20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學25夾角的計算-文庫吧在線文庫
【正文】 + ?? ??1 ) ?? ?? = 0 , ?? ?? ?? ?? | ?? ?? || ?? ?? |= 44 13= 1313, ∴ PA 與 BC 夾角的余弦值為 1313. 探究一 探究二 探究三 探究四 點評 要求兩條異面直線的夾角 ,首先建立適當?shù)目臻g直角坐標系 ,求出兩條異面直線所在的方向向量 ,然后求出兩個向量夾角的余弦值 ,最后轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的夾角 .這里要注意的是 ,向量夾角的范圍是 [ 0 , π ], 而異面直線夾角的范圍是 0 ,π2 .若最后用向量法求出兩向量的夾角是鈍角時 ,要轉(zhuǎn)化為其補角 ,才可以作為兩條異面直線的夾角 . 探究一 探究二 探究三 探究四 直線與平面的夾角 設直線 l 的方向向量為 m ,平面 α 的法向量為 n ,直線 l 與平面 α 的夾角為 θ ,則 sin θ =| cos ?? m , n ?? |=?? ?? ??1 = 0 . ∴ a x= 0 ,且 2 a y= 0 . ∴ x= y= 0 ,故 n = ( λ , 0 , 0 ) . ∵ ?? ??1 = 32a ,??2, 2 a , ∴ co s ?? ??1 , n =?? BP = 0和 ??2 ?? ?? = 0 .又 ?? ?? = 12, 1 , 0 , ?? ?? = 12, 0 , 1 , ∴12x+ y= 0 ,且 12x+ z = 0 , 令 x= 1 ,得 n = 1 , 12,12 . ∴ co s ?? ?? , n =AD , y39。 ( 2 , 0 , 0 ) = 0 ,( ?? 39。= 1 ,則 n = ( 0 , 1 , 1 ), ∴ co s m , n =?? ( 0 , 1 , 1 ) = 0 , ∴ ?? 39。 CP = 0 , ∴ ( ?? 39。 AP = 0 ,?? ??2| ??1|| ??2|= 105. 觀察圖形知二面角 B PC D 為鈍角 , 所以二面角 B PC D 的余弦值為 105. 1 2 3 4 1 . 在長方體 A B C D A1B1C1D1中 , 已知 AB= 4 , A D = 3 , AA1= 2 , E , F 分別是線段AB , BC 上的點 , 且 E B = F B = 1 , 則直線 EC1與 FD1夾角的余弦值是 ( ) A . 2114 B. 1421 C.27 D.121 解析 :如圖 ,以 D 為原點 , DA , DC , D D1 的方向 為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標系 , 則 E ( 3 , 3 , 0 ), F ( 2 , 4 , 0 ), D1( 0 , 0 , 2 ), C1( 0 , 4 , 2 ) . 所以 E C1 = ( 3 , 1 , 2 ), F D1 = ( 2 , 4 , 2 ), 所以 co s E C1 , F D1 =E C1 DE = 0 ,?? ?? ?? = 0 , ?? ??1 | ?? ?? |= ??2 2 a 2 a= 12, ∴ ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =2 π3, ∴ 異面直線 BA1和 AC 的夾角為π3. 探究一 探究二 探究三 探究四 解法二 :以 D 為原點 , DA , DC , DD1所在的直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系 ,則 A ( a , 0 , 0 ), B ( a , a , 0 ), C ( 0 , a , 0 ), A1( a , 0 , a ) . ∴ ?? ??1 = ( 0 , a , a ), ?? ?? = ( a , a , 0 ) . ∴ co s ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =?? ??1 ?? ?? + ?? ??1 若求出的向量的夾角為銳角或直角 ,則可以直接表示異面直線的夾角 . 1 2 3 2 . 平面間的夾角
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