復(fù)變函數(shù)與積分變換fourier變換簡介(存儲版)
【正文】 F )(2 ?F)(1 ?F )(2 ?F 能量積分 若 ，則 ? ? ）＝ ?F()( tfF ? ?22 1( ) ( )2f t d t F d???? ? ? ?? ? ? ????該等式又稱為巴塞瓦等式。( ) ( )?????????????????? ? ????????t f t d t fg t t a g a t ag t t g tttt f t d t fu t t 函數(shù)的 Fourier變換 0[ ( ) ] ( ) ( ) e d e 1j t j ttt F t t??? ? ??? ?????? ? ? ??F于是 ? (t)與常數(shù) 1構(gòu)成了一 Fourier變換對 . 1 1( ) [ 1 ]2itt e d??????????? ?F 2 ( )ite d t? ? ? ????????證法 2：若 F(?)=2?? (?), 由 Fourier逆變換可得 j01( ) 2 ( ) e d 12t j tf t e???? ? ? ???????? ? ??【 例 3】 證明： 1和 2?? (?)構(gòu)成 Fourier變換對 . 證法 1： ? ? ? ?1 2 .j t j se dt s t e ds?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ???F1000jjjj0j01( ) ( ) e d212 ( ) e d e e .2e 2 ( )??????????? ? ? ? ??? ? ? ???????????? ? ? ????證 ：即 和 構(gòu) 成 了 一 個(gè) Fourier 變 換 對 。 1 , 1()0 , 1? ??? ????tftt? ?1111( ) ( )1 2 sinjtj t j tjjeF f t e d t e d tjeej???????????????? ? ???? ? ??? ? ? ???00011( ) ( ) ( ) c os21 2 si n 2 si n c osc os?? ? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????????jtf t F e d F t dtt d d24000| | 1sin c o sd | | 10 | | 1sin0 , d sin c ( ) d2?????????? ? ? ??????????? ? ????因 此 可 知 當(dāng) 時(shí) 有ttttxt x x xx? ?F ?? ?sin另 外 ， 由 =2 可 作 出 頻 譜 圖 :?2? ?F ?? 2? 3?s in 0k? ? ?? ? ?0 , 0()e , 0, 0.?????? ????【例2】 求指數(shù)衰減函數(shù) 的Fou rie r變換及其積分表達(dá)式 其中ttfttt f (t) jj ( j )2200( ) ( ) e d1je e d e djtt t tF f t ttt?? ? ? ????? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??????22000c os sind / 2 0e0 tttttt?? ? ? ???????????? ????? ????因 此jj222201 1 j( ) ( ) e d e d221 c os si ndttf t Ftt?? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ????????????? δ 函數(shù)及其 Fourier變換 δ 函數(shù)的定義 (1)(狄拉克 )滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為δ 函數(shù)。在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷條件； ????? ??dttf )(( ) ( ) jtF f t e d t?? ?? ???? ? 而在 f (t)的間斷點(diǎn) t0處，應(yīng)以 代替該式左端的 f (t)。1 ( ) c o s( ) 1 2 3 ( n )na f t nt d t , , ,??? ????1 ( ) s in ( ) 1 2 3 ( n )nb f t nt d t , , ,??? ????[ ],pp 以 T為周期的周期函數(shù) fT(t)， 如果在 上滿足狄利克雷條件，那么在 上 fT(t)可以展成Fourier級數(shù)，在 fT(t)的連續(xù)點(diǎn)處，級數(shù)的三角形成為 ??????? 2,2 TT??????? 2,2 TT01( ) ( c o s ( ) s in ( ) ) ( 1 . 1 )2 T n nnaf t a n t b n t????? ? ??2022 ()TTTa f t d tT ?? ?222 ( ) c o s ( ) 1 2 3 ( )TTnTa f t n t d t n , , ,T ?????222 ( )
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