數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用(畢業(yè)論文)-文庫吧在線文庫
【正文】 從上面 三 個(gè)實(shí)際的例題可以看出，合理、靈活、巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合 來解題，可以將復(fù)雜問題簡單化 ， 化難為易，有事半功倍之效 .所以，平時(shí)應(yīng)該注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想 . 利用數(shù)形結(jié)合解決方程問題 數(shù)形集合思想在方程的題目中經(jīng)常用到，尤其是含有一次式、二次式 、對數(shù)式和指 數(shù)式 方程， 下面就是幾種常見的題型中用到了數(shù)形結(jié)合 . 數(shù)形結(jié)合在 含有一次 、二次 式的方程中的應(yīng)用 下面 兩個(gè)例題將把方程進(jìn)行變換再求解， 再 根 據(jù) 相對應(yīng)圖形的性質(zhì)來解答 ，這樣 可以加深 我們對 基本概念的理解，加強(qiáng)對基本知識與基本技能的靈活運(yùn)用 . 例 4[5] 當(dāng) 01k??時(shí)，關(guān)于 x 的方程 kkxx ??? |1| 2 的解的個(gè)數(shù)是多少？ 吉首大學(xué)本科生畢業(yè)論文 5 xy 1 0 1|1| 2xy ??kkxy ?? 圖 5 函數(shù)圖像 分析 這道題 原方程中包含有絕對值運(yùn)算符號 ，我們直接求解比較困難，所以，我們能想到求方程解的個(gè)數(shù)等價(jià)于就其相對應(yīng)函數(shù)圖形的交點(diǎn) . 解 由于 kkxx ??? |1| 2 則令 |1| 2xy ?? 和 kkxy ?? 如圖 5 示我們把函數(shù) |1| 2xy ?? 和 kkxy ?? 的圖像畫出來 其交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是我們方程所以求得的解的個(gè)數(shù) 即 原方程解的個(gè)數(shù)是三個(gè) 例 5 當(dāng) m 取何值時(shí)，方程 )22(0s ins in 2 ?? ?????? xmxx 有唯一解？有兩解？無解？ 分析 用換元法，令 xt sin? ，再轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題 . 41 1?2?1 21?2?my ? y t O o 圖 6 2y t t?? ? 吉首大學(xué)本科生畢業(yè)論文 6 解 原方程即 )22(s ins in 2 ?? ?????? xmxx 令 xt sin? . 則有 )11(2 ?????? tmtt ,再令 )11(2 ?????? ttty 及 my? . 則方程解的個(gè)數(shù)等于直線 my? 與拋物線 )11(2 ?????? ttty 的交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 由圖 6 可知 當(dāng) 41?m 或 02 ??? m 時(shí)，原方程有唯一解； 當(dāng) 410 ??m 時(shí)，原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解； 當(dāng) 41?m 或 2??m 時(shí)，原方程無解 . 數(shù)形結(jié)合在 含對數(shù) 、指數(shù) 的方程 的應(yīng)用 由于對數(shù) 式 、指數(shù)式形式 比較 特殊，所以在解決一些含對數(shù)、指數(shù)方程時(shí)，我們 時(shí)?？梢愿鶕?jù)它們 性質(zhì)畫圖來解 . 例 6 ||0 1 | l og | ( )x aa a x? ? ?已 知 ， 則 方 程 的 實(shí) 根 個(gè) 數(shù) 為. A . 1 個(gè) B . 2 個(gè) C . 3 個(gè) D . 1 個(gè)或 2 個(gè)或 3 個(gè) 解 判斷方程的根的個(gè)數(shù)就 是判斷圖象 與 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫y a y xx a? ?| | | log | 出兩個(gè)函數(shù)圖象，由圖 7 易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有 2 個(gè)實(shí)根 ,選（ B ） . 圖 7 例 7 方程 lgx+x=3 的解所在 區(qū)間為 （ ） A ． (0， 1) B ． (1， 2) C ． (2， 3) D ． (3， +∞ ) 分析 我們可以把原方程拆分成 函 數(shù) lgyx? 與 3yx?? ? ，求原方程解所在的區(qū)間也就是求這 2 個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)所在區(qū)間 . logayx? xy a? 圖 8 y=x+3 y=lgx 吉首大學(xué)本科生畢業(yè)論文 7 解 如圖 8 所示， 函 數(shù) y=lgx 與 y=x+3 它們 圖像 交點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) 0x 顯 然在 區(qū)間 (1， 3)內(nèi) ，由此 可排除 A ， D 至于 選 B 還 是 選 C ，由于 畫圖 精確性的限制， 單 憑直 觀 就比 較 困 難 了． 實(shí)際 上 這 是要比 較 0x 與 2 的大小． 當(dāng) x=2 時(shí) lgx=lg2 3x=1．由于 lg2＜ 1 因此 0x ＞ 2 從 而判定 0x ∈ (2， 3)，故本 題應(yīng)選 C 在上面四個(gè)例題中，我們可以知道利用數(shù)和形的各自優(yōu)勢，往往能使我們盡快地找到解題途徑或簡化解題過程，給解題帶來極大的方便 . 數(shù)形結(jié)合 在求不等式問題中的應(yīng) 用 不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)有著重要地位，而不等式的證明又是個(gè)難題，它的題型廣泛、靈活 .下面我將從運(yùn)用代數(shù)式的幾何意義或借助函數(shù)的圖象構(gòu)造幾何圖形入手，利用數(shù)形結(jié)合的思想來巧妙地求解不等式問題 . ． 1 構(gòu)造適當(dāng)?shù)钠矫鎴D形，利用三角形三邊的關(guān)系來證明不等式 我將舉常見的兩個(gè)證明題，并且給出詳細(xì)解答步驟，來說明不等式和數(shù)形結(jié)合思想的巧妙結(jié)合 . 例 8 已知實(shí)數(shù) 0, 0ab??，請證明如下不等式成立 22222 ?????? ??? baba. 分析： 我們可以構(gòu)造一個(gè)四邊形 ，在利用勾 股定理來解 . 證明 ： 如圖 9 所示，作以 a , b 為上、下底， ab? 為高的直角梯形 BCDE ，在圖中有 ,BC AD a C A C E b? ? ? ?. BC A DEabccabd 圖 9 直角梯形 BCDE 則根據(jù)勾股定理有 22AEAB bac ????
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