-1--中值定理(存儲(chǔ)版)
【正文】 ,0)( 0 ?xf有且僅有一個(gè)小于 1 的 正實(shí)根 . 證 : 1) 存在性 . 則 )(xf 在 [0 , 1 ] 連續(xù) , 且 由介值定理知存在 ,)1,0(0 ?x 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假設(shè)另有 在以)( xf?10 , xx 為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 , 之間在 10 , xx?至少存在一點(diǎn) 但 矛盾 , 故假設(shè)不真 ! 設(shè) 例 2 設(shè) ],0[)( ?Cxf ?且在 ),0( ?內(nèi)可導(dǎo) , 證明至少存 在一點(diǎn) ,),0( ?? ? 使 .c o t)()( ??? ff ???提示 : 由結(jié)論可知 , 只需證 即 ? ? 0s in)( ?? ? ?xxxf驗(yàn)證 )(xF 在 ],0[ ? 上滿足羅爾定理?xiàng)l件 . 設(shè) xxfxF s in)()( ?二、拉格朗日中值定理 ?? ??? ??)( ?? ?(1) 在區(qū)間 [ a , b ] 上連續(xù) 滿足 : (2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo) 至少存在一點(diǎn) 使 .)()()( ab afbff ???? ?? xyoa b)( xfy ?思路 : 利用 逆向思維 找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù) 作輔助函數(shù) 顯然 , 在 [ a , b ] 上連續(xù) , 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo) , 且 證 : 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證 ?)(x? )(xf xab afbf ??? )()()(a? 由羅爾定理知至少存在一點(diǎn) 即定理結(jié)論成立 . ,)(b?? ab bfaafb ??? )()(0)()()( ????? ab afbff ?證畢 a b1? 2?x xoy)(xfy ?ABCDNM幾何解釋 : .,ABCAB線平行于弦
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