亞正定變換研究-文庫吧在線文庫
【正文】 initeness transformation。在本文中，我們用 ? 、 ? 等表示線性變 換，用 ( , )??表示向量 ? 與 ? 的內(nèi)積 . 1 亞正定變換 首先，我們在歐氏空間中提出亞正定變換概念 定義 2 設(shè) ? 為 n 維歐氏空間 V 的一個(gè)線性變換，若對 V???， 0?? ，有( , ) 0??? ? ，則稱 ? 是 V 的一個(gè)亞正定變換 . 下面結(jié)果表明，歐氏空間中亞正定變換與文獻(xiàn) [13]中亞正定矩陣相對應(yīng) . 定理 1 設(shè) ? 是 n 維歐氏空間 V 的一個(gè)線性變換，則 ? 是亞正定變換的充分必要條件是 ? 在 V 的任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是亞正定矩陣 . 證明 令 ? 是 n 維歐氏空間 V 的一個(gè)線性變換， 12, , , n? ? ? 為 V 任一標(biāo)準(zhǔn)正交基，設(shè) ? 在標(biāo)準(zhǔn)正交基 12, , , n? ? ? 下的矩陣為 A ，即 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn A? ? ? ? ? ? ?? 對 V???， 0?? ，令 1 1 2 2 nnx x x? ? ? ?? ? ? ?，采用向量的形式記號，則 121 2 1 2( , , , ) ( , , , )nnnxx Xx? ? ? ? ? ? ???????????????，這里12nxX????????????? 則 1 2 1 2( ) ( , , , ) ( , , , )nnX A X? ? ? ? ? ? ? ? ???，而 12( , , , )n X? ? ? ?? ，故 ( , ) ( ) 39。nn A? ? ? ? ? ? ?? 因此，由定理 1知，當(dāng) ? 是亞正定變換時(shí)， A 是亞正定矩陣，對 10 nXR?? ? ? ，有 39。? 互為共軛變換，根據(jù)定理 4知，線性變換 ? 為亞正定變換的充分必要條件是 39。 ( , , , ) 39。 39。( 39。( 39。? 也為亞正定變換 .再由定理 3，得 39。 39。 ) 39。( , , , ) ( , , , ) 39。39。? ? ??? ，即 ? 是正規(guī)變換 . 定理 8 設(shè) ? 是 n 維歐氏空間 V 的正規(guī)變換，則 ? 是正交變換的充分必要條件是 ? 的特征值為 1? . 證明 （必要性）設(shè) ?? ??? ，因 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?，所以 2 1?? ，即有 1??? . （充分性）設(shè)正規(guī)變換 ? 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為 A ，則由定理 7知 A 為正規(guī)矩陣，故存在正交陣 C ，使 1239。 39。 , 39。? 對應(yīng)于特征值 ? 的特征向量 . 定理 9 在 n 維歐氏空間中，正規(guī)變換 ? 屬 于兩個(gè)不同特征值的特征向量是正交的 . 證明 設(shè) ?? ??? ， ?? ??? ， ??? ，由引理 1可知 39。 , ) ( , 39。AA C D C C D C E???，所以 A 為正交陣，故 ? 為正交變換 .定理 8證畢 . 引理 1 設(shè) ? 是歐氏空間 V 的正規(guī)變換， ? 是 ? 對應(yīng)于特征值 ? 的特征向量，則 ? 是 39。 ( 39。當(dāng) 39。n n nA A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 6） 1 2 1 2 1 239。( ) 39。 39。 0X AX?? ? ??.從而 A為亞正定矩陣 .而 ? 為正定變換，顯然 B為正定矩陣 .而 0 V?? ? ? 有 7 12( , , , )n AX?? ? ? ?? ， ( , ) 39。??? 是對稱變換 . （充分性） 39。) ( 39。)n A A X? ? ? ? ? ?? ? ? 12( 39。 39。?? ? ?? ,則稱 ? 為正規(guī)變換 . 定理 6 ? 為 n 維歐氏空間 V 的一個(gè)線性變換 ,? 為亞正定變換的充分必要條件是 39。 39。0X AX? ，由（ 1）式得 ( , ) 0??? ? ，于是 ? 是亞正定變換 . 下面我們討論亞正定變換
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