亞正定變換研究(存儲(chǔ)版)
【正文】 推廣： 定理 5 設(shè) ? 是 n 維歐氏空間 V 的 一個(gè)亞正定變換，對(duì)任意 , V??? ，有 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 2） 當(dāng)且僅當(dāng) ,??線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)才成立 . 證明 當(dāng) 0?? 時(shí) ,(2)式顯然成立 ,以下討論 0?? 的情況 : 因?yàn)?? 為亞正定變換，則對(duì) , , 0V? ? ?? ? ?， tR? ，有 ( ( ), ) 0tt? ? ? ? ?? ? ? 展開，得 2( , ) [ ( , ) ( , ) ] ( , ) 0tt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? （ 3） 由于 ? 為亞正定變換， 0?? ，故 ( , ) 0?? ? ? ， （ 3）式為二次式，故判別式 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , ) 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 即得 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 4） 當(dāng) ,??線性相關(guān)時(shí) ,等號(hào)顯然成立 .反過來如果等號(hào)成立 ,由上面證明過程可以看出 ,或者 0?? ,也就是說 ,??線性相關(guān) .定理 5得證 . 推論 1 設(shè) V 是一個(gè)歐氏空間，則對(duì) V 中任意向量 ,??，有 2( , ) ( , )( , )? ? ? ? ? ?? 5 當(dāng)且僅當(dāng) ,??線性相關(guān)時(shí) ,等號(hào)才成立 . 證明 用 ? 表示恒等變換，則對(duì) V???， 0?? ，有 ()?? ?? ，故 ( ( ), ) ( , ) 0? ? ? ? ??? 即 ? 是亞正定變換，在定理 5中，當(dāng)亞正定變換取恒等變換 ? 時(shí)，有 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ??? 即得 2( , ) ( , )( , )? ? ? ? ? ?? . 以上結(jié)果表明，定理 5是 Cauchy不等式的一個(gè)推廣 . 2 正規(guī)變換與正定變換 定義 4 設(shè) ? 為 n 維 歐氏空間 V 的一個(gè)亞正定變換，且是一個(gè)對(duì)稱變換，則稱 ? 是 V 的一個(gè)正定變換 . 定義 5 設(shè) ? 為 n 維歐氏空間 V 的一個(gè)線性變換， 39。0X AX? ，故 ( 39。 39。1 亞正定變換研究 摘要 ： 本文在歐氏空間中定義了亞正定變換，并給出了線性變換是亞正定變換的充分必要條件是它在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是亞正定矩陣 .在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步引入正定變換、共軛變換、正規(guī)變換等概念，進(jìn)而探討及證明了它們得出的相關(guān)結(jié)論 . 關(guān)鍵詞 ： 亞正定變換；正規(guī)變換；共軛變換；亞正定矩陣 Study on the subpositive definiteness transformation ZHANG Lan (Department of mathematics,Xiaogan Universty, Xiaogan,Hubei 432100,China) Abstract： This article defined subpositive definiteness transformation on Euclidean Space,and had given sufficient and necessary conditions of a linear transformation is a subpositive definiteness transformation is that the matrix under the orthonormal basis is subpositive definiteness. And further to introduction the concept of positive definiteness transformation,conjugate transformation, regular futher to discuss and prove the related conclusion. Key words ： subpositive def
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