【正文】 對(duì)所有的 t 對(duì)所有的 t 和 s ()()()48167。則式（ ）可以改寫為： ()52若設(shè) ，令 ()則 ?(z) 是一個(gè)關(guān)于 z的 p次多項(xiàng)式， AR(p) 模型平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。 ()55 2． MA(q) 模型的可逆性 考察 MA(q) 模型 若 的根全部落在單位圓之外，則式（ ）的 MA算子稱為可逆的 。 例如，估計(jì)一個(gè) 2階自回歸和 1階動(dòng)平均過程ARMA(2,1)，應(yīng)將 AR(1), MA(1), AR(2)和其它解釋變量一起包含在回歸因子列表中： y c gov ar(1) ar(2) ma(1) 61 如果采用公式法輸入方程，則要將 AR和 MA項(xiàng)系數(shù)明確列出，形式為： LS = c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3),ma(1)=c(4)]。存在 SAR項(xiàng)則允許建立一個(gè)滯后多項(xiàng)式。還可以在方程說明中同時(shí)包括 SAR， SMA項(xiàng)。 ARMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別 在實(shí)際研究中，所能獲得的只是經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的樣本特征，來推斷其總體（真實(shí)）特征。在 p階滯后下估計(jì)偏相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下 ()72其中： rk 是在 k階滯后時(shí)的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值。 ut與 ut+k 不相關(guān)，這種性質(zhì)通常稱為截尾。 因此，可以通過自相關(guān)系數(shù)來獲得一些有關(guān) AR(p) 模型的信息，如低階 AR(p) 模型系數(shù)符號(hào)的信息。 81例例 利用自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)利用自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù) 識(shí)別識(shí)別 ARMA模型并檢驗(yàn)序列相關(guān)性模型并檢驗(yàn)序列相關(guān)性 例 1947年第 1季度～ 1995年第 1季度的消費(fèi)和 GDP之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)殘差存在序列相關(guān)，并且例 AR(3) 模型修正了殘差的序列相關(guān)性。88例例 利用消費(fèi)價(jià)格指數(shù)研究模型識(shí)別和建模利用消費(fèi)價(jià)格指數(shù)研究模型識(shí)別和建模 本例將用 ARMA模型模擬 1990年 1月～ 2023年 12月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù) CPI（上年同月 =100）的變化規(guī)律。 一個(gè)平穩(wěn)序列的數(shù)字特征，如均值、方差和協(xié)方差等是不隨時(shí)間的變化而變化的，時(shí)間序列在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)性服從一定的概率分布。這種過程也稱為趨勢(shì)平穩(wěn)的，因?yàn)槿绻麖氖?()中減去 a + ? t，結(jié)果是一個(gè)平穩(wěn)過程。100 殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列的回歸被稱為偽回歸 ，這樣的一種回歸有可能擬合優(yōu)度、顯著性水平等指標(biāo)都很好，但是由于殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列，說明了這種回歸關(guān)系不能夠真實(shí)的反映因變量和解釋變量之間存在的均衡關(guān)系，而僅僅是一種數(shù)字上的巧合而已。一般而言，表示存量的數(shù)據(jù)，如以不變價(jià)格表示的資產(chǎn)總值、儲(chǔ)蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為 2階單整；以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等流量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為 1階單整；而像利率、收益率等變化率的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為 0階單整。 ()式可寫成： 顯然 yt 的差分序列是平穩(wěn)的。 110 上面描述的單位根檢驗(yàn)只有當(dāng)序列為 AR(1) 時(shí)才有效。 114 但是，在進(jìn)行 ADF檢驗(yàn)時(shí)，必須注意以下兩個(gè)實(shí)際問題： （ 1）必須為回歸定義合理的滯后階數(shù) 。 EViews5提供了 6種單位根檢驗(yàn)的方法：① Augmented DickeyFuller(ADF) Test ② PhillipsPerron(PP) Test③ DickeyFuller GLS Test④ Kwiatkowski , Phillips , Schmidt and Shin (KPSS) Test ⑤ Elliot , Rothenberg , and Stock Point Optimal (ERS) Test⑥ Ng and Perron (NP) Test119 2．選擇被檢驗(yàn)序列的形式 在 Test for unit root in中確定序列在水平值、一階差分、二階差分下進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。一般而言， EViews默認(rèn)Akaike info準(zhǔn)則和 Scharz準(zhǔn)則。我們可以通過畫出原序列的圖形來判斷是否要加入常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。 ()130() 其中 q 是截?cái)鄿笠蜃樱?t? 是 t統(tǒng)計(jì)量， 是 的標(biāo)準(zhǔn)差， 是回歸標(biāo)準(zhǔn)差， 是殘差序列的 j階自協(xié)方差的估計(jì)值， 殘差在零頻率處的譜密度估計(jì)量。令()134則 KPSS統(tǒng)計(jì)量 LM構(gòu)造如下： () KPSS檢驗(yàn)的原假設(shè)是序列是（趨勢(shì)）平穩(wěn)的；備選假設(shè)是序列是不平穩(wěn)的。設(shè) yt是 d階單整序列，即 yt～ I(d)，則 () wt為平穩(wěn)序列，即 wt～ I(0)，于是可以對(duì) wt建立ARMA(p,q) 模型 139()用滯后算子表示，則 其中 ()140 經(jīng)過 d階差分變換后的 ARMA(p,q) 模型稱為ARIMA(p,d,q) 模型 (autoregressive integrated moving average models)，式（ ）等價(jià)于下式() 估計(jì) ARIMA(p,d,q) 模型同估計(jì) ARMA(p,q) 具體的步驟相同，惟一不同的是在估計(jì)之前要確定原序列的差分階數(shù) d，對(duì) yt進(jìn)行 d階差分。例如， D(GDP)定義 GDP的一階差分，或 GDPGDP(1)。1463. ARIMA估計(jì)的輸出 含有 AR或 MA項(xiàng)的模型的估計(jì)輸出和 OLS模型一樣，只是在底部增加了一個(gè) AR， MA多項(xiàng)式的根的倒數(shù)。 用 ADF單位根檢驗(yàn)得到結(jié)論： GDP序列是 2階單整序列，即 GDP ～ I (2)。如果 的根的倒數(shù)在單位圓外，說明 MA過程是不可逆的，應(yīng)使用不同的初值重新估計(jì)模型，直到得到滿足可逆性的動(dòng)平均。 如果需要對(duì)數(shù)形式，可以使用 Dlog算子，它以對(duì)數(shù)值返回差分。博克斯 — 詹金斯的建模思想可分為如下 4個(gè)步驟： （ 1）對(duì)原序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，如果序列不滿足平穩(wěn)性條件，可以通過差分變換（單整階數(shù)為 d，則進(jìn)行 d階差分）或者其他變換，如對(duì)數(shù)差分變換使序列滿足平穩(wěn)性條件； （ 2）通過計(jì)算能夠描述序列特征的一些統(tǒng)計(jì)量（如自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)），來確定 ARMA模型的階數(shù)p和 q，并在初始估計(jì)中選擇盡可能少的參數(shù)；143 （ 3）估計(jì)模型的未知參數(shù)，并檢驗(yàn)參數(shù)的顯著性，以及模型本身的合理性； （ 4）進(jìn)行診斷分析，以證實(shí)所得模型確實(shí)與所觀察到的數(shù)據(jù)特征相符。135 5. ERS檢驗(yàn) ERS（ ElliotRothenbergStock Point Optimal, 1996）檢驗(yàn)是在被檢驗(yàn)序列的 擬差分序列 回歸基礎(chǔ)上構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)的。令 {yt}是被檢驗(yàn)序列， {xt}是外生變量向量序列。因此， CPI序列是 1階單整序列，即 CPI～ I(1)。 122 5．關(guān)于核函數(shù)形式的選擇 如果選擇 KPSS法、 ERS法和 NP法進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，還需要選擇適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)。 120 3．定義檢驗(yàn)方程中需要包含的選項(xiàng) 在 Include in test equation中定義在檢驗(yàn)回歸中是否含有常數(shù)項(xiàng)、常數(shù)和趨勢(shì)項(xiàng)、或二者都不包含。 ① 如果在檢驗(yàn)回歸中含有常數(shù)，意味著所檢驗(yàn)的序列的均值不為 0，一個(gè)簡(jiǎn)單易行的辦法是畫出檢驗(yàn)序列的曲線圖，通過圖形觀察原序列是否在一個(gè)偏離 0 的位置隨機(jī)變動(dòng)，進(jìn)而決定是否在檢驗(yàn)時(shí)添加常數(shù)項(xiàng)； 116 ② 如果在檢驗(yàn)回歸中含線性趨勢(shì)項(xiàng)，意味著原序列具有時(shí)間趨勢(shì)。 序列 yt可能還包含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。109 但是， DickeyFuller研究了這個(gè) t 統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下已經(jīng)不再服從 t 分布，它依賴于 回歸的形式 (是否引進(jìn)了常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng) ) 和 樣本長(zhǎng)度 T 。 前三種方法出現(xiàn)的比較早，在實(shí)際應(yīng)用中較為常見，但是，由于這 3種方法均需要對(duì)被檢驗(yàn)序列作可能包含常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)變量項(xiàng)的假設(shè)，因此，應(yīng)用起來帶有一定的不便；后 2種方法克服了前 3種方法帶來的不便，在剔除原序列趨勢(shì)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列是否存在單位根，應(yīng)用起來較為方便。定義如下： 定義 如果序列 yt ，通過 d 次差分成為一個(gè)平穩(wěn)序列，而這個(gè)序列差分 d–1次時(shí)卻不平穩(wěn)，那么稱序列yt為 d階單整序列，記為 yt ～ I(d)。若令 a = 0， y0 = 0，則由式 ()生成的序列 yt，有 var(yt) = t? 2（t = 1, 2, ? , T），顯然違背了時(shí)間序列平穩(wěn)性的假設(shè)。 而 非平穩(wěn)時(shí)間序列在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)規(guī)律是不同的，難以通過序列已知的信息去掌握時(shí)間序列整體上的隨機(jī)性。建模得到 91圖 左邊是 CPI序列的實(shí)際值和擬合值，右邊是殘差序列 由圖 AR(1) 模型比較好的擬合了CPI序列，回歸方程的殘差序列基本上也是一個(gè)零均值的平穩(wěn)序列。下面計(jì)算殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。 對(duì)于一個(gè) AR(p)模型， ()將式（ ）兩邊同時(shí)乘以 utk ( k = 1, 2 , …, p) ，再對(duì)方程兩邊取期望值并除以序列 ut的方差得到如下關(guān)于系數(shù) ?1 , ?2 , …, ?p的線性方程組： ()80其中： r1 , r2 , …, rp分別為序列 ut 的 1 , 2 , …, p階自相關(guān)系數(shù)。故可以通過識(shí)別一個(gè)序列的偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾形式，大致確定它應(yīng)該服從一個(gè) MA(q) 過程。73 如果這種自相關(guān)的形式可由滯后小于 k階的自相關(guān)表示，那么偏相關(guān)在 k期滯后下的值趨于零。它告訴我們?cè)谛蛄?ut的鄰近數(shù)據(jù)之間存在多大程度的相關(guān)性。記上證股價(jià)指數(shù)變化率序列為 sr，建立如下模型： 67回歸結(jié)果為： 68圖 實(shí)線是上證股價(jià)指數(shù)變化率序列 sr，虛線是 AR(1)模型的擬合值 從圖 1991年～ 1994年之間變化很大，而后逐漸變小，基本在3% 上下波動(dòng)。 在另一個(gè)例子中，無季節(jié)性的二階 MA過程如下 可以通過包含 ma(1)和 ma(2)來估計(jì)二階 MA過程。 SAR(p)定義為帶有 p階滯后的季節(jié)自回歸項(xiàng)。 可以看出 ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)，而與移動(dòng)平均模型參數(shù)無關(guān)。事實(shí)上，式（ ）是沃爾德分解定理（ Wold 定理）的特例。當(dāng) p = 0時(shí)，ARMA(0, q) = MA(q)；當(dāng) q = 0時(shí)， ARMA(p, 0) = AR(p)。 本節(jié)中介紹的 ARMA模型（ autoregressive moving average models）可以用來研究這些經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律，這樣的一種建模方式屬于時(shí)間序列分析的研究范疇。子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。在用同期信息對(duì) y t值進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，這些殘差是可以觀測(cè)出的誤差，但要忽略滯后殘差中包含的信息。 3． SAR， MA， SMA系數(shù)（按階數(shù)由高到底） 38 例如： 下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù) Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1) 也可使用程序指令安排 C向量值 param c(1) 50 c(2 ) c(3) c(4) c(5) c(6) 初值：常數(shù)是 50， X系數(shù)的初值是 ， ar(1)、 ma(2)、 ma(1)、 sma(4) 系數(shù)的初值分別是 ， ， ， ?？梢赃x擇， ， 。非線性估計(jì)方法對(duì)所有系數(shù)估計(jì)都要求初值。對(duì)于高階自回歸過程，可以采取與一階序列相關(guān)類似的方法，把滯后誤差逐項(xiàng)代入，最終得到一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)為白噪聲序列，參數(shù)為非線性的回歸方程，并且采用 GaussNewton迭代法求