數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用(畢業(yè)論文)(完整版)
【正文】 2222BE bac ???? 又因?yàn)?CDBE? ，則有如下不等式的成立 baba ???? 222 對(duì)上述不等式的兩邊平方可得到 吉首大學(xué)本科生畢業(yè)論文 8 222 )()(2 baba ??? 即原不等式成立得到證明 . 例 9 已知 ,abm 都是正數(shù) ，且 ab? ， 求證 ： a a mb b m?? ?. 分析 要從 不等式 a a mb b m?? ?的結(jié)構(gòu)上觀察，可以聯(lián)想到三角形相似比的問題，因此我們可以 構(gòu)造圖 形來 進(jìn)行證明 . 證明 如右圖 10 所示，構(gòu)造一個(gè)直角三角形 ABC ，在邊 AC 上取一點(diǎn) D ，并且使得 CD b? ， 過點(diǎn) D 作 DE BC? ，垂足為 E 令 CE a? BE m? .由于 C E B C C E B C B CC D A C C D C D A D C D D F? ? ? ??? 即 構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)圖象性質(zhì)證明不等式 例 10 已知實(shí)數(shù) Rcba ?, ，請(qǐng)證明下述不等式的成立 2222 )(31 cbacba ????? 分析 我們可以先把不等式變形，再根據(jù)變形后不等式，聯(lián)想到三角形的重 心 ，這道題將通過引入函數(shù)圖形進(jìn)行數(shù)形結(jié)合對(duì)其進(jìn)行證明 . 證明 原不等式等價(jià)為 222233 ?????? ????? cbacba 設(shè)二次函數(shù) 2xy? ，則可將 ),(),(),( 222 ccbbaa 看作曲線 2xy? 上的三個(gè)點(diǎn)，則原式的左邊 3 222 cba ?? 是三點(diǎn)縱坐 標(biāo)平均值，右邊是橫坐標(biāo)平均值 3 cba ?? 的平方，這樣為由這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形的重心坐標(biāo)為 ???????? ???? 3,3222 cbacba . a b FEAB CDm 圖 10 a a m a mb b AD b m????吉首大學(xué)本科生畢業(yè)論文 9 ABCDMPGxy 圖 11 曲線 2xy? 的圖形 如圖 11 所示，作出函數(shù) 2xy? 的圖形， A、 B、 C 三點(diǎn)在函數(shù) 2xy? 上，分別表示點(diǎn) ),(),(),( 222 ccbbaa .此時(shí) G 是 ΔABC 的重心， xGP? 軸于 p 且與曲線 2xy? 交于點(diǎn) M，則有點(diǎn) G 和 M 的坐標(biāo)為 ???????? ???? 3,3 222 cbacba 、 ???????? ?????? ???? 23,3 cbacba 如圖 11 所示，顯然有 |MP||GP| ? ，則有不等式 222233 ?????? ????? cbacba成立，即可證得原不等式成立 2222 )(31 cbacba ????? 通過平時(shí)的練習(xí)和積累能較快掌握，這類不等式的證明題 ,恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造幾何圖形來解決是這類題目的難點(diǎn) . 數(shù)形結(jié)合在解決三角函數(shù)問題中的應(yīng)用 三角函數(shù)這章是高中相對(duì)重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，下面就 通過 兩個(gè) 考試中比較 例子， 來表示 三角函數(shù) 與 數(shù)形結(jié)合方法 的完美結(jié)合 . 例 11 已知 ? ?( ) sin 2 sin , 0 , 2f x x x x ?? ? ?的圖形與直線 yk? 有且僅有 2 個(gè)不同的交點(diǎn)，求 k 的取值范圍 . 分析 這道題 我們可以先把 ()fx去絕對(duì)值，在畫出圖像，根據(jù)圖像求解 . 吉首大學(xué)本科生畢業(yè)論文 10 例 12 求函數(shù) sin 2cos 2xy x?? ?的值域 . 分析 我們可以原函數(shù)看成是直線斜率，再化簡(jiǎn)，求答案 . 解 sin 2cos 2xy x?? ? 可以看成兩點(diǎn) ? ?0 2, 2P ? ， ? ?cos ,sinP x x 所在直線的斜率，而 P在單位圓上運(yùn)動(dòng) .如圖 13所示，可得：00P OA P OBk y k?? 設(shè)過 0P 的圓的切線方程為 2 ( 2)y k x? ? ? ，則有，22211kk? ?? 解得 473k ??? ，即 : 4 7 4 733y? ? ? ??? 所以 , 函數(shù)的值域?yàn)?: 4 7 4 7,33??? ? ? ????? 解 ? ?? ?3 s in , 0 ,()s in , , 2xxfx xx ???? ??? ????? 畫出圖形，如圖 12 由圖像可知， 13k?? y 圖 12 圖 13 吉首大學(xué)本科生畢業(yè)論文 11 數(shù)形結(jié)合在求解極值問題中的應(yīng)用 在高中 數(shù)學(xué)中極值占有相當(dāng)重要的地位，它是函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，涉及知識(shí)面寬 .本節(jié)主要探討數(shù)形結(jié)合思想在求解幾何極值和函數(shù)極值中的應(yīng)用 . 數(shù)形結(jié)合在幾何極值問題中的應(yīng)用 例 13[7] 如圖 14 所 示，已知 P 為平行四邊形 ABCD 的 AB 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， DP的延長(zhǎng)線與 CB 的延長(zhǎng)線相交于 Q ，問 P 點(diǎn)在什么位置時(shí)，使得的值 AP BQ? 最??？ 解 P 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn)， Q 點(diǎn)隨 P 的運(yùn)動(dòng)而動(dòng)，題中涉及兩個(gè)未知量的和 . BQ隨 AP 的變化而變化，所以可用 AP 的代數(shù)式來表示 .這種，我們?cè)O(shè)所求兩 線段之和為線段 AP 的函數(shù)，即可用代數(shù)法求解 . A BCDPQ 圖 14 平行四邊形 ABCD 設(shè) , , , ,AP x AB m AD n AP BQ y? ? ? ? ?易
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