ,可以得到 函數項級數一致收斂性的比式判別法和根式判別法 ,同時我們還 可得到函數項級數一致收斂性的對數判別法 、積分判別法 . 定理 5 （ 比式判別法 ） 黃岡師范學院本科學位論文 [第 9 頁，共 15 頁 ] 設 ()nux為定義在數集 D上的函數列，且 ( ) 0nux? ， n=1,2,……,記 1()()()nn nuxqx ux??， 存在正整數 N及實數 q,M,使得 ( ) 1nq x q??，()Nu x M? ， 對任意的 nN, xD? 成立，則函數項級數1 ()nn ux???在D上一致收斂 . 證明 : 易見 nu (x)= )()( )()( )()( )( 1211 xuxuN xuxu xuxu xu NNnnn n ?? ???? ? = )()()()( 21 xuxqxqxq NNnn ?? ?? ? Mq Nn 1??? 而等比級數 ?????NnNn Mqq 1 當公比 0 q 1 時收斂 ,從而由 M判別法知 ,???1 )(n n xu在 D 上一致收斂 . （極限形式）設 nu (x) 為定義在數集 D 上正的函數列 ,記)( )()( 1 xu xuxq nnn ?? ， 若 1)()(lim ????? qxqxq nn 且 nu (x) 在 D 上一致有界 ,則函數項級數 ???1 )(n n xu在 D上一致收斂 . 定 理 6 (根式判別法 ) 設 nu ( x) 為定義在數集 D上的函數列 ,若存在正整數 N ,使得 1|)(| ?? qxun n ，對 ? nN ,x∈ D 成立 ,則函數項級數???1 )(n n xu 在 D上一致收斂 . XXXX