高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖像(存儲(chǔ)版)
【正文】 [π3，7π6] ， 當(dāng) 2 x ＋π6＝π2， 即 x ＝π6時(shí) ， f ( x ) 取得最大值 2 ； 當(dāng) 2 x ＋π6＝7π6， 即 x ＝π2時(shí) ， f ( x ) 取得最小值－ 1 ， 故 f ( x ) 的值域?yàn)?[ － 1 , 2 ] ． 根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是在圖象上找到幾個(gè)確定的點(diǎn)的坐標(biāo)，由最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定出 A 的值，再由圖象確定出最小正周期，從而 求出 ω ，最后根據(jù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定出 φ ，或根據(jù)圖象平移的規(guī)律，確定 φ 值 ． 變式探究 31 ： ( 2 0 0 9 年高考遼寧卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ A c o s ( ωx ＋ φ ) 的圖象如圖所示 ， f (π2) ＝－23， 則 f ( 0 ) 等于 ( ) ( A ) －23 ( B ) －12 ( C )23 ( D )12 解析： 由題意可知， 此函數(shù)的周期 T ＝ 2 (1112π －712π ) ＝2π3， 故2πω＝2π3， ∴ ω ＝ 3 ， f ( x ) ＝ A c o s ( 3 x ＋ φ ) ． f (π2) ＝ A c o s (3π2＋ φ ) ＝ A s in φ ＝－23.又由題圖可知 f (7π12) ＝ A c o s ( 3 7π12＋ φ ) ＝ 0 ， ∴ f ( 0 ) ＝ A c o s φ＝23.故選 C. 【例 1 】 ( 2 0 1 0 年合肥模擬 ) 將函數(shù) y ＝ s in ( 2 x ＋π3) 的圖象上各點(diǎn)向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度 ，再把每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半 ， 縱坐標(biāo)保持不變 ， 所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是( ) ( A ) x ＝π8 ( B ) x ＝π6 ( C ) x ＝π3 ( D ) x ＝π2 解析： 依題意知變換圖象后所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為 y ＝ s in 4 x ，令 4 x ＝ k π ＋π2， k ∈Z ，則 x ＝k π4＋π8， k ∈ Z .將各選項(xiàng)代入驗(yàn)證可知只有 A 符合，故選 A. 【例 2 】 ( 2 0 1 0 年高考山東卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝12s in 2 x s i n φ ＋ c o s2x c o s φ －12s in (π2＋ φ )( 0 ＜ φ＜ π ) ， 其圖象過(guò)點(diǎn) (π6，12) ． ( 1 ) 求 φ 的值 ； ( 2 ) 將函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12， 縱坐標(biāo)不變 ， 得到函數(shù) y ＝ g ( x )的圖 象 ， 求函數(shù) g ( x ) 在 [ 0 ，π4] 上的最大值和最小值 ． 解： ( 1 ) 因?yàn)楹瘮?shù) f ( x ) 的圖象過(guò)點(diǎn) (π6，12) ， 所以12＝12s i nπ3s in φ ＋ c o s2π6c o s φ －12s in (π2＋ φ ) ， 即32s in φ ＋12c o s φ ＝ 1 ， 即 s in ( φ ＋π6) ＝ 1 ， ∵ 0 ＜ φ ＜ π ， ∴ φ ＋π6＝π2， 解得 φ ＝π3. ( 2 ) φ ＝π3時(shí) ， f ( x ) ＝34s in 2 x ＋12c o s2 x －14 ＝34s in 2 x ＋14c o s 2 x ＝12(32s in 2 x ＋12c o s 2 x ) ＝12s in ( 2 x ＋π6) ， ∴ g ( x ) ＝12s in ( 4 x ＋π6) ． ∵ x ∈ [ 0 ，π4] ， ∴ 4 x ＋π6∈ [π6，7π6] ， ∴ 當(dāng) 4 x ＋π6＝π2時(shí) ， g ( x ) 取最大值12； 當(dāng) 4 x ＋π6＝7π6時(shí) ， g ( x ) 取最小值 －14. ∴ 函數(shù) g ( x ) 的最大值為12， 最小 值為 －14. 錯(cuò)源：不理解平移規(guī)律 【例題】 要得到函數(shù) y ＝ 2 s i n 2 x 的圖象 ， 只需把函數(shù) y ＝ 4 s i n ( x ＋π6) c o s ( x ＋π6) 的圖象 ( ) ( A ) 向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度 ( B ) 向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度 ( C ) 向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度 ( D ) 向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度 錯(cuò)解一： y ＝ 4 s in ( x ＋π6) c o s ( x ＋π6) ＝ 2 s in 2 ( x ＋π6) ， 故應(yīng)把 y ＝ 2 s in 2 ( x ＋π6) 的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度得 y ＝ 2 s in 2 x 圖象，故應(yīng)選 C. ( 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 2 6 0 頁(yè) ) 【 選題明細(xì)表 】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 畫(huà)圖象、圖象識(shí)別 7 圖象變換 6 利用圖象求解析式 3 圖象特征 (對(duì)稱(chēng)性 ) 11 “ 五點(diǎn)法 ” 作函數(shù)圖象 9 綜合 10 一、選擇題 1 ． ( 2 0 1 0 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷 ) 如圖 ， 質(zhì)點(diǎn) P 在半徑為 2 的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)
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