ldjaaa第1章先驗分布與后驗分布(存儲版)
【正文】 t。 例 二項分布中的成功概率 ?的共軛先驗分布是貝塔分布 Be(α ,β ) ， α ,β 是其兩個超參數(shù) 一、利用先驗矩 利用先驗信息能獲得成功概率 ?的若干個估計值，記為 ?1,?2,… , ?k,一般它們是從歷史數(shù)據(jù)整理加工獲得的，由此可算得先驗均值 ?和先驗方差 S?2，其中 ???kiik11 ?? 2211 ()1kiiS k? ?????? ?然后令其分別等于貝塔分布 Be(α ,β ) 的期望與方差 ? ??????????????22)1(???????????S解之，可得參數(shù) α與 β的估計值 22( 1 )? 1( 1 )?( 1 ) 1SS??????????? ?????? ??? ? ??????? ? ???????二、利用先驗分位數(shù) 假如根據(jù)先驗信息可以確定貝塔分布的兩個分位數(shù)，則可利用這兩個分位數(shù)來確定 α 與 β 的估計值。 假如取倒伽瑪分布為 σ2的先驗分布，其中參數(shù) ?,?為已知，則其密度函數(shù)為 212221( ) , 0()e? ????? ? ???????????? ??/2222111( ) e x p ( )2n niip x x???? ?????? ? ????????? ?212221( ) , 0()e? ????? ? ???????????? ??σ2的后驗分布 為 2/ 2 1222 2 211 1 1( ) e x p ( ) ,2n niix x e? ??? ? ?? ? ??????? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ?1 / 222211 1 1e x p ( )2n niix??????????????? ? ? ???? ? ? ??? ???? ?這個分布為倒伽瑪分布 211( , ( ) )22niinI G a x? ? ??? ? ??? 若后驗分布 ?(? ?x)與 ?(? )屬于同一個分布族，則稱該分布族是 ? 的 共軛先驗分布 (族 )。 2 2 2 2 2101 1 1 1 ,n? ? ? ? ?? ? ? ?注意 ： ，先驗分布的選擇應(yīng)以合理性作為首要原則，計算上的方便與先驗的合理性相比還是第二位的。 ( | ) ( | ) ( ) ( 1 . 9 )?x p x? ? ? ? ?其中 “ ∝ ” 表示兩邊僅差一個不依賴于 ?的常數(shù)因子。 注意 ： 共軛先驗分布是對某一分布中的參數(shù)而言的 。 11001 0 1()0X | ~ b ( n , )( , ) ( | ) ( ) ( 1 ) , 0 , 1 , .. , 0 11( ) ( , ) ( 1 )1( , ) ( 2)( | ) ( 1 )( ) ( 1 ) ( 1 )( 1 , 1x n xx n xx n xnh x p x x nxnm x h xx nh x nxm x x n xBe x n x?????? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ?????????? ????? ? ? ? ? ???????? ? ? ???????? ? ?? ? ?? ? ???先 驗 分 布 ：其 他總 體 分 布 ：后 驗 分 布這 是 貝 塔 分 布 )例 . 為了提高某產(chǎn)品的質(zhì)量，公司經(jīng)理考慮增加投資來改進生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計需投資 90萬元，但從投資效果看，下屬部門有 2種意見： ?1： 改進設(shè)備后，高質(zhì)量產(chǎn)品可占 90﹪ ?2： 改進設(shè)備后，高質(zhì)量產(chǎn)品可占 70﹪ 但根據(jù)下屬兩個部門過去建議被采納的情況，經(jīng)理認為， ?1的可信程度只有40﹪ ， ?2的可信程度是 60﹪ 。這樣一來，樣本 x=（ x1 , …, xn） 和參數(shù) ? 的 聯(lián)合分布為 : h(x, ? ) = p(x?? )?(? )， 這個聯(lián)合分布把總體信息、樣本信息和先驗信息三種可用信息都綜合進去了。 伽瑪函數(shù) 稱為伽瑪 函數(shù) ，其中 α 0. 函數(shù) dxex x??????? 10)( ??伽瑪函數(shù)的性質(zhì) : ????? )21(。 兩學(xué)派在一些問題上的爭論將在后面逐步介紹。 第一，按圖 θ位于某個區(qū)間的概率。 可見歷史資料在統(tǒng)計推斷中應(yīng)加以利用 貝葉斯統(tǒng)計與經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)的 差別：是否利用先驗信息 。 被試驗者每次成功的概率要比 。先驗 信息在日常生活和工作中是很重要的。 ?經(jīng)典統(tǒng)計學(xué) ：基于以上兩種信息進行的統(tǒng)計推斷被稱為 經(jīng)典統(tǒng)計學(xué) 。 167。 Byaes統(tǒng)計學(xué)派與經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)派雖然有很大區(qū)別，但是它們各有優(yōu)缺點，各有其適用的范圍，作為研究者一定要博采眾長，以獲得一種更適合解決實際問題的方法。第七章為貝葉斯計算閱讀這些內(nèi)容僅需要概率統(tǒng)計基本知識就夠了。下面從統(tǒng)計推斷的三種信息來說明他們之間的區(qū)別與聯(lián)系。均值、方差等 ? 沒有樣本就沒有統(tǒng)計學(xué)可言。 一般說來，先驗信息來源于 經(jīng)驗和歷史資料 。 在這兩個統(tǒng)計試驗中，假如認為被試驗者是在猜測，每次成功的概率為 ，那么 10次都猜中的概率為 210=，這是一個很小的概率，是幾乎不可能發(fā)生的，所以 “ 每次成功概率為 ”的假設(shè)應(yīng)該被拒絕。使用單位就可以對它做出“免檢產(chǎn)品”的決定，或者每月抽檢一、二次就足夠了，這就省去了大量的人力和物力。 ” 一位統(tǒng)計學(xué)家把學(xué)生們對新教師的年齡（未知量）的認識（先驗信息）可綜合為圖 所示的概率分布，這也是學(xué)生們對未知量（新教師的年齡）的概率表述。這是當(dāng)前對貝葉斯統(tǒng)計的主要批評。 ? 貝葉斯統(tǒng)計學(xué)派的最基本的觀點 。為把先驗信息綜合進去，不能只考慮 ?0，對 ?的其它值發(fā)生的可能性也要加以考慮，故要用 ?(? )進行綜合。 例 設(shè)某事件 A在一次試驗中發(fā)生的概率為 ? ，為估計 ? ，對試驗進行了 n次獨立觀測，其中事件 A發(fā)生了 X次，顯然 X?? ?b(n,? )， 假若我們在試驗前對事件 A沒有什么了解，使用區(qū)間（ 0,1） 上的均勻分布 U(0,1)作為 ? 的先驗分布， 求參數(shù) ?的后驗分布。 共軛先驗分布 一、共軛先驗分布 例 X?? ?b(n,? ) ，先驗分布為 U(0,1),即 Be(1,1) 后驗分布 Be(x+1,nx+1) ,其中 x為 n次獨立試驗中成功出現(xiàn)的次數(shù) . Be(α ,β ) Be(α +x,β +nx) 定義 設(shè) ?是總體分布中的參數(shù)（或參數(shù)向量），
醫(yī)療健康相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1