亞正定變換研究(完整版)
【正文】 的一些性質(zhì) . 定理 2 設(shè) ? 是 n 維歐氏空間 V 的一個(gè)亞正定變換，則 1?? 也是亞正定變換 . 證明 先證 ? 是可逆變換 .反證法 :若 ? 是不可逆的，則存在 0 V??? ，使( ) 0??? ，即 ( , ) 0??? ? 此與 ? 為亞正定矩陣變換矛盾， 故 ? 是可逆變換 . 從而 ? 是滿射的，因此 0,V?? ? ? 必有 0?? ,使 ()?? ?? ,則 1()? ? ??? 1 1 1( , ) ( ( ( ) ) , ( ) ) ( ( ) , ) 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 故 1?? 是亞正定變換 . 定理 3 設(shè) ,??是 n 維歐氏空間 V 的亞正定變換，則 ??? 也是亞正定變換 . 證明 由于 ,??是亞正定變換，則對(duì) 0 V?? ? ? ，有 ( , ) 0??? ? ，且 ( , ) 0??? ? 即對(duì) 0 V?? ? ? ，有 ( ( ) , ) ( , ) ( , ) 0? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 故 ??? 為亞正定變換 . 定理 3證畢 . 定義 3[12] 設(shè) ,??是歐氏空間 V 的兩個(gè)線性變換 ,? 在標(biāo)準(zhǔn)正交基 12, , , n? ? ?下的矩陣為 A ,若 ? 在 12, , , n? ? ? 下的矩陣為 39。 subpositive definiteness of matrix 0 引言 實(shí)對(duì)稱矩陣和實(shí)對(duì)稱正定矩陣（簡稱為正定矩陣）在矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用中起著重要作用 .1970年 , ，即亞正定矩陣概念[1]： 定義 1 設(shè) nnAR?? ， 10 nxR?? ? ? ，有 39。0x Ax? ，則稱 A 為亞正定矩陣 . 復(fù)旦大學(xué)屠伯塤教授在此基礎(chǔ)上建立了亞正定矩陣的基本理論，對(duì)亞正定矩陣的性質(zhì)作了較為系統(tǒng)的研究，得到了很多新的結(jié)果，并把許多有關(guān)正定矩陣的結(jié)果推廣到亞正定矩陣 [2， 3].由于亞正定矩陣應(yīng)用的廣泛性，對(duì)它的研究一直是計(jì)算數(shù)學(xué)與矩陣論研究的熱點(diǎn)之一，文獻(xiàn) [310]對(duì)亞正定矩陣的性質(zhì)、判斷條件、2 應(yīng)用等方面進(jìn)行了 進(jìn)一步的探討，所用方法基本上都是純矩陣方法 . 我們知道，歐氏空間中通過對(duì)正交變換、對(duì)稱變換的討論，使我們對(duì)正交陣、對(duì)稱陣的研究更為深刻。A ,則稱 ? 為 ? 的 共軛變換 . 定理 4 若 ? 是 n 維歐氏空間 V 的亞正定變換，則 ? 的共軛變換 39。 0X AX X A X??，即 39。??? 為正定變換 . 證明 令 ? 為歐氏空間 V 的一個(gè)線性變換， 12, , , n? ? ? 為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，設(shè) ? 在 12, , , n? ? ? 下的矩陣為 A ， 則 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn A? ? ? ? ? ? ??，從而 1 2 1 239。 39。) ( , , , ) ( 39。( 39。??? 是正定變換，則 0,V?? ? ? 有 (( 39。 ( 39。 39。 0X AB X ? .即 ( , ) 0??? ? ? . 故 ?? 為亞正定變換 . 定理 7 設(shè) ? 是 n 維歐氏空間 V 的正規(guī)變換的充分必要條件是 ? 在 V 的任 一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正規(guī)變換 . 證明 設(shè) ? 在標(biāo)準(zhǔn)正交基 12, , , n? ? ? 下的矩陣為 A ，則 39。( , , , ) ( , , , ) 39。39。) 39。? 對(duì)應(yīng)特征值 ? 的特征向量 . 證明 設(shè) ?? ??? ，則 0?? ????，于是 ( , ) 0?? ?? ?? ??? ? ?，因2( 39。 ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?8 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ( , ) 0?? ?? ?? ??? ? ? ? 所以 39。?? ??? ， ? 是 39。 ) ( 39。 39。39。n n nA A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 7） 由（ 6）（ 7）知，當(dāng) 39。A ，即 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn A? ? ? ? ? ? ??，
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