人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第3章31第1課時數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念-文庫吧在線文庫
【正文】 ；求解第( 3 ) 小題時，既要考慮實部為 0 ，同時需虛部不為 0 ，兩者缺一不可． 實數(shù) x 分別取什么值時，復(fù)數(shù) z ＝x2－ x － 6x ＋ 3＋ ( x2－ 2 x － 1 5 ) i是 ( 1 ) 實數(shù)？ ( 2 ) 虛數(shù)？ ( 3 ) 純虛數(shù)？ [ 解析 ] ( 1 ) 當(dāng) x 滿足????? x2 － 2 x － 15 ＝ 0 ，x ＋ 3 ≠ 0 ，即 x ＝ 5 時， z 是實數(shù)． ( 2 ) 當(dāng) x 滿足????? x2－ 2 x － 15 ≠ 0 ，x ＋ 3 ≠ 0 ，即 x ≠ － 3 且 x ≠ 5 時， z 是虛數(shù)． ( 3 ) 當(dāng) x 滿足????? x2－ x － 6x ＋ 3＝ 0 ，x2－ 2 x － 15 ≠ 0 ，即 x ＝－ 2 或 x ＝ 3 時， z 是純虛數(shù) . 復(fù)數(shù)的相等 已知 x2－ y2＋ 2xyi＝ 2i， 求實數(shù) x、 y的值 ． [分析 ] 當(dāng) x、 y∈ R時 ， 條件式左 、 右均為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 ， 故可根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義將其轉(zhuǎn)化為實系數(shù)方程 (組 )去求解 ． [ 解析 ] ∵ x 、 y ∈ R ， ∴ 由復(fù)數(shù)相等的條件，得 ????? x2 － y 2 ＝ 0 ，2 xy ＝ 2.解得????? x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，或????? x ＝－ 1 ，y ＝－ 1. [ 方法總結(jié) ] 只有當(dāng) a 、 b 、 c 、 d ∈ R 時，由 a ＋ b i ＝ c ＋ d i才可推出????? a ＝ c ，b ＝ d . 若 z1＝ si n 2 θ ＋ i c o s θ ， z2＝ c o s θ ＋ i 3 si n θ ，且 z1＝ z2，則 θ等于 ( ) A ． k π( k ∈ Z ) B ． 2 k π ＋π3( k ∈ Z ) C ． 2 k π177。1 ＝ a ； ③ 加法和乘法都適合交換律、結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律； ④ 實數(shù)系和數(shù)軸上的點可以建立一一對應(yīng)關(guān)系． 2 ．虛數(shù) i 的引入及其性質(zhì) 數(shù)的概念擴充到實數(shù)集后，人們發(fā)現(xiàn)在實數(shù)范圍內(nèi)很多問題還不能解決，如從解方程的角度看，像 x2＝－ 1 這個方程在實數(shù)范圍內(nèi)就無解，為了解決這類問題，需要把數(shù)的范圍作進(jìn)一步的擴充． 為此，人們引入一個新數(shù) i ，叫虛數(shù)單位，且規(guī)定： ( 1 ) i2＝－ 1. ( 2 ) i 可與實數(shù)進(jìn)行四則運算，且原有的加、乘運算律仍成立．這樣就產(chǎn)生了形如： a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的數(shù)叫 復(fù)數(shù)，顯然 i是－ 1 的一個平方根，即 i 是方程 x2＝－ 1 的一個解． 注意： 對虛數(shù)單位 i 的性質(zhì)的理解 ( 1 ) i2＝－ 1. ( 2 ) i 與實數(shù)之間可以運算，亦適合加、減、乘的運算律． ( 3 ) 由于 i20 與實數(shù)集中 a2≥ 0( a ∈ R ) 矛盾，所以實數(shù)集中很多結(jié)論在復(fù)數(shù)集中不再成立． (2020數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第三章 1 9 4 5 年，意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家卡丹在其所著《重要的藝術(shù)》一書中列出將 10 分成兩部分，使其積為 40 的問題，即求方程 x ( 1 0 － x ) ＝ 40 的根，他求出的根為 5 ＋ － 15 和 5 －－ 15 ，積為 25 － ( － 1 5 )
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