【正文】 X(論文題目 ) [第 4 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法應(yīng)用 摘要： 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別問題是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問題中最基本最重要的問題，在研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的問題時(shí)可借鑒一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的方法，本文對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別方法及其應(yīng)用做 了全面細(xì)致的闡述 關(guān)鍵詞： 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、收斂判別 1 引言 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)作為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的推廣 ,在研究?jī)?nèi)容上同數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有許多極其相似的地方 ,比如它們的收斂性、和的問題 ， 但函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)還有一點(diǎn)不同于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ,就是關(guān)于它的一致收斂性 。 于是對(duì)所有自然數(shù) ),0(, ??xn ，有 XXXXXXX(論文題目 ) [第 6 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] ????? ??? xnxx exeex 11 22 ， 而當(dāng) ???x? 時(shí)，由 xex? 知，當(dāng) 2?n 時(shí) )(0111 )2()2(2 ???????? ???????? neeeeeex nxxnnxx ?? 于是 nxx eex ???12 在 ???x? 地一致收斂于零，因此存在 N ，當(dāng) Nn? 時(shí)，對(duì)所有? ???? ,?x 有 ??? ???? ???? nnxx eexeex 11 22 這樣當(dāng) Nn? 時(shí)，對(duì)所有 ???x0 ，有 ???? ?????? xnxnkkx eexex 1 22 ，因此級(jí)數(shù) ????12nnxex 在???x0 上一致收斂。 證明 ： 由定理?xiàng)l件知 ,對(duì) ? 0?? , ? N ,使得對(duì) ? nN ,有 ()px?? ???? )(ln )(ln xpn xu n ，?? ?? ?? )()( 1)(1 xpnxp nxun 則當(dāng) ()px p1對(duì) xD? 成立時(shí) ,有pn nxu 1)( ?,而 p級(jí)數(shù)1pn? 當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ,由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)???1 )(n n xu 在 D上一致收斂 。 證明 ：由（ 1），任給 ,0?? 存在某正數(shù) N,使得當(dāng) nN 及任何正整數(shù) P，對(duì)一切 Ix? ，有 | )()(1 xuxu pnn ?? ?? ? |? XXXXXXX(論文題目 ) [第 8 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] 又由（ 2）（ 3）及阿貝爾引理得 : .3|))(|2|)((||)()()()(|111 ?Mxvxv xvxuxvxupnnpnpnnn ??? ???????? ? 于是根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則就得到定理的 結(jié)論。 例 1 考察級(jí)數(shù) )0(1 2 ?????? ? xexn nx 的一致收斂性 分析 ：由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性要?dú)w結(jié)到它的和函數(shù)列的一致收斂性上。 而 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)基本問題就是研究其一致收斂性，但是 一致收斂的判別比較困難， 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()n Unx???在區(qū)間 I 上的一致收斂性與部分和函數(shù)列 ? ?()nSx 的一致收斂性是等價(jià)的。 一種自然的思想是將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法推廣到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法上去 .目前，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的 D’ Alembert 判別法、 Cauchy 判別法、Raabe判別法和它 們的極限形式順利地推廣到了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂的判別上 .此外，還有 很 多種判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的方法 ，這些方法視條件而定： 1 在和函數(shù) ()Sx或極限函數(shù) ()fx可以求出的情況下，可以用定義。所以我們首先要求出它的和函數(shù)列，由等比級(jí)數(shù)求和公式知當(dāng) 0?x 時(shí)，xn nx exexxS ???? ??? ? 1)( 212 ，對(duì)于任意 n ，由于 xnxnnkxn eexexxSxS ?????? ???? ? 1)()( 212 因此級(jí)數(shù)的一致收斂性等價(jià)于函數(shù)列xnxeex ???12 對(duì)區(qū)間 )0( ???x 的一致收斂于零。 定理 3 （余項(xiàng)判別法） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 上一致收斂于 ()Sx的充要條件是 : l im s u p | ( ) | l im s u p | ( ) ( ) | 0nnnnx D x DR x S x S x? ? ? ???? ? ?. 定理 4 （ 狄利克雷判別法 ） （ 1） )(xun? 是部分和函數(shù) )()(1 xuxUnk kn ??? (n=1,2 )? 在 I 上一致有 界（ 2）對(duì)于每一個(gè) |)(|, xvIx n? 是單調(diào)的 （ 3）在 I 上 )(0)( ??? nxv n 則級(jí)數(shù)在 I 上一致收斂 證明 ： 由（ 1），存在正數(shù) M，對(duì)一切 x I? ,有 MxUn ?|)(| .因此當(dāng) n,p 為任意 正整數(shù)時(shí)， 都有 ： .2|)()(||)()(| 1 MxUxUxuxu npnpnn ????? ??? ? 對(duì)任何一個(gè) x I? ,再由（ 2）及阿貝爾引理，得到 |)()()()(| 11 xvxuxvxu pnpnnn ???? ?? ? |) .)(|2|)((|2 1 xvxvM pnn ?? ?? 再由（ 3），任給 ? 0,存在正數(shù) N，當(dāng) nN 時(shí)，對(duì)一切 x I? ,由 ,|)(| ??xvn 所 以 ??? MMxvxuxvxu pnpnnn 6)2(2|)()()()(| 11 ????? ???? ? 于是由一致收斂的 柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)在 I 上一致收斂 . （注意： 利用狄利克雷判別函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂時(shí)， 三個(gè)條件 都應(yīng)滿足 ） 同樣的， 結(jié)合數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)比式判別法和根式判別法 ,可以得到 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別法 ,同時(shí)我們還 可得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的對(duì)數(shù)判別法 、積分判別法 . 定理 5 （ 比式判別法 ） 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 9 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] 設(shè) ()nux為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)列，且 ( ) 0nux? ， n=1,2,……,記 1()()()nn nuxqx ux??， 存在正整數(shù) N及實(shí)數(shù) q,M,使得 ( ) 1nq x q??，()Nu x M? ， 對(duì)任意的 nN, xD? 成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???在D上一致收斂 . 證明 : 易見 nu (x)= )()( )()( )()( )( 1211 xuxuN xuxu xuxu xu NNnnn n ?? ???? ? = )()()()( 21 xuxqxqxq NNnn ?? ?? ? Mq Nn 1??? 而等比級(jí)數(shù) ?????NnNn Mqq 1 當(dāng)公比 0 q 1 時(shí)收斂 ,從而由 M判別法知 ,???1 )(n n xu在 D 上一致收斂 . （極限形式）設(shè) nu (x) 為定義在數(shù)集 D 上正的函數(shù)列 ,記)( )()( 1 xu xuxq nnn ?? ， 若 1)()(lim ????? qxqxq nn 且 nu (x) 在 D 上一致有界 ,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1 )(n n xu在 D上一致收斂 . 定 理 6 (根式判別法 ) 設(shè) nu ( x) 為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)列 ,若存在正整數(shù) N ,使得 1|)(| ?? qxun n ，對(duì) ? nN ,x∈ D 成立 ,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)???1 )(n n xu 在 D上一致收斂 . XXXX