【正文】 念。定義1：設(shè)集合及，將平移到點(diǎn)，表示為，其定義如式（23）所示。根據(jù)這種解釋，還可以寫為如式（26）的形式。圖25[7]給出了二值圖像腐蝕示意圖，(a)和(b)分別給出原點(diǎn)在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部和不在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部的情況。 （211）如果結(jié)構(gòu)元素包含原點(diǎn)，腐蝕的結(jié)果是使圖像收縮，是的一個(gè)子集；而是膨脹結(jié)果的子集。 （216） （217）平移不變性意味著圖像或結(jié)構(gòu)元素的位置變化僅引起變換結(jié)果的位置變化，而結(jié)果的形態(tài)無任何改變。二值圖像開運(yùn)算和閉運(yùn)算的仿真結(jié)果如圖29所示，(a)是一幅原始的二值圖像，(b)是采(a)原圖像 (b)開運(yùn)算 (c)閉運(yùn)算圖29 二值圖像開閉運(yùn)算仿真結(jié)果用半徑為3的圓形結(jié)構(gòu)元素對(duì)原始圖像作開運(yùn)算后得到的結(jié)果。 （225）5．平移不等性如式（226）所示。將信號(hào)，向右水平移動(dòng)，稱移位，其定義如式（227）所示。如果不在和的定義域內(nèi)，即不在之內(nèi)，則無定義。式（233）與2D卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用max(極大)替換了卷積中的求和(或積分)，用加法替換了卷積中的相乘。式（232）與2D卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用min(極小)替換了卷積中的求和(或積分)，用加法替換了卷積中的相乘。從圖213可以看出，灰度腐蝕與二值腐蝕之間的一個(gè)基本關(guān)系：被灰度腐蝕信號(hào)的定義域等于利用結(jié)構(gòu)元素的定義域作為結(jié)構(gòu)元素，再對(duì)信號(hào)的定義域作二值腐蝕所得的結(jié)果。(a)為原始的灰度圖像，(b)為膨脹后的圖像，(c)為腐蝕后的圖像，采用的是的方形結(jié)構(gòu)元。 （242）4. 交換律如式（243）所示。 （252）開啟運(yùn)算可以通過求出所有結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)學(xué)平移都可填入輸入信號(hào)下方的極大點(diǎn)來計(jì)算。換句話說，當(dāng)貼著的下沿滾動(dòng)時(shí)，中沒有與接觸的部位都落到與接觸。 （255） （256） 軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運(yùn)算中，注入了 “順序統(tǒng)計(jì)” 。所以軟化形態(tài)學(xué)退化為標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)。第3章 形態(tài)學(xué)在圖像處理的基本應(yīng)用 擊中或擊不中變換在圖像分析中，同時(shí)探測圖像的內(nèi)部和外部，而不僅僅局限于探測圖像的內(nèi)部或圖像的外部，對(duì)于研究圖像中物體與背景之間的關(guān)系，往往會(huì)起到很好的效果[12]。擊中擊不中變換需要兩個(gè)結(jié)構(gòu)元和，這兩個(gè)結(jié)構(gòu)元被作為一個(gè)結(jié)構(gòu)元素，對(duì)，一個(gè)用來探測圖像內(nèi)部，另一個(gè)用來探測圖像外部，A被B擊中或擊不中變換定義如式（31）所示。圖32[7]表示了細(xì)化效果。（2）進(jìn)行形態(tài)學(xué)重構(gòu)形態(tài)學(xué)重構(gòu)操作具有很多獨(dú)有的特性：（1）形態(tài)學(xué)重構(gòu)處理基于兩幅圖像，一個(gè)是標(biāo)記圖像，另一個(gè)是掩模圖像，而不僅僅是一幅圖像和一個(gè)結(jié)構(gòu)元素。進(jìn)行這兩種操作的最終結(jié)果是除去或減少了亮和暗的因素和噪聲。用閉運(yùn)算消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的暗細(xì)節(jié)，而保持圖像整體灰度值和大的暗區(qū)域基本不變。則認(rèn)為該像素為邊界像素。其中最根本的問題是解決檢測精度和抗噪能力間的矛盾。利用形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算是基于集合的觀點(diǎn)，這個(gè)集合集中反映了物體的形狀、體積、紋理、色彩等等。結(jié)構(gòu)元素可以為圓盤形、正方形、菱形、六邊形、線段形等。 （41）由式（41）可以得出： （42）若將式（42）中的2次腐蝕膨脹擴(kuò)展為K次，則 （43）因此開運(yùn)算就轉(zhuǎn)換成不斷使用小結(jié)構(gòu)元素S腐蝕原圖像，再依次用小結(jié)構(gòu)元素S膨脹。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)建立在集合論基礎(chǔ)上，是一種應(yīng)用于圖像處理和模式識(shí)別領(lǐng)域的新的方法。它是一種非線性的差分算子，而且其檢測出的邊緣與結(jié)構(gòu)元素B有關(guān)。形態(tài)學(xué)算子的結(jié)構(gòu)元素采用的菱形結(jié)構(gòu)元素。由于形態(tài)學(xué)中開運(yùn)算、閉運(yùn)算、閉—開運(yùn)算和開—閉運(yùn)算可以有效抑制圖像中的峰值(正脈沖)和谷底(負(fù)脈沖)噪聲，因此，將上節(jié)的算法進(jìn)行改進(jìn)，得到如下相對(duì)應(yīng)的抗噪型的形態(tài)學(xué)邊緣檢測算子[17]：1. 抗噪膨脹型如式（414）所示： （414）2. 抗噪腐蝕型如式（415）所示： （415）3. 抗噪膨脹腐蝕型如式（416）所示： （416）圖46和圖47表示了仿真結(jié)果。不同的結(jié)構(gòu)元素會(huì)處理處不同的效果，同樣，不同的尺度也會(huì)有不同的效果?；跀?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邊緣信息提取處理優(yōu)于基于微分運(yùn)算的邊緣提取算法，它不像微分算法那樣對(duì)噪聲敏感，同時(shí)，提取的邊緣也比較光滑，在邊緣檢測上既能夠體現(xiàn)圖像集合特征，很好地檢測圖像邊緣，又能滿足實(shí)時(shí)性要求。也就是說，首先看到的是外形中大的走向，然后是細(xì)致的變化關(guān)系。其中圖(a)使用了的方形結(jié)構(gòu)元素，圖(b)則使用了的方形結(jié)構(gòu)元素。為不同尺度結(jié)構(gòu)元素檢測結(jié)果的加權(quán)系數(shù)，通過改變可以改變不同尺度的結(jié)構(gòu)元素檢測得到的信息在最后結(jié)果中的權(quán)重。如果只采用一種結(jié)構(gòu)元素，其輸出圖像信號(hào)中只包含了一種幾何信息，所以不利于圖像細(xì)節(jié)的保持。由圖49可以看出，采用多結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)元素，有利于保持圖像的各種邊緣信息，例如采用單一結(jié)構(gòu)時(shí)，圖像方向的線條不夠平滑，出現(xiàn)了鋸齒狀，并且當(dāng)在水平方向的邊緣達(dá)到很好的效果時(shí)，圖像的細(xì)節(jié)比較模糊，當(dāng)采用多結(jié)構(gòu)時(shí)，可以發(fā)揮各個(gè)結(jié)構(gòu)元素的優(yōu)勢(shì)，互補(bǔ)不足，所以利用多結(jié)構(gòu)元素處理的圖像所有的邊緣連續(xù)性比較好，而且細(xì)節(jié)也比較細(xì)膩。本論文做的主要工作有：首先，本論文介紹了形態(tài)學(xué)的歷史和研究現(xiàn)狀，又進(jìn)一步對(duì)研究形態(tài)學(xué)的必要性和意義做了介紹，指出了形態(tài)學(xué)方法的優(yōu)點(diǎn)。 Chin contour。本論文從各個(gè)方面做比較，驗(yàn)證了形態(tài)學(xué)方法在圖像邊緣檢測中在細(xì)節(jié)上有很好的保留能力以及形態(tài)學(xué)的開閉運(yùn)算具有很好的抗噪性能，并依據(jù)結(jié)構(gòu)元素的形狀和結(jié)構(gòu)元素的尺度說明形態(tài)學(xué)算子具有很大的靈活性。因此，當(dāng)這些優(yōu)點(diǎn)與圖像處理技術(shù)結(jié)合以后，就為圖像處理技術(shù)大發(fā)展開辟了廣闊的空間。用不同方向上的結(jié)構(gòu)元素檢測出圖像不同方向處的邊緣，再將各個(gè)不同方向上的邊緣組合在一起，可以減少圖像不同方向處邊緣信息的丟失。在圖形中不斷移動(dòng)結(jié)構(gòu)元素，便可考察出圖形各部分問的關(guān)系，采用不同的結(jié)構(gòu)元素可以得出不同的結(jié)果。為了使結(jié)構(gòu)元素序列里的各結(jié)構(gòu)元素具有相似的形態(tài)，我們可以采用下面的辦法來構(gòu)造一個(gè)多尺度結(jié)構(gòu)元素序列： （417）即大尺度的結(jié)構(gòu)元素由小尺度的結(jié)構(gòu)元素多次膨脹來得到，這樣既實(shí)現(xiàn)了尺度增大，也保證了結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)不發(fā)生變化。我們發(fā)現(xiàn)若要想使得形態(tài)邊緣檢測算子具有去噪功能，則形態(tài)邊緣檢測算子的結(jié)構(gòu)元素尺度要大于或等于噪聲點(diǎn)的尺度，但是在實(shí)際的圖像處理中，雖然大尺度的結(jié)構(gòu)元素去噪性能較好，有利于確定原圖像中物體的大體輪廓，但是同時(shí)原圖像中的一些小的細(xì)節(jié)卻被當(dāng)作噪聲去掉了，出現(xiàn)漏檢；若是使用較小的結(jié)構(gòu)元，根據(jù)形態(tài)學(xué)中形態(tài)運(yùn)算的性質(zhì)．明顯很難濾除圖像中的噪聲點(diǎn)，檢測結(jié)果的信噪比低，但是它的優(yōu)點(diǎn)是不會(huì)把原圖像中的小細(xì)節(jié)當(dāng)作噪聲點(diǎn)，也即是說小尺度的結(jié)構(gòu)元素好的細(xì)節(jié)保持能力。按照尺度空間的因果性,極值點(diǎn)會(huì)隨尺度增加而逐漸消失,如果把不同尺度下極值點(diǎn)按尺度間的對(duì)應(yīng)關(guān)系有機(jī)地組織起來,那么它就自然地對(duì)應(yīng)了一棵樹結(jié)構(gòu)。改進(jìn)后的抗噪型形態(tài)學(xué)邊緣檢測算子是一種性能優(yōu)良的邊緣檢測算法。同加入椒鹽噪聲后處理的結(jié)果一樣，抗噪型算子的抗噪性能明顯優(yōu)于普通的邊緣檢測算子和形態(tài)學(xué)算子。 基于單尺度單結(jié)構(gòu)的抗噪型形態(tài)學(xué)邊緣檢測，形態(tài)學(xué)邊緣檢測算子是一種非線性的差分算子，實(shí)際上是傳統(tǒng)線性差分算子在一定意義下的推廣。開操作型檢測圖像中的波峰，可以增強(qiáng)圖像陰影部分的細(xì)節(jié)；閉操作型則是檢測圖像中的波谷；而開閉操作型可以一次檢測出圖像中的波峰和波谷，不過誤差值卻較大。根據(jù)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的膨脹、腐蝕、開、閉運(yùn)算的定義及擴(kuò)張性，令f(x，y)表示圖像，B表示結(jié)構(gòu)元素，當(dāng)B包括坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，有： （45） （46）綜合（45）和（46）兩式及形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算定律可得到如式（47）的形式。MatrHildreth邊緣檢測方法(LOG算子)采取先對(duì)原始圖像用高斯空間濾波器做最佳平滑，然后用拉普拉斯算子對(duì)濾波后的圖像提取零交叉點(diǎn)，以克服噪聲對(duì)邊緣檢測的影響。結(jié)構(gòu)元素尺寸的計(jì)算是一個(gè)重要問題。例如線段狀結(jié)構(gòu)元素，若它的原點(diǎn)在中點(diǎn)則為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，若原點(diǎn)在端頭則為非對(duì)稱結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)上，利用灰度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來描述邊緣點(diǎn)的變化規(guī)律。因此，邊緣檢測在圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺中占有特殊的位置，它是是圖像分割、紋理特征提取和形狀特征提取等圖像分析的重要基礎(chǔ)，是底層視覺處理中最重要的環(huán)節(jié)之一。(a)原圖像 (b)骨架化效果 (c)邊界像素測定效果圖36 圖像的骨架化及邊界像素測定對(duì)于一幅二進(jìn)制灰度圖像，如果圖像的像素值為1，則圖像的狀態(tài)為ON；如果其像素的值為0，則該像素的狀態(tài)為OFF。該方法中，對(duì)結(jié)構(gòu)元素的選取相當(dāng)重要，它應(yīng)當(dāng)比所有的噪聲孔和噪聲塊的尺寸都要大。去除噪聲的一般的思想是：先對(duì)有噪聲的圖像進(jìn)行噪聲的模糊，也即是先平滑圖像然后進(jìn)行形態(tài)邊緣檢測。圖33 形態(tài)學(xué)重構(gòu)的簡單圖像矩陣要很好地重構(gòu)這幅圖像，可以通過以下兩個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)：（1）首先創(chuàng)建標(biāo)記圖像與腐蝕和膨脹操作中使用的結(jié)構(gòu)元素一樣，標(biāo)記圖像的特征決定了形態(tài)學(xué)重構(gòu)結(jié)果所具有的特征，所以表搜集圖像的峰值應(yīng)該確定掩模圖像中希望強(qiáng)調(diào)對(duì)象的位置。根據(jù)擊中擊不中變換細(xì)化過程可以定義成如式（32）所示的形式。利用擊中擊不中變換即可以提取特定的相交結(jié)構(gòu)信息。從式（258）和式（259）的結(jié)果可知，經(jīng)模糊形態(tài)腐蝕膨脹運(yùn)算后的隸屬函數(shù)均落在[0,1]的區(qū)間內(nèi)。 （257）其中，是空間坐標(biāo)，是圖像的灰度值，是灰度結(jié)構(gòu)元素的核心，表示結(jié)構(gòu)元素的軟邊界，分別表示灰度圖像、灰度結(jié)構(gòu)元素的核心、灰度結(jié)構(gòu)元素的軟邊界的定義域，（集合差），其中表示灰度結(jié)構(gòu)元素的定義域。二值形態(tài)學(xué)中的一些基本運(yùn)算性質(zhì)，在灰度形態(tài)學(xué)中依然成立，只是二值形態(tài)學(xué)是在集合的層次上，在灰度形態(tài)學(xué)中一律以函數(shù)代替；二值形態(tài)學(xué)用的是集合的交、并和補(bǔ)等集合關(guān)系的運(yùn)算，在灰度形態(tài)學(xué)中就以函數(shù)的相加、減并取結(jié)果的極大值或極小值的關(guān)系的運(yùn)算代替；例如開運(yùn)算的平移不變性可表示為式（254）的形式。圖(c)給出開啟操作的結(jié)果?；叶葦?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中關(guān)于開啟和閉合的表達(dá)與它們?cè)诙禂?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的對(duì)應(yīng)運(yùn)算是一致的。 （239）2．單調(diào)性如式（240）和式（241）所示。 （237） （238）根據(jù)以上的定義形式，灰度膨脹可按下面步驟完成：對(duì)結(jié)構(gòu)元素的定義域中的每一個(gè)點(diǎn)將信號(hào)平移x，然后再對(duì)每次平移的信號(hào)的值加上，這樣對(duì)于結(jié)構(gòu)元素定義域中的每個(gè)點(diǎn)都得到一個(gè)信號(hào)，對(duì)所有這些信號(hào)逐點(diǎn)取其最大值，便可得到膨脹的結(jié)果；灰度腐蝕則可按下面步驟完成：對(duì)于結(jié)構(gòu)元素的定義域中的每一點(diǎn)，將信號(hào)平移，然后再從每次平移信號(hào)值減去，這樣對(duì)于結(jié)構(gòu)元素定義域中的每一點(diǎn)都得到一個(gè)信號(hào)，對(duì)所有這些信號(hào)逐點(diǎn)取其最小值，便得到腐蝕的結(jié)果。圖213 灰度圖像的膨脹和腐蝕變換圖213描述了這兩種變換。 （235）式中，和分別是和的定義域。 （233）式中，和分別是和的定義域。如果在的定義域內(nèi)，但在的定義域外，那么定義。 灰度形態(tài)學(xué)理論基礎(chǔ)灰度形態(tài)變換是建立在二值形態(tài)變換的基礎(chǔ)上的，在二值形態(tài)學(xué)中，集合的平移和交、并等變換仍然起著關(guān)鍵性的作用，但是對(duì)于圖像和結(jié)構(gòu)元素模型已經(jīng)不能僅用二值的集合表示，而用的是函數(shù)表示。 （222）3．單調(diào)性如式（223）和式（224）所示。圖27 二值圖像開運(yùn)算示意圖使用結(jié)構(gòu)元素對(duì)集合進(jìn)行閉操作，表示為，其定義如式（220）所示。6. 尺度伸縮性如式（215）所示。 （28）2. 單調(diào)性如式（29）和式（210）所示。 （27）被腐蝕是所有位移的集合。 （25）其中稱為輸入圖像，稱為結(jié)構(gòu)元素。按照這種種觀點(diǎn)，函數(shù)為 （21）另一方面，運(yùn)用集合的觀點(diǎn)，的定義如式（22）所示。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子的性能主要以幾何方式進(jìn)行刻畫，而幾何描述的特點(diǎn)更適合視覺信息的處理和分析，其基本思想如圖21所示。6．形態(tài)小波研究。將開、閉算子組合起來可以構(gòu)成性能更優(yōu)越的濾波器。結(jié)構(gòu)元素是一個(gè)可以在圖像上平移、且尺寸比圖像小的集合。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是圖像處理和模式識(shí)別領(lǐng)域的新方法[5]，其基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量和提取圖像中的對(duì)應(yīng)的形狀，已達(dá)到對(duì)圖像分析和識(shí)別的目的。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)不僅提供了描述和分析圖像幾何及形狀特征的多種技術(shù)和方法，同時(shí)它對(duì)于經(jīng)典的信號(hào)處理技術(shù)也產(chǎn)生了極大的影響并擴(kuò)展了原有的技術(shù)。這門學(xué)科在計(jì)算機(jī)文字識(shí)別，計(jì)算機(jī)顯微圖像分析(如定量金分析，顆粒分析)，醫(yī)學(xué)圖像處理，工業(yè)檢測(如印刷電路自動(dòng)檢測)，機(jī)器人視覺等方面都取得了許多非常成功的應(yīng)用。深入了解數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思想及方法適用于與圖像處理有關(guān)的各個(gè)方面，如基于擊中擊不中變換的目標(biāo)識(shí)別，基于流域概念的圖像分割，基于腐蝕和開運(yùn)算的骨架抽取及圖像編碼壓縮，基于測地距離的圖像重構(gòu)，基于形態(tài)學(xué)濾波器的顆粒分析等。形態(tài)學(xué)方法已經(jīng)迅速成為圖像應(yīng)用領(lǐng)域工程技術(shù)人員的必備工具。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法用排序加權(quán)統(tǒng)計(jì)方法代替最小、最大法。1982年出版的專著《Image Analysis andMathematical Morphology》是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展的重要里程碑，表明數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在理論上趨于完備及應(yīng)用上不斷深入。Sinha和Dougherty于90年代初將模糊數(shù)學(xué)引入數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)領(lǐng)域，形成模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。舒昌獻(xiàn)、莫玉龍等對(duì)基于軟化形態(tài)學(xué)的邊緣檢測算子的性能也進(jìn)行了分析和比較。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基于探測的思想，與人的視覺特點(diǎn)有類似之處。顯然，這并不是一句簡單的褒獎(jiǎng)。所以，對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論研究是非常有意義的。本文結(jié)合目前的研究進(jìn)展，對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論研究及其應(yīng)用進(jìn)展進(jìn)行了綜合性闡述。比如在圖像恢復(fù)處理方面，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的形狀濾波器可借助于先驗(yàn)的幾何特征信息，利用形態(tài)學(xué)算子就能有效地濾除噪聲，還可以保留圖像中原有的信息；另外，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邊緣信息提取處理優(yōu)于基本微分運(yùn)算的邊緣提取算法，它對(duì)噪聲不像微分算法那樣敏感，且提取的邊緣也較平滑。在此基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者進(jìn)行了大量、深入的研究，提出了一系列新的