【正文】 ，那么 （231）信號(hào)對(duì)原點(diǎn)的反射記為，其定義如式（232）所示。 （228）當(dāng)移位和偏移同時(shí)存在時(shí)，稱為形態(tài)學(xué)平移，記為，其定義如式（229）所示。將信號(hào)，向右水平移動(dòng)，稱移位，其定義如式（227）所示。 灰度形態(tài)學(xué)理論基礎(chǔ)灰度形態(tài)變換是建立在二值形態(tài)變換的基礎(chǔ)上的，在二值形態(tài)學(xué)中，集合的平移和交、并等變換仍然起著關(guān)鍵性的作用，但是對(duì)于圖像和結(jié)構(gòu)元素模型已經(jīng)不能僅用二值的集合表示，而用的是函數(shù)表示。但是對(duì)高分辨率的多值圖像進(jìn)行處理的形態(tài)學(xué)方法不同于二值形態(tài)學(xué)，它是將排序統(tǒng)計(jì)學(xué)與二值形態(tài)學(xué)有機(jī)結(jié)合起來(lái)的多值形態(tài)變換，一般稱為灰度形態(tài)學(xué)。值得說(shuō)明的是，與腐蝕和膨脹運(yùn)算不同，開、閉運(yùn)算具有冪等性，這意味著一次運(yùn)算與重復(fù)運(yùn)算將得到相同的結(jié)果，這是一個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)。 （225）5．平移不等性如式（226）所示。 （222）3．單調(diào)性如式（223）和式（224）所示。 二值圖像開閉運(yùn)算性質(zhì)1．對(duì)偶性如式（221）所示。對(duì)原始二值圖像作閉運(yùn)算的結(jié)果如圖29(c)所示，采用和開運(yùn)算一樣的半徑為3的圓形結(jié)構(gòu)元素，從圖(c)看到，細(xì)長(zhǎng)彎口、指向內(nèi)部的齒狀邊緣和小洞都已被刪除。二值圖像開運(yùn)算和閉運(yùn)算的仿真結(jié)果如圖29所示，(a)是一幅原始的二值圖像，(b)是采(a)原圖像 (b)開運(yùn)算 (c)閉運(yùn)算圖29 二值圖像開閉運(yùn)算仿真結(jié)果用半徑為3的圓形結(jié)構(gòu)元素對(duì)原始圖像作開運(yùn)算后得到的結(jié)果。圖27 二值圖像開運(yùn)算示意圖使用結(jié)構(gòu)元素對(duì)集合進(jìn)行閉操作，表示為，其定義如式（220）所示。為了更好地理解開運(yùn)算在圖像處理中的作用，可以參考式（219）所示的等價(jià)方程： （219）圖27[7]表示了先腐蝕后膨脹所描述的開運(yùn)算。 二值圖像開運(yùn)算和閉運(yùn)算使用結(jié)構(gòu)元素對(duì)集合進(jìn)行開運(yùn)算，表示為，其定義如式（218）所示。 （216） （217）平移不變性意味著圖像或結(jié)構(gòu)元素的位置變化僅引起變換結(jié)果的位置變化，而結(jié)果的形態(tài)無(wú)任何改變。6. 尺度伸縮性如式（215）所示。 （213） （214）式（213）和式（214）十分重要，它們表明采用一個(gè)較大結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)學(xué)運(yùn)算可以由兩個(gè)采用較小結(jié)構(gòu)元素B和C的形態(tài)學(xué)運(yùn)算的級(jí)聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)。 （212）需要說(shuō)明的是腐蝕運(yùn)算不滿足交換律，即通常不成立。 （211）如果結(jié)構(gòu)元素包含原點(diǎn)，腐蝕的結(jié)果是使圖像收縮，是的一個(gè)子集；而是膨脹結(jié)果的子集。 （28）2. 單調(diào)性如式（29）和式（210）所示。并且用這樣的結(jié)構(gòu)元素腐蝕后的結(jié)果也是包含于原圖的，即。圖25 二值圖像腐蝕示意圖圖26給出了腐蝕運(yùn)算的例子，其中(a)是二值圖像；(b)是結(jié)構(gòu)元素；(c)是腐蝕后的結(jié)果，深色的部分就是相對(duì)原圖剩下的部分。圖25[7]給出了二值圖像腐蝕示意圖，(a)和(b)分別給出原點(diǎn)在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部和不在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部的情況。 （27）被腐蝕是所有位移的集合?？梢钥闯龃藭r(shí)膨脹的結(jié)果是包含原圖的，即。圖23[7]給出了二值圖像膨脹示意圖，(a)和(b)分別給出結(jié)構(gòu)元素在原點(diǎn)和不在原點(diǎn)的情況。根據(jù)這種解釋，還可以寫為如式（26）的形式。 （25）其中稱為輸入圖像，稱為結(jié)構(gòu)元素。以后所有的形態(tài)學(xué)變換都可以由膨脹和腐蝕變換的復(fù)合運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。 （24）圖22說(shuō)明了這兩個(gè)定義，是將集合平移到點(diǎn)，是集合對(duì)于原點(diǎn)的反射。定義1：設(shè)集合及，將平移到點(diǎn)，表示為，其定義如式（23）所示。按照這種種觀點(diǎn)，函數(shù)為 （21）另一方面，運(yùn)用集合的觀點(diǎn)，的定義如式（22）所示。集合的運(yùn)算可以直接應(yīng)用于二值圖像的集合。集合論中的基本概念包括口。在研究數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理及其應(yīng)用以前，首先要掌握集合論中的一些基本概念。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子的性能主要以幾何方式進(jìn)行刻畫，而幾何描述的特點(diǎn)更適合視覺信息的處理和分析，其基本思想如圖21所示?；镜臄?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算是將結(jié)構(gòu)元素在圖像范圍內(nèi)平移，同時(shí)施加交、并等基本集合運(yùn)算。 二值圖像形態(tài)學(xué)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)將二值圖像看成是集合，并用結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行“探測(cè)”。用形態(tài)學(xué)算子作為提升算子，用提升方法還可以構(gòu)造出性能更優(yōu)良的非線性小波。6．形態(tài)小波研究。5．彩色圖像處理的研究。4．運(yùn)動(dòng)分析的研究?；叶刃螒B(tài)學(xué)、模糊形態(tài)學(xué)和形態(tài)金字塔等算法運(yùn)算速度慢，不適合實(shí)時(shí)處理。將開、閉算子組合起來(lái)可以構(gòu)成性能更優(yōu)越的濾波器。2．優(yōu)化濾波器設(shè)計(jì)。目前形態(tài)學(xué)研究?jī)?nèi)容主要集中在[7]：1．結(jié)構(gòu)元素的設(shè)計(jì)。二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)構(gòu)成了經(jīng)典的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。結(jié)構(gòu)元素是一個(gè)可以在圖像上平移、且尺寸比圖像小的集合?？梢杂脕?lái)解決抑制噪聲、特征提取、邊緣檢測(cè)、圖像分割、形狀識(shí)別、紋理分析、圖像恢復(fù)與重建、圖像壓縮等圖像處理問題。利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法提取的圖像骨架也比較連續(xù)，斷點(diǎn)少。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)比其他空域或頻域圖像處理和分析方法具有一些明顯的優(yōu)勢(shì)。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是圖像處理和模式識(shí)別領(lǐng)域的新方法[5]，其基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量和提取圖像中的對(duì)應(yīng)的形狀，已達(dá)到對(duì)圖像分析和識(shí)別的目的。第2章 形態(tài)學(xué)基本理論 形態(tài)學(xué)的研究?jī)?nèi)容形態(tài)學(xué)運(yùn)算是針對(duì)二值圖像，并依據(jù)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)集合論方法發(fā)展起來(lái)的圖像處理方法。目前已經(jīng)有很多圖像處理的方法，但是由于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是基于集合論的方法，屬于非線性處理，實(shí)際上相比傳統(tǒng)的多種線性算法更加適合數(shù)字圖像的處理。用于圖像處理的形態(tài)系統(tǒng)， 具有完備的結(jié)構(gòu)和理論體系，是進(jìn)行非線性性態(tài)分析和描述的有力工具。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)不僅提供了描述和分析圖像幾何及形狀特征的多種技術(shù)和方法，同時(shí)它對(duì)于經(jīng)典的信號(hào)處理技術(shù)也產(chǎn)生了極大的影響并擴(kuò)展了原有的技術(shù)。然而，對(duì)于圖像的形態(tài)特征和幾何結(jié)構(gòu)等非線性因素的分析和描述卻由于系統(tǒng)的線性特征而受到限制。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，圖像及信號(hào)處理技術(shù)越來(lái)越為大眾所需求。目前，有關(guān)形態(tài)學(xué)的技術(shù)和應(yīng)用正在不斷地發(fā)展和擴(kuò)大。這門學(xué)科在計(jì)算機(jī)文字識(shí)別，計(jì)算機(jī)顯微圖像分析(如定量金分析，顆粒分析)，醫(yī)學(xué)圖像處理，工業(yè)檢測(cè)(如印刷電路自動(dòng)檢測(cè))，機(jī)器人視覺等方面都取得了許多非常成功的應(yīng)用。許多非常成功的理論模型和視覺檢測(cè)系統(tǒng)都采用了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法作為其理論基礎(chǔ)或組成部分。 形態(tài)學(xué)的研究目的和意義近年來(lái)，形態(tài)學(xué)圖像處理已經(jīng)發(fā)展成為圖像處理的一個(gè)主要研究領(lǐng)域。有人稱數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在理論上是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，在基本觀念上卻是簡(jiǎn)單和優(yōu)美的。深入了解數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思想及方法適用于與圖像處理有關(guān)的各個(gè)方面，如基于擊中擊不中變換的目標(biāo)識(shí)別，基于流域概念的圖像分割，基于腐蝕和開運(yùn)算的骨架抽取及圖像編碼壓縮，基于測(cè)地距離的圖像重構(gòu)，基于形態(tài)學(xué)濾波器的顆粒分析等。形態(tài)和差(膨脹與腐蝕)是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基礎(chǔ)。作為探針的結(jié)構(gòu)元素，可直接攜帶知識(shí)(形態(tài)、大小、甚至加入灰度和色度信息)，來(lái)探測(cè)研究圖像的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。當(dāng)探針在圖像中不斷地移動(dòng)時(shí)，便可以考察圖像各個(gè)部分間的相互關(guān)系，從而了解圖像的結(jié)構(gòu)特征。形態(tài)學(xué)方法已經(jīng)迅速成為圖像應(yīng)用領(lǐng)域工程技術(shù)人員的必備工具。對(duì)于形態(tài)學(xué)興趣的增長(zhǎng)勢(shì)頭，可以從近幾年大量涌現(xiàn)的研究期刊和會(huì)議論文的數(shù)量，以及許多已經(jīng)開發(fā)和正在開發(fā)的工業(yè)應(yīng)用系統(tǒng)中窺見一斑。Gasteratos[4]等將模糊集合理論應(yīng)用到軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)提出了模糊軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)具有硬數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相似的代數(shù)特性，但具有更強(qiáng)的抗噪聲干擾的能力，對(duì)加性噪聲及微小形狀變化不敏感。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法用排序加權(quán)統(tǒng)計(jì)方法代替最小、最大法。周煦潼、施鵬飛等在此方面進(jìn)行了較深入的研究。在模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法中，圖像不再看成是硬二值化集合，而是模糊集合[2]。目前，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)已在計(jì)算機(jī)視覺、信號(hào)處理與圖像分析、模式識(shí)別、計(jì)算方法與數(shù)據(jù)處理等方面得到了極為廣泛的應(yīng)用。1982年出版的專著《Image Analysis andMathematical Morphology》是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展的重要里程碑，表明數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在理論上趨于完備及應(yīng)用上不斷深入。理工大學(xué)畢業(yè)論文基于形態(tài)學(xué)圖像處理方法研究畢業(yè)論文目 錄第1章 緒論 1 形態(tài)學(xué)的研究現(xiàn)狀 1 形態(tài)學(xué)的研究目的和意義 2第2章 形態(tài)學(xué)基本理論 4 形態(tài)學(xué)的研究?jī)?nèi)容 4 二值圖像形態(tài)學(xué) 5 數(shù)字圖像的表示及反射平移 5 二值圖像的腐蝕和膨脹運(yùn)算 6 二值形態(tài)膨脹和腐蝕運(yùn)算的性質(zhì) 8 二值圖像開運(yùn)算和閉運(yùn)算 9 二值圖像開閉運(yùn)算性質(zhì) 10 灰度圖像形態(tài)學(xué) 11 灰度形態(tài)學(xué)理論基礎(chǔ) 11 灰度形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹運(yùn)算 12 灰度形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹運(yùn)算性質(zhì) 15 灰度形態(tài)學(xué)開運(yùn)算和閉運(yùn)算 16 灰度形態(tài)學(xué)開運(yùn)算和閉運(yùn)算性質(zhì) 17 軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 18 模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 18第3章 形態(tài)學(xué)在圖像處理的基本應(yīng)用 19 擊中或擊不中變換 19 細(xì)化和粗化 19 形態(tài)學(xué)重構(gòu) 20 形態(tài)學(xué)圖像平滑 21 圖像的骨架化及邊界像素值的測(cè)定 23第4章 基于形態(tài)學(xué)的圖像邊緣檢測(cè) 24 圖像邊緣的定義 24 結(jié)構(gòu)元素的確定 24 結(jié)構(gòu)元素的形狀 25 結(jié)構(gòu)元素的尺寸 25 形態(tài)學(xué)算法和傳統(tǒng)算法的邊緣檢測(cè)比較 26 基于單尺度單結(jié)構(gòu)的抗噪型形態(tài)學(xué)邊緣檢測(cè) 30 基于多尺度單結(jié)構(gòu)的邊緣檢測(cè) 32 基于單尺度多結(jié)構(gòu)的邊緣檢測(cè) 34 基于多尺度多結(jié)構(gòu)的邊緣檢測(cè) 35結(jié)論 36參考文獻(xiàn) 37附錄Ⅰ 外文文獻(xiàn)翻譯 38附錄Ⅱ 程序清單 68致謝 76第1章 緒論 形態(tài)學(xué)的研究現(xiàn)狀數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)歷史可回溯到19世紀(jì)的Eular,Steiner Crofton和本世紀(jì)的Minkowski, Matheron和Serra。1964年法國(guó)的Matheron和Serra在積分幾何的研究成果上，將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)引入圖像處理領(lǐng)域，并研制了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理系統(tǒng)[1]。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)蓬勃發(fā)展，由于其并行快速，易于硬件實(shí)現(xiàn)，已引起了人們的廣泛關(guān)注。Sinha和Dougherty于90年代初將模糊數(shù)學(xué)引入數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)領(lǐng)域，形成模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。集合的交、并運(yùn)算分別由凸的交、并運(yùn)算代替，從而分別形成模糊腐蝕和模糊膨脹。此外，Koskinen[3]等還提出了另一種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法——軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。權(quán)值與結(jié)構(gòu)元素有關(guān)，并由核心和軟邊界兩大部分組成。舒昌獻(xiàn)、莫玉龍等對(duì)基于軟化形態(tài)學(xué)的邊緣檢測(cè)算子的性能也進(jìn)行了分析和比較。模糊軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)將模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)結(jié)合起來(lái)，可根據(jù)圖像的拓樸結(jié)構(gòu)，合理選擇模糊集合運(yùn)算算子及結(jié)構(gòu)元素核心、軟邊界的定義域，并通過(guò)改變反映結(jié)構(gòu)元素與圖像間匹配程度的參數(shù)K的值調(diào)整圖像處理的輸出結(jié)果。形態(tài)學(xué)的應(yīng)用覆蓋了圖像處理的幾乎所有領(lǐng)域，包括文字識(shí)別、醫(yī)學(xué)圖像處理、圖像編碼壓縮、視覺檢測(cè)、材料科學(xué)以及機(jī)器人視覺等，不勝枚舉。形態(tài)學(xué)圖像處理的基本思想，是利用一個(gè)稱作結(jié)構(gòu)元素的“探針”收集圖像的信息。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基于探測(cè)的思想，與人的視覺特點(diǎn)有類似之處。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一種非線性濾波方法。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以用來(lái)解決抑制噪聲、特征提取、邊緣檢測(cè)、圖像分割、形狀識(shí)別、紋理分析，圖像恢復(fù)與重構(gòu)、圖像壓縮等圖像處理問題。迄今為止，還沒有一種方法能夠像數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)那樣既有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，簡(jiǎn)潔、樸素、統(tǒng)一的基本思想，又具有如此廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。顯然，這并不是一句簡(jiǎn)單的褒獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門建立在嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的學(xué)科[5]，其基本思想和方法對(duì)圖像處理的理論和技術(shù)產(chǎn)生了重大影響。事實(shí)上，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)已經(jīng)構(gòu)成一種新型的圖像處理方法和理論，形態(tài)學(xué)圖像處理已成為計(jì)算機(jī)數(shù)字圖像處理的一個(gè)主要研究領(lǐng)域。一些形態(tài)學(xué)的算法，已經(jīng)做成了計(jì)算機(jī)芯片，許多研究成果已經(jīng)作為專利出售，其影響已波及到與計(jì)算機(jī)圖像處理有關(guān)的各個(gè)領(lǐng)域，包括圖像增強(qiáng)、分割、恢復(fù)、邊緣檢測(cè)、紋理分析、顆粒分析、特征生成、骨架化、形狀分析、壓縮、成分分析及細(xì)化等諸多領(lǐng)域。所以，對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論研究是非常有意義的。經(jīng)典的信號(hào)處理方法主要是基于線性系統(tǒng)的理論、傳統(tǒng)的信號(hào)與系統(tǒng)的概念及Fourier分析，并廣泛地運(yùn)用于不同的科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中[4]。 近幾十年發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)從理論和方法上彌補(bǔ)了這一缺憾?；跀?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理技術(shù)是一種采用集合的概念表示圖像、非線性疊加方式描述圖像的非線性系統(tǒng)技術(shù)，稱之為形態(tài)系統(tǒng)， 它廣泛地應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)和電子顯微鏡圖像的分析以及數(shù)字圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域，并已發(fā)展成為一種新型的圖像處理方法和理論。本文結(jié)合目前的研究進(jìn)展，對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論研究及其應(yīng)用進(jìn)展進(jìn)行了綜合性闡述。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以通過(guò)本身的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的抑制，還可以通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)元素的調(diào)整實(shí)現(xiàn)各種場(chǎng)合條件下的應(yīng)用，且容易用硬件實(shí)現(xiàn)，所以利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)進(jìn)行圖像處理已經(jīng)漸漸發(fā)展為與線性方法并行的主流方向。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)起源于巖相學(xué)對(duì)巖石結(jié)構(gòu)的定量描述工作，近年來(lái)在數(shù)字圖像處理和機(jī)器視覺領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，形成了一種獨(dú)特的數(shù)字圖像法系方法和理論。用于描述數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的是集合論，因此可以用一個(gè)統(tǒng)一且強(qiáng)大的工具來(lái)處理圖像處理中所遇到的問題，它利用形態(tài)學(xué)基本概念和運(yùn)算，將結(jié)構(gòu)元靈活的組合分解，應(yīng)用形態(tài)變換達(dá)到了分析問題的目的。比如在圖像恢復(fù)處理方面，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的形狀濾波器可借助于先驗(yàn)的幾何特征信息，利用形態(tài)學(xué)算子就能有效地濾除噪聲，還可以保留圖像中原有的信息；另外，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邊緣信息提取處理優(yōu)于基本微分運(yùn)算的邊緣提取算法，它對(duì)噪聲不像微分算法那樣敏感，且提取的邊緣也較平滑。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一種非線性濾波方法[6]。它首先處理二值圖像，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)將二值圖像看成是集合，并用結(jié)構(gòu)元素來(lái)探察?；镜臄?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算是將結(jié)構(gòu)元素在圖像范圍內(nèi)平移，同時(shí)施加交、并等基本的集合運(yùn)算。在此基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者進(jìn)行了大量、深入的研究，提出了一系列新的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論。結(jié)構(gòu)元素對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運(yùn)算結(jié)果具有決定性的作用，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用背景和期望設(shè)計(jì)合理的結(jié)構(gòu)元素是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)研究的重點(diǎn)之—。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)實(shí)質(zhì)上是一類非線性濾波器，最基本的是開、閉濾波器。3