20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)24用向量討論垂直與平行-文庫吧在線文庫
【正文】 ?? = ( 3 , 0 , 0 ), ?? ??1 = ( 0 , 4 , 4 ) , ∴ ?? ?? ?? ?? = ( 1 , 1 , 1 ) ?? ??1 = ( 1 ) 12+ ( 1 ) 12+ 1 1 = 0 , ∴ ?? ??1 ⊥ ?? ??1 , ∴ BD1⊥ EB1. 探究一 探究二 探究三 點(diǎn)評 向量 a , b 的數(shù)量積 a ?? ?? = ( x2, y2, z2) AE = 2 y1+ z1= 0 , ∴ ??1= 0 ,??1= 2 ??1,取 y1= 1 ,則 n1= ( 0 , 1 , 2 ) . 同理可求 n2= ( 0 , 1 , 2 ) . 探究一 探究二 探究三 ( 1 ) ∵ n 1 平面與平面垂直 ,常用法向量互相垂直來判斷 .用向量知識來探討空間的垂直問題 ,主要研究向量的共線或垂直 ,以便用向量的基本運(yùn)算進(jìn)行求解 .當(dāng)幾何體比較特殊時 ,構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系解題較為簡單 . 一 二 二、空間中的平行關(guān)系 1 . 線線平行判定定理 如果平面內(nèi)的兩條直線沒有 公共點(diǎn) , 則這兩條直線平行 . 2 . 線面平行判定定理 若 平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線 平行 , 那么這條直線和這個平面平行 . 3 . 面面平行判定定理 若一個平面內(nèi)有兩條相交直線都 平行 于另一個平面 , 則這兩個平面平行 . 一 二 思考 2 如何利用向量知識判斷直線、平面的平行 ? 提示 :平行關(guān)系包括 :線線平行、線面平行和面面平行 .用向量知識判斷時 ,主要是研究直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系 .通常情況下 ,構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系 ,用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解 .兩條直線 ( 不重合 ) 的方向向量共線時 ,兩條直線平行 .一條直線與一個平面的法向量垂直時 ,若直線不在平面內(nèi) ,則直線與平面平行 .兩個平面 ( 不重合 ) 的法向量共線時 ,兩個平面平行 .通常 ,用向量共線的充要條件或向量數(shù)量積的計算公式求解 . 探究一 探究二 探究三 求平面的法向量 要求出一個平面的法向量的坐標(biāo) ,一般要建立空間直角坐標(biāo)系 ,然后用待定系數(shù)法求解 ,一般步驟如下 : ( 1 ) 設(shè)出平面的法向量為 n = ( x , y , z ) . ( 2 ) 找出 ( 求出 ) 平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo) a = ( a1, b1, c1), b = ( a2, b2, c2) . ( 3 ) 根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于 x , y , z 的方程組 ?? ?? = 0 ,?? ?? ?? 1 = ( 0 , 1 , 2 ) ( 0 , 1 , 1 ) = y2+z2= 0 , n b = 0 ,表示 a ⊥ b ,也表示它們的基線垂直 ,這是向量中一個最重要的應(yīng)用 ,而且我們還可以利用這一結(jié)論來證明線面、面面垂直 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 6 】 在正方體 A B C D A1B1C1D1中 , E , F 分別是 BB1, D1B1的中點(diǎn) . 求證 : EF ⊥ 平面 B1A C . 思路分析 :可以從幾何的角度或向量運(yùn)算的角度進(jìn)行證明 . 證法一 :如圖 ,取 A1B1的中點(diǎn) G ,連接 EG , FG , A1B ,則 FG ∥ A1D1, EG ∥ A1B. ∵ A1D1⊥ 平面 A1B , ∴ FG ⊥ 平面 A1B. ∵ A1B ⊥ AB1, ∴ EG ⊥ AB1. 由三垂線定理 ,得 EF ⊥ AB1. 同理 EF ⊥ B1C. 又 ∵ AB1∩ B1C = B1, ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 證法二 :設(shè) ?? ?? = a , ?? ?? = c , ?? ??1 = b ,則 ?? ?? = ?? ??1 + ??1F =12( ?? ??1 + ??1??1 ) =12( ?? ??1 + ?? ?? ) =12( ?? ??1 + ?? ?? ? ?? ?? ) =12( a +b +c ), ?? ??1 = ?? ?? + ?? ??1 = a + b . ∴ ?? ?? ( 2 , 2 , 0 ) = 2 2 + 0 = 0 , ∴ EF ⊥ AB1, EF ⊥ A C . 又 ∵ AB1∩ A C = A , ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 反思 ( 1 ) 解決本題時 ,有 3 種證明方法 . 證法一 :用傳統(tǒng)的幾何法 證明 ,利用三垂線定理 ,需添加輔助線 . 證法二 :選基底 ,將相關(guān)向量用基底表示出來 ,然后利用向量的計算來證明 . 證法三 :建立空間直角坐標(biāo)系 ,利用向量 ,且將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)( 坐標(biāo) ) 的運(yùn)算 ,以達(dá)到證明的目的 . ( 2 ) 幾何的綜合推理有時技巧性較強(qiáng) ,而向量代數(shù)運(yùn)算屬程序化操作 ,規(guī)律性較強(qiáng) ,但有時運(yùn)算量大 ,兩種處理方法各有優(yōu)點(diǎn) . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 7 】 在正棱錐 P ABC 中 , 三條側(cè)棱兩兩互相垂直 , G 是△ PAB 的重心 , E , F 分別為 BC , PB 上的點(diǎn) , 且 BE ∶ E C = P F ∶ F B = 1 ∶ 2 . 求證 :( 1 ) 平面 GE F ⊥ 平面 P B C 。 ?? ??1 = 0 , ∴ ?? ?? ⊥ ?? ??1 , ∴ AC ⊥ BC1. 1 2 3 4 5 ( 2 ) 如圖 ,設(shè) CB 1 與 C 1 B 的交點(diǎn)為 E ,連接 DE , 則 E ( 0 , 2 , 2 ), ∴ ?? ??
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