【正文】 圖26 二值腐蝕運(yùn)算的結(jié)果 二值形態(tài)膨脹和腐蝕運(yùn)算的性質(zhì)1. 對偶性如式（28）所示。 （28）2. 單調(diào)性如式（29）和式（210）所示。 （29） （210）3. 遞減（增）性如式（211）所示。 （211）如果結(jié)構(gòu)元素包含原點，腐蝕的結(jié)果是使圖像收縮，是的一個子集；而是膨脹結(jié)果的子集。4. 交換律如式（212）所示。 （212）需要說明的是腐蝕運(yùn)算不滿足交換律，即通常不成立。5. 結(jié)合律如式（213）和式（214）所示。 （213） （214）式（213）和式（214）十分重要，它們表明采用一個較大結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)學(xué)運(yùn)算可以由兩個采用較小結(jié)構(gòu)元素B和C的形態(tài)學(xué)運(yùn)算的級聯(lián)來實現(xiàn)。這在實際應(yīng)用中對提高算法效率和硬件實現(xiàn)意義極大。6. 尺度伸縮性如式（215）所示。 （215）7. 平移不變性如式（216）和式（217）所示。 （216） （217）平移不變性意味著圖像或結(jié)構(gòu)元素的位置變化僅引起變換結(jié)果的位置變化，而結(jié)果的形態(tài)無任何改變。這符合實際的要求，因為當(dāng)同一目標(biāo)出現(xiàn)在圖像的不同位置時，對它們的分析不應(yīng)因位置差異而不同。 二值圖像開運(yùn)算和閉運(yùn)算使用結(jié)構(gòu)元素對集合進(jìn)行開運(yùn)算，表示為，其定義如式（218）所示。 （218）用結(jié)構(gòu)元素對集合進(jìn)行開操作就是用B對A腐蝕，然后用B對結(jié)果進(jìn)行膨脹。為了更好地理解開運(yùn)算在圖像處理中的作用，可以參考式（219）所示的等價方程： （219）圖27[7]表示了先腐蝕后膨脹所描述的開運(yùn)算。圖中給出了利用圓盤對一個矩形先腐蝕后膨脹所得到的結(jié)果。圖27 二值圖像開運(yùn)算示意圖使用結(jié)構(gòu)元素對集合進(jìn)行閉操作，表示為，其定義如式（220）所示。 （220）圖28為閉運(yùn)算的示意圖，閉運(yùn)算是先膨脹后腐蝕，也可以利用對偶性，即沿圖像的外圖28 二值圖像閉運(yùn)算示意圖邊緣填充或滾動結(jié)構(gòu)元素，閉運(yùn)算磨光了凸向圖像內(nèi)部的尖角，即對圖像外部濾波。二值圖像開運(yùn)算和閉運(yùn)算的仿真結(jié)果如圖29所示，(a)是一幅原始的二值圖像，(b)是采(a)原圖像 (b)開運(yùn)算 (c)閉運(yùn)算圖29 二值圖像開閉運(yùn)算仿真結(jié)果用半徑為3的圓形結(jié)構(gòu)元素對原始圖像作開運(yùn)算后得到的結(jié)果。比較(a)和(b)可以看到，開運(yùn)算完全刪除了不能包含結(jié)構(gòu)元素的對象區(qū)域，平滑了對象的輪廓，斷開了狹窄的連接，去掉了細(xì)小的突出部分。對原始二值圖像作閉運(yùn)算的結(jié)果如圖29(c)所示，采用和開運(yùn)算一樣的半徑為3的圓形結(jié)構(gòu)元素，從圖(c)看到，細(xì)長彎口、指向內(nèi)部的齒狀邊緣和小洞都已被刪除。閉運(yùn)算具有填充物體內(nèi)細(xì)小空洞，連接鄰近物體和平滑邊界的作用。 二值圖像開閉運(yùn)算性質(zhì)1．對偶性如式（221）所示。 （221）2．?dāng)U展收縮性如式（222）所示。 （222）3．單調(diào)性如式（223）和式（224）所示。 （223） （224）4．冪等性如式（225）所示。 （225）5．平移不等性如式（226）所示。 （226）開、閉運(yùn)算是由腐蝕和膨脹組成的二次運(yùn)算，因此具有與腐蝕和膨脹相類似的性質(zhì)。值得說明的是，與腐蝕和膨脹運(yùn)算不同，開、閉運(yùn)算具有冪等性，這意味著一次運(yùn)算與重復(fù)運(yùn)算將得到相同的結(jié)果，這是一個獨(dú)特的性質(zhì)。 灰度圖像形態(tài)學(xué)隨著數(shù)字成像技術(shù)的發(fā)展和數(shù)字圖像處理技術(shù)應(yīng)用范圍的擴(kuò)展，對二值圖像的處理已經(jīng)不能滿足數(shù)字圖像處理日新月異的變化需要，而對高分辨率圖像的處理已成為圖像工程中的迫切需要解決的問題。但是對高分辨率的多值圖像進(jìn)行處理的形態(tài)學(xué)方法不同于二值形態(tài)學(xué)，它是將排序統(tǒng)計學(xué)與二值形態(tài)學(xué)有機(jī)結(jié)合起來的多值形態(tài)變換，一般稱為灰度形態(tài)學(xué)?；叶刃螒B(tài)學(xué)是二值形態(tài)學(xué)的推廣，研究的主要對像是灰度圖像。 灰度形態(tài)學(xué)理論基礎(chǔ)灰度形態(tài)變換是建立在二值形態(tài)變換的基礎(chǔ)上的，在二值形態(tài)學(xué)中，集合的平移和交、并等變換仍然起著關(guān)鍵性的作用，但是對于圖像和結(jié)構(gòu)元素模型已經(jīng)不能僅用二值的集合表示，而用的是函數(shù)表示。所以在介紹灰度形態(tài)變換之前，先介紹一些與之相應(yīng)的概念。將信號，向右水平移動，稱移位，其定義如式（227）所示。 （227）將信號，豎直移動，稱為偏移，記為，其定義如式（228）所示。 （228）當(dāng)移位和偏移同時存在時，稱為形態(tài)學(xué)平移，記為，其定義如式（229）所示。 （229）假設(shè)和分別定義在域和上的兩個信號，如果（1）；（2）對，有，則稱在下方，記為。和g的極小為：如果x在定義域的交集中，那么 （230）和的極大為：如果在定義域的并集，那么 （231）信號對原點的反射記為，其定義如式（232）所示。 （232）圖210表示了一個信號的移位、平移及相應(yīng)的形態(tài)學(xué)平移。如果在的定義域內(nèi)，但在的定義域外，那么定義。如果在的定義域內(nèi)，但在的定義域外，圖210 信號的移位、平移及相應(yīng)的形態(tài)學(xué)平移那么，定義。如果不在和的定義域內(nèi)，即不在之內(nèi)，則無定義。如圖211所示。圖211 信號的極大極小表示反射的定義是參照集合在平面內(nèi)相對原點的旋轉(zhuǎn)而提出來的。如圖212所示，信號的反射是通過先對縱軸反射，然后對橫軸反射得到的。圖212 信號的反射 灰度形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹運(yùn)算灰度形態(tài)學(xué)是二值形態(tài)學(xué)對灰度圖像的自然擴(kuò)展，其中二值形態(tài)學(xué)所用到的交、并運(yùn)算分別用極大、極小極值代替就是灰度形態(tài)學(xué)的相應(yīng)運(yùn)算。利用結(jié)構(gòu)元素對信號的灰度膨脹記為，其定義如式233所示。 （233）式中，和分別是和的定義域。這里限制和在的定義域之內(nèi)，類似于二值膨脹定義中要求兩個運(yùn)算集合至少有一個(非零)元素相交。式（233）與2D卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用max(極大)替換了卷積中的求和(或積分)，用加法替換了卷積中的相乘。膨脹灰度圖像的結(jié)果是，比背景亮的部分得到擴(kuò)張，而比背景暗的部分受到收縮。在1D中膨脹的定義表達(dá)式將簡化為如式（234）所示的形式。 （234）在此利用了結(jié)構(gòu)元素的反射，求將信號限制在結(jié)構(gòu)元素的定義域內(nèi)時，上推結(jié)構(gòu)元素使其原點超過信號時最小值，即為該點的膨脹結(jié)果。與二值情況一樣，灰度腐蝕也可用灰度膨脹的對偶運(yùn)算來定義。利用結(jié)構(gòu)元素對信號的灰度腐蝕記為，其定義如式（235）所示。 （235）式中，和分別是和的定義域。這里限制和在的定義域之內(nèi)，類似于二值膨脹定義中要求兩個運(yùn)算集合至少有一個(非零)元素相交。式（232）與2D卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用min(極小)替換了卷積中的求和(或積分)，用加法替換了卷積中的相乘。膨脹灰度圖像的結(jié)果是，比背景暗的部分得到擴(kuò)張，而比背景暗的部分受到收縮。在1D中腐蝕的定義表達(dá)式將簡化為如式（236）所示的形式。 （236）從幾何角度講，為了求出信號被結(jié)構(gòu)元素在點x腐蝕的結(jié)果，可以在空間滑動這個結(jié)構(gòu)元素，使其原點與x點重合，然后上推結(jié)構(gòu)元素，使其處于信號下方所能達(dá)到的最大值，即為該點的腐蝕結(jié)果。結(jié)構(gòu)元素必須在信號下方，故空間平移結(jié)構(gòu)元素的定義域必為信號定義域的子集。否則腐蝕在該點沒有定義。圖213 灰度圖像的膨脹和腐蝕變換圖213描述了這兩種變換。其中(1)是結(jié)構(gòu)元素；(2)是原始信號；(3)是灰度腐蝕后的結(jié)果；(4)是灰度膨脹后的結(jié)果。從圖213可以看出，灰度腐蝕與二值腐蝕之間的一個基本關(guān)系：被灰度腐蝕信號的定義域等于利用結(jié)構(gòu)元素的定義域作為結(jié)構(gòu)元素，再對信號的定義域作二值腐蝕所得的結(jié)果?；叶扰蛎浥c二值膨脹之間也有類似關(guān)系?？磮D213，其效果相當(dāng)于半圓形結(jié)構(gòu)元素在信號的下面“滑動”時，其圓心畫出的軌跡。但是這里存在一個限制條件，即結(jié)構(gòu)元素必須在信號曲線的下面平移。從圖中不難看出，半圓形結(jié)構(gòu)元素從信號的下面對信號產(chǎn)生濾波作用，這與圓盤從內(nèi)部對二值圖像濾波的情況是相似的。灰度膨脹和腐蝕除了具有前面逐點定義的形式外，還有的全局定義的形式，其分別如式（237）和式（238）所示。 （237） （238）根據(jù)以上的定義形式，灰度膨脹可按下面步驟完成：對結(jié)構(gòu)元素的定義域中的每一個點將信號平移x，然后再對每次平移的信號的值加上，這樣對于結(jié)構(gòu)元素定義域中的每個點都得到一個信號，對所有這些信號逐點取其最大值，便可得到膨脹的結(jié)果；灰度腐蝕則可按下面步驟完成：對于結(jié)構(gòu)元素的定義域中的每一點，將信號平移，然后再從每次平移信號值減去，這樣對于結(jié)構(gòu)元素定義域中的每一點都得到一個信號，對所有這些信號逐點取其最小值，便得到腐蝕的結(jié)果。(a) 原始灰度圖像 (b)灰度膨脹圖像 (c)灰度腐蝕圖像圖214 灰度圖像膨脹腐蝕仿真結(jié)果圖214給出了灰度圖像膨脹和腐蝕結(jié)果。(a)為原始的灰度圖像，(b)為膨脹后的圖像，(c)為腐蝕后的圖像，采用的是的方形結(jié)構(gòu)元。從(b)可以看出圖像經(jīng)過膨脹后，比原圖像更明亮且消除了小的、暗的細(xì)節(jié)。從(c)中可以看到與膨脹相反的結(jié)果，被腐蝕的圖像更暗．并且尺寸小、明亮的部分被削弱了。從圖中效果可以看出，膨脹變換是由結(jié)構(gòu)元素確定的鄰域中選取圖像值與結(jié)構(gòu)元素值的和的最大值，致使輸出圖像比輸入圖像亮；腐蝕變換是由結(jié)構(gòu)元素確定的鄰域塊中選取圖像值與結(jié)構(gòu)元素值的差的最小值，致使輸出圖像比輸入圖像暗。 灰度形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹運(yùn)算性質(zhì)灰度膨脹和腐蝕具有類似二值腐蝕和膨脹的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)在實際應(yīng)用中具有非常重要的作用，下面不加證明的給出這些性質(zhì)。1．對偶性如式（239）所示。 （239）2．單調(diào)性如式（240）和式（241）所示。 （240） （241）3．?dāng)U展縮小性如式（242）所示。 （242）4. 交換律如式（243）所示。 （243）5. 結(jié)合律如式（244）所示。 （244）6. 平移不變性如式（245）、式（246）、式（247）和式（248）所示。 （245） （246） （247） （248）7. 與極大（極?。┖瘮?shù)關(guān)系如式（249）、式（250）和式（251）所示。 （249） （250） （251） 灰度形態(tài)學(xué)開運(yùn)算和閉運(yùn)算具備了腐蝕和膨脹這兩種初級形態(tài)學(xué)運(yùn)算，我們便可以定義二級運(yùn)算一灰度開啟和灰度閉合運(yùn)算。與二值情況相同，這兩種運(yùn)算為對偶運(yùn)算?；叶葦?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中關(guān)于開啟和閉合的表達(dá)與它們在二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的對應(yīng)運(yùn)算是一致的。用(灰度)開啟記為，其定義如式（252）所示。 （252）開啟運(yùn)算可以通過求出所有結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)學(xué)平移都可填入輸入信號下方的極大點來計算。這種填充表達(dá)方式可以從幾何角度直觀地描述開運(yùn)算：在信號的下方滑動結(jié)構(gòu)元素，并在每一點記錄結(jié)構(gòu)元素上的最高點，原點相對結(jié)構(gòu)元素的位置不會對運(yùn)算結(jié)果產(chǎn)生影響。用(灰度)閉合記為，其定義如式（253）所示。 （253）閉合運(yùn)算的直觀描述則是一種滾球的效果：在信號上方滾動結(jié)構(gòu)元素，并記錄每一點結(jié)構(gòu)元素上的最低點，同樣原點相對結(jié)構(gòu)元素的位置不會對運(yùn)算結(jié)果產(chǎn)生影響。圖215 形態(tài)學(xué)灰度開啟和閉合變換圖215[9]中，用開啟，即，可看作將貼著的下沿從一端滾到另一端。圖(b)給出在開啟中的幾個位置。圖(c)給出開啟操作的結(jié)果。從圖(c)可看出，對所有比的直徑小的山峰其高度和尖銳程度都減弱了。換句話說，當(dāng)貼著的下沿滾動時，中沒有與接觸的部位都落到與接觸。實際中常用開啟操作來消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的亮細(xì)節(jié)，而保持圖像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不受影響。具體就是第一步的腐蝕去除了小的亮細(xì)節(jié)并同時減弱了圖像亮度，第二步的膨脹增加了圖像亮度但又不重新引入前面去除的細(xì)節(jié)。圖216給出了一個原始灰度圖像為圖215中的原始圖像的開啟和閉合運(yùn)算的結(jié)果，其中用的結(jié)構(gòu)元素為的菱形結(jié)構(gòu)元素?？梢钥闯鲩_啟運(yùn)算后的圖像消除了原始圖像中的亮點，整體圖案顯得比原始圖像暗，因為原始圖像中的亮細(xì)節(jié)往往讓人主觀感覺圖像偏亮，所以開啟運(yùn)算后圖像讓人感覺就暗了很多，而圖像整體灰度值卻沒有受到很大影響，因為開啟 （1）灰度開運(yùn)算 （2）灰度閉運(yùn)算圖216 灰度圖像開閉運(yùn)算仿真結(jié)果運(yùn)算的第二步會恢復(fù)一些圖像亮度，只是使得整個圖像沒有了亮細(xì)節(jié)；閉合運(yùn)算后的圖像消除了原始圖像中的暗點，整體圖案由于沒有了這些原來的暗區(qū)域，看起來會比較明亮清楚一些，但人眼往往對暗的細(xì)節(jié)不敏感，所以主觀感覺不是很明顯，但圖像整體的灰度值卻沒有受到很大影響，因為閉合運(yùn)算的第二步腐蝕還會降低一些灰度，只是使得整個圖像沒有了暗細(xì)節(jié)。 灰度形態(tài)學(xué)開運(yùn)算和閉運(yùn)算性質(zhì)灰度膨脹、腐蝕、開啟和閉合四種基本運(yùn)算的一些性質(zhì)和二值圖像形態(tài)學(xué)運(yùn)算性質(zhì)相比，有許多相同之處。二值形態(tài)學(xué)中的一些基本運(yùn)算性質(zhì)，在灰度形態(tài)學(xué)中依然成立，只是二值形態(tài)學(xué)是在集合的層次上，在灰度形態(tài)學(xué)中一律以函數(shù)代替；二值形態(tài)學(xué)用的是集合的交、并和補(bǔ)等集合關(guān)系的運(yùn)算，在灰度形態(tài)學(xué)中就以函數(shù)的相加、減并取結(jié)果的極大值或極小值的關(guān)系的運(yùn)算代替；例如開運(yùn)算的平移不變性可表示為式（254）的形式。 （254）同樣，開運(yùn)算的遞增性、非擴(kuò)展性和冪等性可表示為式（255）和式（256）的形式。 （255） （256） 軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運(yùn)算中，注入了 “順序統(tǒng)計” 。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可進(jìn)一步分為灰度軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和二值軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。在灰度軟形態(tài)學(xué)的膨脹與腐蝕運(yùn)算中，圖像f的灰度值與傳統(tǒng)的形態(tài)學(xué)一樣，需要與結(jié)構(gòu)元素的灰度值結(jié)合起來。與結(jié)構(gòu)元素軟邊界對應(yīng)的處理結(jié)果和與結(jié)構(gòu)元素核心(重復(fù)K次)對應(yīng)的結(jié)果按升序或降序排列。該排列表中的第K個元素即為軟數(shù)學(xué)形態(tài)膨脹或腐蝕的結(jié)果。令表示重復(fù)K次，軟灰度結(jié)