均值不等式的證明5篇(存儲(chǔ)版)
【正文】 +22n求下列函數(shù)的最值（1）已知x＞0，求y=2x（2）已知x＞2，求y=x+4的最大值（2）x1的最小值（4）x2111（3）已知0＜x＜，求y=x(12x)的最大值（）22161若正數(shù)a,b滿足ab(a+b)=1則a+b的最小值是（）（2+2333）1已知正數(shù)a,b求使不等式(a+b)163。(ab)+aba+b2179。這些都很簡(jiǎn)單的用a+b=√(ab)可以證明得到 關(guān)鍵是下面的反向數(shù)學(xué)歸納法 如果n成立 對(duì)n1，你令an=(n1)次√(a1a2...a(n1)然后代到已經(jīng)成立的n的式子里，整理下就可以得到n1也成立。請(qǐng)賜教!sqrt{[(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根號(hào)(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)證明：(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n 兩邊平方,即證((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n(1)如果你知道柯西不等式的一個(gè)變式，直接代入就可以了： 柯西不等式變式：a1^2/b1 + a2^2/b2 +...an^2/bn ≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)當(dāng)且僅當(dāng)a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等號(hào)成立 只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可(2)柯西不等式(a1^2 + a2^2 +...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2 [競(jìng)賽書(shū)上都有證明：空間向量法。R+，且a+b=1，求證：(a+)+(b+)179。判斷函數(shù)f(x)=x2已知方程x22343）41）41+1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（一個(gè)）x3233。)2若關(guān)于的方程lg(xx2x2+20x)lg(8x6a3)=0有唯一實(shí)根，求a的取值范圍第三篇：均值不等式證明均值不等式證明一、已知x,y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1求證xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2當(dāng)且僅當(dāng)xy=1/xy時(shí)取等也就是xy=1時(shí)畫(huà)出xy+1/xy圖像得01時(shí)，單調(diào)增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得證繼續(xù)追問(wèn)：拜托，用單調(diào)性誰(shuí)不會(huì)，讓你用均值定理來(lái)證補(bǔ)充回答：我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的法二：證xy+1/xy≥17/4即證4(xy)178。原題等價(jià)于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。這些都很簡(jiǎn)單的用a+b=√(ab)可以證明得到關(guān)鍵是下面的反向數(shù)學(xué)歸納法如果n成立對(duì)n1，你令an=(n1)次√(a1a2...a(n1)然后代到已經(jīng)成立的n的式子里，整理下就可以得到n1也成立。R+，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=an時(shí)取“=”號(hào)僅是上述不等式的特殊情形，即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，中學(xué)常用均值不等式的變形：(1)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有a2+b2179。An+nA(n1)Bn注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數(shù)學(xué)歸納法)。0(5)對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有(8)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有a2+b2+c2179。第五篇：常用均值不等式及證明證明常用均值不等式及證明證明這四種平均數(shù)滿足Hn163。設(shè)s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)={s/k+/}^(k
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