高中數(shù)學132球的體積和表面積教案新人教a版必修2(存儲版)
【正文】 的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 ____________. 活動： 學生思考長方體和球的結(jié)構(gòu)特征 .教師可以借助于信息技術(shù)畫出圖形 . 分析： 畫出球的軸截面可得，球的直徑是正方體的對角線，所以球的半徑 R= 233 ，則該球的表面積為 S=4π R2=27π . 答案： 27π 點評： 本題主要考查簡單的組合體和球的表面積 .球的表面積和體積都是半 徑 R的函數(shù) .對于和球有關(guān)的問題，通常可以在軸截面中建立關(guān)系 .畫出軸截面是正確解題的關(guān)鍵 . 變式訓練 1.（ 2021全國高考卷Ⅰ，理 7）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為 4，體積為16，則這個球的表面積是（ ） 分析： 由 V=Sh，得 S=4，得正四棱柱底面邊長為 ，該正四棱柱的對角線即為球的直徑，所以，球的半徑為 R= 642221 222 ??? ，所以球的表面積為S=4π R2=24π . 答案： C 2.（ 2021湖南數(shù)學競賽， 13）一個球與正四面體的六條棱都相切 ，若正四面體的棱長為 a，則這個球的體積為 _____________. 分析： 把正四面體補成正方體的內(nèi)接正四面體，此時正方體的棱長為 a22 ，于是球的半徑為 a42 ， V= 3242 a? . 答案： 3242 a? 3.（ 2021天津高考，理 12）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為 1,2,3，則此球的表面積為 ___________. 分析： 長方體的對角線為 14321 222 ??? ，則球的半徑為214,則球的表面積為4π ( 214 )2=14π . 答案： 14π 例 2 圖 5是一個底面直徑為 20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為 6 cm，高為 20 cm的一個圓錐形鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？ 圖 5 活動： 學生思考杯里的水將下降的原因，通過交流和討論得出解題思路 .因為玻璃杯是圓柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實際是一個小圓柱，這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為 20 cm的圓，它的體積正好等于圓錐形鉛錘的體積，這個小圓柱的高就是水面下降的高度 . 解： 因為圓錐形鉛錘的體積為 2)26(31 ??? 20=60 π（ cm3）， 設(shè)水面下降的高度為 x，則小圓柱的體積為 x2)220(? =100π x（ cm3） . 所以有 60π =100π x，解此 方程得 x=（ cm） . 答：杯里的水下降了 cm. 點評： 本題主要考查幾何體的體積問題，以及應用體積解決實際問題的能力 .明確幾何體的形狀及相應的體積公式是解決這類問題的關(guān)鍵 .解實際應用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型 .本題的數(shù)學模型是下降的水的體積等于取出的圓錐形鉛錘的體積 .明確其體積公式中的相關(guān)量是列出方程的關(guān)鍵 . 變式訓練 ，外直徑為 12 cm，壁厚 cm，問它在水中能浮起來嗎？（鋼的密度為 g/cm3）和它一樣尺寸的空心鉛球呢？（鉛的密度為 g/cm3） 分析： 本 題的關(guān)鍵
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