【正文】 快，效果越明顯，但對于在噪聲影響下的圖像重建，OSEM算法的這一性質，使得圖像惡化的速度更快，程度也越明顯。 ARTⅡ(迭代重建)算法均方誤差k 無噪聲影響 有噪聲影響18個角度36個角度18個角度36個角度k=1500k=2000k=5000k=10000k=15000k=20000k 1600 1700 1800 1900 210018個角度 36個角度 k 2200 2300 24002500260018個角度 36個角度 無噪聲影響時，迭代重建算法18個投影角度和36個投影角度情況的重建圖像的均方誤差都隨著迭代次數(shù)的增加而減小，圖像質量越來越好，同時圖像重建質量也隨著投影角度的增加而更好。在有噪聲時，在一定迭代次數(shù)范圍內，圖像的均方誤差同樣會隨迭代次數(shù)的增加而減小，18個投影角度k=5時，重建圖像的均方誤差最小，；36個投影角度k=5時，重建圖像的均方誤差最小。我們可以看出OSEM算法和MLEM算法同樣迭代6次，但在無噪聲影響時，OSEM算法明顯比MLEM算法加速了圖像的收斂，而且投影角度的或子集數(shù)目增加都會使重建圖像的質量更高。該表中列出了迭代次數(shù)從k=1至k=10對應重建圖像的均方誤差。而以上結論恰又和已知的理論相符合，達到了降低噪聲，提高重建速度目的。四年的大學生活期間，信息工程系的各位老師不僅在學業(yè)上給我以精心指導，同時還在思想、生活上給我以無微不至的關懷，在此謹向信息工程系的所有老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意！我還要感謝那些和我一起度過四年大學生活的所有同學和朋友，四年的時間里我們互相學習，互相幫助，和他們一起，我度過了快樂而充實的大學生活。衷心感謝張權老師，張老師不厭其煩地幫助我解決設計中遇到的問題，糾正出現(xiàn)的錯誤，并為我每一步的前進指明方向，給予我莫大的鼓勵和支持。ARTⅡ(迭代重建)算法能夠比較有效地在低劑量照射環(huán)境下對被照射物體進行圖像重建，且有一定地抗噪聲性能。以上結論同樣能夠推廣到任意多個投影角度的圖像重建情況。同樣，該表中列出了迭代次數(shù)從k=1至k=6對應重建圖像的均方誤差。為了便于比較，該表中列出了迭代次數(shù)從k=1至k=10對應重建圖像的均方誤差。 ARTⅡ(迭代重建)算法的均方誤差、, 同時從本重建算法開始，k表示迭代次數(shù)，平行射束的數(shù)量為常數(shù)64。當投影角度數(shù)量為36時，則原始圖像、(d)、(e)(f)所示。當投影角度數(shù)量為18時，則原始圖像、(a)、(b)(c)所示。OSEM算法的理論和其在實際中的應用都已證明，無論投影數(shù)據(jù)被劃分為多少個子集，只要子集劃分個數(shù)與迭代次數(shù)的乘積確定，重建所需的時間也就一定。OSEM方法屬于一種“塊”迭代方法，在每一次迭代過程中將投影數(shù)據(jù)分成個子集，每一個子集對重建圖像各象素點值校正以后，重建圖像便被更新一次，所有子集運算一遍，稱為一次迭代過程。但統(tǒng)計重建算法所用的時間比前面兩種重建算法有大幅度地增加，這是該算法的缺點，在實際應用中應該重點加以改善。設平行射束數(shù)量為64條，迭代次數(shù)為10次。當投影角度數(shù)量為18時，(a)所示,。Gibbs 函數(shù)先驗知識分布需要確定Gibbs參數(shù)，常用的方法是通過大量的實驗驗證、校正靠人工分析選取一個效果最好的值。對于Gibbs先驗知識分布： () 是Gibbs參數(shù),決定了Gibbs prior對重建圖像的影響程度, 是正則化常數(shù), 為圖像的能量函數(shù), 是由鄰域內勢函數(shù)(為鄰域中兩像素值之差)相加得到： () 其中為權重因子，代表鄰域，和為鄰域中像素和像素的像素值。聯(lián)合式()、()、()和()，我們可以得到式()的似然函數(shù)： ()令,可以得到圖像矢量的估計值： () 最大后驗準則(MAP)重建算法最大似然期望最大(MLEM)，但MLEM 有兩點不足：一、一定迭代次數(shù)以后噪聲隨著迭代增多而增多。與每一個象素相對應的估計參數(shù)為，它與X射線在該處的衰減系數(shù)成正比；表示圖像矢量，其第個元素表示。最大似然估計就是求使似然函數(shù)最大化的估計值[18]。 最大似然準則(ML)重建算法EM（Expectation Maximization），被廣泛應用于研究不完全數(shù)據(jù)極大似然估計的一種方法。這樣才能使得模型正確的反映系統(tǒng)的統(tǒng)計學規(guī)律，合理的融合先驗知識，有效的提高圖像質量[17]。 統(tǒng)計重建方法原理重建圖像的過程其實就是一個求解的過程。(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*36有噪聲平行投影 無噪聲時的投影數(shù)據(jù)和有噪聲影響的投影數(shù)據(jù)(a) 迭代20000次圖像 (b) 迭代15000次圖像 (c) 迭代10000次圖像 (d) 迭代5000次圖像 (e) 迭代2000次圖像 (f) 迭代1500次圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，36個投影角度下各重建圖像4 統(tǒng)計重建及其計算機實現(xiàn) 統(tǒng)計重建方法概述由于醫(yī)用CT對掃描重建的速度和實時性的要求，目前都采用濾波反投影的方法利用硬件進行并行的重建。設平行射束數(shù)量為64條，當投影角度為18時，(a)(b)所示。 重建結果與分析。下一次則考慮下一條射線即號射線。顯然射線至多和個網(wǎng)格相交。首先計算一條射線與網(wǎng)格線交點坐標，根據(jù)射線截距取值不同為3種情況：(1) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點坐標為：， ()與水平網(wǎng)格線交點坐標為：； ()(2) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點坐標為：， ()與水平網(wǎng)格線交點坐標為：； ()(3) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點坐標為：,， ()與水平網(wǎng)格線交點坐標為：。所以可以用式()來表示系統(tǒng)的物理模型： ()其中表示系統(tǒng)的背景噪聲[13]。和都取決于基函數(shù)，并且可以定義的矩陣為系統(tǒng)矩陣。(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*18有噪聲平行投影(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18個投影角度條件下重建圖像(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*36有噪聲平行投影(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，36個投影角度條件下重建圖像從以上重建結果可以看出，此方法是一種快速的可以實時進行圖像重建的方法，重建速度較快。這里加入的噪聲是以投影數(shù)據(jù)矩陣為參數(shù)的泊松噪聲。(a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，投影角度為條件下重建圖像設平行射束數(shù)量為64條。該圖像為已經(jīng)過計算機采集所得的離散數(shù)字圖像，大小為。于是，式()變?yōu)? ()為便于計算機實現(xiàn)，避免負的地址值，可將式()變換為： ()然后進行射束計算與內插步驟。首先進行卷積計算步驟。后者可說是的一次近似。 離散表示SL濾波函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)： ()相應的沖激響應： ()相應的采樣序列：仍取采樣間隔，對進行均勻采樣，即以代入式()，得： ()。眾所周知，在物體尺寸有限的情況下，投影數(shù)據(jù)的空間分布是有限的，因而嚴格說來，其頻帶是無限的。后者恰是通過定點的射線方程。即：2D傅里葉變換o1D傅里葉變換oo 闡明投影定理(中心切片定理)用圖圖像在方向投影的1D傅里葉變換給出了的2D傅里葉變換 的一個切片，切片位置通過原點且與軸相交成角 ()式中表示一維傅里葉變換。顯然，測得與，即可知道。在其對面置一檢測器()。同時將不同重建算法進行比較，探討各種方法的優(yōu)缺點。目前常見的低劑量CT圖像重建方法主要有兩類：一類是利用線性或非線性濾波器直接對投影數(shù)據(jù)或圖像數(shù)據(jù)進行濾波處理，從而抑制噪聲的影響[4,5,6]。CT的問世在放射學界引起了爆炸性的轟動，被認為是繼倫琴發(fā)現(xiàn)X射線后，工程界對放射學診斷的又一劃時代的貢獻。三天后，他的夫人偶然看到了自己手的X射線造影，從此用X射線進行醫(yī)學診斷的放射學走上了歷史舞臺。隨著科學技術的進步，特別是計算機技術的發(fā)展，圖像重建問題重新引起了人們的興趣，相繼有不少學者進行了卓有成效的創(chuàng)造性研究。然而由該算法本身的非局部性特征，使得要重建物體的某一斷面必須對物體進行180度全方位掃描以采集完整的數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)質量高的情況下才能重建出準確清晰的圖像，如果得到的數(shù)據(jù)不完整，重建的效果將急劇惡化。[8]提出了一種投影域的自適應卷積濾波方法，這些方法的不足是沒有或僅僅較少地考慮具體噪聲的統(tǒng)計分布信息，因而重建出的圖像質量不高，還難以在具體的臨床診斷中應用。第2章：闡述濾波反投影重建算法的原理和并利用計算機實現(xiàn)其算法。然后旋轉一角度 (例如)再同步平移步，取得新角度下的另一組數(shù)據(jù)。這就是從投影重建圖像的大致概念。 ()根據(jù)投影定理，投影圖像重建的問題，原則上可按如下流程求解：采集不同視角下的投影(理論上應為范圍內連續(xù)無窮多個投影)→求出各投影的1D傅里葉變換(即圖像2D傅里葉變換的各切片，理論上是連續(xù)的無窮多片)→匯集成圖像的2D傅里葉變換→求反變換得重建圖像。本論文只討論平行射束情下，濾波反投影算法的計算機實現(xiàn)。再者，有限的X射線源尺寸，也提供了附加的低通濾波效應?？梢姡匾氖乔蟪鰹V波后的投影 ()式中,。 經(jīng)線性內插后的特性 濾波反投影重建算法的計算機實現(xiàn)步驟記平移采樣點數(shù)為，例如取取平移采樣間隔，為旋轉坐標。濾波函數(shù)為,則濾波后的投影的求解變?yōu)椋? ()濾波函數(shù)總是對稱的，理論上為無限長，實際上只能取有限長，例如取511點，即在中點兩邊各取255點。對于空問某點，在某一視角必有一個隨之而定，即 ()由于是空間中任一點像素坐標，故按式() )算得的并不正好為的整數(shù)倍，它可能位于與之間，即： ()這就需要進行內插。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。, 。其中無噪聲時原始圖像的投影數(shù)據(jù)，有噪聲的投影數(shù)據(jù)，及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。所以必須要將圖像近似地利用有限個參數(shù)來表示，這樣才能利用有限的已知來求解這有限個未知的參數(shù)來得到重建圖像。物理模型將直接影響到重建過程的計算速度和圖像的質量。將射線看成寬為，間隔為的平行射束。顯然射線與網(wǎng)格線最多有個交點，即數(shù)組、只需開辟的空間。但目前ART尚存在計算量大，重建速度慢，無法用硬件實現(xiàn)等缺點，限制了其進一步應用[16]。但也有某些形式的ART并不對應哪個最優(yōu)準則，然而行之有效，本論文中討論ARTⅡ就屬于這一類。當投影角度數(shù)量為18時，原始圖像、(a)(b)所示，(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。當投影角度數(shù)量為36時，(a)(b)所示，(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。統(tǒng)計重建算法對噪聲的魯棒性和對數(shù)據(jù)的完備要求更優(yōu)，因此成為了現(xiàn)階段重建方法的研究方向。然后就是利用已有的關系確定行之有效的求解方法。 優(yōu)化準則 統(tǒng)計重建問題的“病態(tài)性”使只能在一定的優(yōu)化準則下考慮問題的求解。另一方面，EM算法是從統(tǒng)計角度入手，是一種參數(shù)估計方法，因而以概率的形式來討論由此重建的圖像的誤差問題。這里完備數(shù)據(jù)空間定義為其中表示從第個單元發(fā)射而被第個探測器探測到的光子數(shù)。這里有,。最大后驗概率重建算法(maximum a posteriori, MAP)根據(jù)圖像的先驗知識分布則可以有效的抑制噪聲。上式和MLEM迭代公式相似，在分母上多一項。 MAP算法的計算機實現(xiàn) 利用MAP算法重建過程如下：(1) 確定物理模型，計算整個系統(tǒng)的投影矩陣；(2)