高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖像-展示頁
2024-11-23 06:01本頁面
【正文】 個(gè)單位長度 思路點(diǎn)撥： 先確定平移的方向，再把原函數(shù)和新函數(shù)的解析式變形，從而得到平移的單位數(shù) ． 解析： ∵ y ＝ s in ( 2 x －π3) ＝ s in [ 2 ( x －π6)] ， y ＝ s in ( 2 x ＋π6) ＝ s in [ 2 ( x ＋π12)] ， 令 x ＋π12＋ φ ＝ x －π6，則 φ ＝－π4，所以 y ＝ s in ( 2 x ＋π6) 的圖象向右平移π4個(gè)長度單位可得到y(tǒng) ＝ s in ( 2 x －π3) 的圖象，故選 B. 在進(jìn)行三角函數(shù)圖象的左右平移時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn) ： 一要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象 ，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象 ； 二要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱一致 ， 若不一致 ， 應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù) ； 三是由 y ＝ A s i n ωx 的圖象得到 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) 的圖象時(shí) ， 需平移的單位數(shù)應(yīng)為 |φω|而不是 |φ |. 變式探究 21 ： ( 2 0 1 0 年寧波市統(tǒng)考 ) 函數(shù) f ( x ) ＝ s i n (π3－ x ) ， 則要得到其導(dǎo)函數(shù) y ＝ f′ ( x ) 的圖象 ， 只需將函數(shù) f ( x ) 的圖象 ( ) ( A ) 向左平移2π3個(gè)單位 ( B ) 向右平移2π3個(gè)單位 ( C ) 向左平移π2個(gè)單位 ( D ) 向右平移π2個(gè)單位 解析： f ′ ( x ) ＝－ cos (π3－ x ) ＝－ cos ( x －π3) ＝ s i n ( x ＋7π6) ， 又 ∵ f ( x ) ＝ s i n (π3－ x ) ＝－ s i n ( x －π3) ＝ s i n [ π ＋ ( x －π3)] ＝ s i n ( x ＋2π3) ＝ s i n ( x ＋7π6－π2) ， ∴ 要得到其導(dǎo)函數(shù) y ＝ f′ ( x ) 的圖象，只需將函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象向左平移π2個(gè)單位，故選C. 已知函數(shù)圖象求解析式或參數(shù)值 【例 3 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ， x ∈ R ( 其中 A 0 ， ω 0 , 0 φ π2) 的圖象與 x 軸的交點(diǎn)中 ， 相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為π2， 且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為 M (2π3，－ 2 ) ． ( 1 ) 求 f ( x ) 的解析式 ； ( 2 ) 當(dāng) x ∈ [π12，π2] 時(shí) ， 求 f ( x ) 的值域 ． 思路點(diǎn)撥： 求解析式實(shí)質(zhì)就是求 A 、 ω 、 φ 的值， A 由最低點(diǎn)縱坐標(biāo)可求， ω 由函數(shù)的周期確定， φ 的值可通過點(diǎn) M 坐標(biāo)求得 ． 解： ( 1 ) 由最低點(diǎn)為 M (2π3，－ 2 ) 得 A ＝ 2. 由 x 軸上相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為π2得T2＝π2， 即 T ＝ π. ∴ ω ＝2πT＝2ππ＝ 2. 由點(diǎn) M (2 π3，－ 2 ) 在圖象上得 2 s i n ( 2 2π3＋ φ ) ＝－ 2 ， 即 s in (4π3＋ φ ) ＝－ 1 ， 故4π3＋ φ ＝ 2 k π －π2( k ∈ Z ) ， ∴ φ ＝ 2 k π －1 1 π6( k ∈ Z ) ． 又 φ ∈ ( 0 ，π2) ， ∴ φ ＝π6， 故 f ( x ) ＝ 2 s in ( 2 x ＋π6) ． ( 2 ) ∵ x ∈ [π12，π2] ， ∴ 2 x ＋π6∈ [π3，7π6] ， 當(dāng) 2 x ＋π6＝π2， 即 x ＝π6時(shí) ， f ( x ) 取得最大值 2 ； 當(dāng) 2 x ＋π6＝7π6， 即 x ＝π2時(shí) ， f ( x ) 取得最小值－ 1 ， 故 f ( x ) 的值域?yàn)?[ － 1 , 2 ] ． 根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是在圖象上找到幾個(gè)確定的點(diǎn)的坐標(biāo)，由最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定出 A 的值，再由圖象確定出最小正周期，從而 求出 ω ，最后根據(jù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定出 φ ，或根據(jù)圖象平移的規(guī)律，確定 φ 值 ． 變式探究 31 ： ( 2 0 0 9 年高考遼寧卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ A c o s ( ωx ＋ φ ) 的圖象如圖所示 ， f (π2) ＝－23， 則 f ( 0 ) 等于 ( ) ( A ) －23 ( B ) －12 ( C )23 ( D )12 解析： 由題意可知， 此函數(shù)的周期 T ＝ 2 (1112π －712π ) ＝2π3， 故2πω＝2π3， ∴ ω ＝ 3 ， f ( x ) ＝ A c o s ( 3 x ＋ φ ) ． f (π2) ＝ A c o s (3π2＋ φ ) ＝ A s in φ ＝－23.又由題圖可知 f (7π12) ＝ A c o s ( 3 7π12＋ φ ) ＝ 0 ， ∴ f ( 0 ) ＝ A c o s φ＝23.故選 C. 【例 1 】 ( 2 0 1 0 年合肥模擬 ) 將函數(shù) y ＝ s in ( 2 x ＋π3) 的圖象上各點(diǎn)向右平移π6個(gè)單位長度 ，再把每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半 ， 縱坐標(biāo)保持不變 ， 所得函數(shù)圖象的一條對稱軸是( ) ( A ) x ＝π8 ( B ) x ＝π6 ( C ) x ＝π3 ( D ) x ＝
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