【正文】 在做畢業(yè)設計的這些日子里，桂老師一直對我十分關心，給我提供了優(yōu)越的科研環(huán)境。在有噪聲作用時，因為OSEM算法與MLEM算法所采用的思想相同，則OSEM算法重建結果也必然存在最小均方誤差()，而且最小均方誤差值與MLEM算法相應情況下的最小均方誤差在超過取得最小均方誤差值相當，可見兩種算法對噪聲的抑制作用相同。，其中曲線(1)表示18個投影角度下的擬合結果，曲線(2)表示36個投影角度下的擬合結果，從圖中我們能清楚地看到，迭代重建算法來重建有噪聲影響的圖像時，在一定迭代次數(shù)范圍內，圖像的均方誤差會隨迭代次數(shù)的增加而減小，重建圖像的效果越來越好，該算法能在一定程度上抑制噪聲；而超過這個范圍后，圖像的均方誤差將隨迭代次數(shù)的增加而呈現(xiàn)增大的趨勢，相對應的重建圖像效果將惡化，但是投影角度的增加會使惡化情況減輕。設平行射束數(shù)量為64條，所得投影數(shù)據(jù)的分別劃分為2個子集，3個子集和6個子集，分別迭代6次。每隔個角度選取投影，這樣就將投影數(shù)據(jù)劃分為個子集，無重疊子集作如下劃分：，…。、。同樣，我們將在64條平行射束條件下，18個投影角度和36個投影角度兩種情況的圖像重建結果。MAP重建算法是一種貝葉斯重建(Bayesian Reconstruction, BR)算法,該類算法既考慮了投影數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性,又充分利用了源、射線的先驗知識分布，多次迭代后仍可以很好的抑制噪聲而且可以克服ML重建算法收斂慢的缺點。最大化的過程要比直接最大化似然函數(shù)容易。ML準則僅能在一定迭代次數(shù)范圍內起到抵抗噪聲的作用，然而隨著迭代深入，該準則不能有效的抑制噪聲，圖像質量將變差。需要進一步的優(yōu)化和簡化算法，以提高重建的速度，而目前的研究重點也集中于這方面。當投影角度數(shù)量為36時，原始圖像、(a) (b)所示，(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。先假設一初始圖像，然后根據(jù)求一次近似圖像，再根據(jù)求二次近似圖像，如此繼續(xù)，直到滿足預定條件而后止。系統(tǒng)矩陣中的各個(表示第個像素對第條射線投影的貢獻)的取值遵循如下規(guī)則：，號射線通過號像素內任一點 ，其他 ()n*nn…21 射線與網(wǎng)格相交關系示意圖，以圖像中心為坐標原點，水平和豎直方向為坐標軸建立二維直角坐標系。我們可以利用級數(shù)展開的數(shù)學方法將連續(xù)的近似表示為有限個參數(shù)和基函數(shù) (其中為基的個數(shù)，為索引值)的加權求和的形式。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。 ()如以表示，有： 整數(shù)+小數(shù) ()式中同圖像像素中的，為平行射束的數(shù)目，即為所求的射束編號，相應于的位于第號射束與號射束之間，與號射束相距。指定圖像畫面的像素為。由于投影數(shù)據(jù)在空間上的天然離散性，有： ()式中為射束平移的歩距，為整數(shù)，為某一固定的視角，表示序列。 濾波反投影重建算法 ，待建圖像為，它的2D傅里葉變換為。 投射X射線的發(fā)射源與檢測器布置示意 平移/旋轉掃描方式取得上述數(shù)據(jù)后如何求得物體中所關心的那個斷面的圖像?對此，我們有如下陳述：先假定物體是均勻的，物體對于X射線的線性衰減系數(shù)為，則強度為的X射線行進距離后，強度變?yōu)?，它們之間存在關系： ()或 ()若物體是分段均勻的，各段的線性衰減系數(shù)分別為、…, 相應的長度為、…()，則下式成立： () 入射X射線強度經過線性衰減系數(shù)為、…的介質后變?yōu)楦话愕?，物體在，平面內都不均勻，即衰減系數(shù)在沿某一路徑的方向上的衰減為： ()線積分為射線投影。1994年，Hudson和Larkin提出的OS加速方法，OS加速解決了EM類算法收斂速度慢的缺點，大大提高了統(tǒng)計重建的實用性，隨后圍繞算法加速和收斂性的研究迅速展開[10]。1972年，英國EMI公司中央研究所工程師G..，研制成功了診斷頭顱用的第一臺電子計算機X射線斷層攝影裝置。自此之后，人們才真正實現(xiàn)了人體斷層成像。另外，基于先驗知識的貝葉斯最大后驗估計(MAP：Maximum A Posterior)方法，也成為近年來低劑量CT重建算法中的一個研究熱點。若未指定具體路徑，只說明沿某一方向，則有，稱為投影。根據(jù)中心切片定理，可通過在不同視角下的投影的1D 傅里葉變換求得，即： 待建圖像 () 濾波反投影算法所用坐標系統(tǒng)求式()的第二個積分： ()上式可寫成空域變量為的傅里葉反變換式： () 式中， ()而。與此相應，濾波函數(shù)也取離散形式： ()常用的濾波函數(shù)有SL函數(shù)和RL函數(shù)。像素位置記為，為像素在方向的坐標，為像素在方向的坐標。最后進行反投影重建步驟。, 。可以寫成如下的表達式： ()當將圖像表示成式()的形式以后可以將其代入正向投影的表達式的離散形式，如式()所示： ()其中表示第個基函數(shù)對第個探測器的值的貢獻；為反映不同系統(tǒng)投影方式的函數(shù)。射線方程用斜截式表示為，其中斜率，為射線束的投影角，為截距。在根據(jù)求時需加一校正值。、。以下列舉了統(tǒng)計方法重建的優(yōu)缺點：優(yōu)點：(1) 可以利用與物體相關的約束條件；(2) 可以利用精確的物理模型來減少偏差，提高圖像的精確性；(3) 可以利用適當?shù)慕y(tǒng)計模型來降低圖像的噪聲；(4) 可以利用其他的與特定系統(tǒng)相關的邊界條件；(5) 可在不規(guī)則采樣和數(shù)據(jù)缺失情況下重建出圖像，不要求標準幾何模型。MAP準則通過引入先驗知識彌補了ML的缺點，降低了重建問題的“病態(tài)性”。其代理函數(shù)是通過求似然函數(shù)在完備數(shù)據(jù)空間上的條件期望得到。MAP重建算法相當于在ML類算法的基礎上多了一項約束即先驗知識分布，所以能夠更準確地描述投影數(shù)據(jù)的物理模型，得到質量更好的重建圖像。這里對MAP算法重建僅在有噪聲影響下的情況下進行討論，以對比有噪聲影響下的MLEM算法重建。(a) β= (b) β=(c) β= (d) β=1時重建圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18個投影角度下MAP算法各重建圖像(a) β= (b) β=(c) β= (d) β=1時重建圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，36個投影角度下各重建圖像由以上重建圖像可以看出，統(tǒng)計重建算法可以很好地適用于射束數(shù)量和投影角度較少這一情形下的圖像重建，對噪聲的抑制作用也十分明顯。間隔子集可以劃分如下的子集：，…，或者積累分塊劃分為，…, 。當投影角度數(shù)量為18時，則原始圖像、(a)、(b)(c)所示。同時我們可以推斷，以上結論也可以適用于任意多個投影角度下的圖像重建結果。當大于這個取得最小均方誤差的k值之后，圖像的重建質量同樣會惡化，而且該算法的圖像質量惡化速度將更快，程度更深()，但是投影角度的增加，或子集數(shù)目的減少，都會令圖像惡化的速度減緩。桂老師學識淵博，治學嚴謹，工作兢兢業(yè)業(yè)，生活中平易近人，品格高尚，這不但使我在學術上受益匪淺，更讓我懂得了很多做人的道理。從論文的選題到定稿，桂老師給予了很多寶貴的意見和建議。其中，曲線(1)表示18個投影角度子集數(shù)目為6時的擬合結果，曲線(2)表示18個投影角度子集數(shù)目為3時的擬合結果，曲線(3)表示18個投影角度子集數(shù)目為2時的擬合結果；曲線(4)表示36個投影角度子集數(shù)目為6時的擬合結果，曲線(5)表示36個投影角度子集數(shù)目為3時的擬合結果，曲線(6)表示36個投影角度子集數(shù)目為2時的擬合結果。 k取不同值時ARTⅡ(迭代重建)算法均方誤差 從上表中得到，兩種投影角度情況下的均方誤差都在k=2200處取到最小值，即在k=2200附近會取到這兩種情況下的迭代重建算法(ARTⅡ)的最小均方誤差。(a) 18角度2子集時 (b) 18角度3子集時 (c) 18角度6子集時重建圖像 重建圖像 重建圖像(d) 36角度2子集時 (e) 36角度3子集時 (f) 36角度6子集時重建圖像 重建圖像 重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18和36個投影角度下各重建圖像有噪聲影響時：這里所加噪聲同前各重建算法。本論文對投影數(shù)據(jù)一投影角度劃分子集。MAP重建算法=、=、==(a)、(b)、(c)(d)所示。 重建結果與分析。MAP重建算法在重建過程中施加一定的先驗約束來解決這一問題，即加入一項對圖像平滑度（或者圖像邊緣特性、像素非負性約束等）的估計利用該估計對圖像中的噪聲施加一定的約束,以達到抑制噪聲、平滑圖像或者加強圖像邊緣等的目的。MLEM算法的迭代過程分E步和M步，E步在空間上對似然函數(shù)求條件期望，M步通過最大化對圖像向量進行估計。最常用的似然函數(shù)最大似然準則(maximum likelihood，ML)和最大后驗概率準則(，MAP)，也稱為“罰”函數(shù)似然準則(penalized—likelihood，PL)。但由于其計算的復雜性使得較慢的速度和占用大量的內存不能滿足CT對實時性的要求。、。該算法的任務是根據(jù)的得到的和已知的矩陣求得原圖像。為由條射線投影得到的投影數(shù)據(jù)，且由式()可得(為原圖像，)，成為第號射線的射線和。另外由于現(xiàn)有的圖像顯示方式也都是基于像素的方法，需要將連續(xù)的圖像離散化采樣為有限個象素點上的值，這也是對原圖像的近似表示。當投影角度范圍為，每隔取一組投影數(shù)據(jù)，共36個投影角度時。這里直接給出射束計算與內插的結果，推導過程從略。記角度方向采樣點數(shù)(投影數(shù))為，例如取，角度增量為，則有。因此，不管怎樣，只要采樣間隔足夠小，完全有理由認為高頻分量很小，投影數(shù)據(jù)的頻帶限制在由折疊頻率所規(guī)定的區(qū)間內，即。具體實現(xiàn)時，由于求反變換時的數(shù)學處理方法不同，又分為濾波反投影重建算法和直接傅里葉變換法，我們只研究CT裝置中常用的濾波反投影重建算法。如此重復，直至旋轉次作旋轉取得組數(shù)據(jù)(即個投影)后為止。而對于第二類方法，上個世紀80年代初，Shepp和Lange等人將期望最大化(EM)算法應用于統(tǒng)計[9]。1963年。這一新式的射線顯像技術在1974年被正式命名為Computed Tomography(計算機斷層成像技術)，簡稱CT，即通過對物體進行不同角度下的射線投影測量而獲取物體橫截面信息的成像技術。 本文研究的主要內容本論文將從無噪聲和有噪聲兩種情況下的低劑量XCT圖像重建入手加以深入，力求做到在圖像重建質量得到優(yōu)化的前提下，重建算法的速度有進一步提高。它是某一角度下所有平行射線引起的射線投影的集合。因此，式()和式()的結果代表的物理意義是：投影經過傳遞函數(shù)為的濾波器濾波后得到的修正后的投影在處取值。RL函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)： ()式中，且 ()相應的沖激響應： ()相應的采樣序列：這里的采樣間隔為，對應的最高不是真空間頻率為，以代入式(),得到的離散形式如下： ，=偶數(shù) ()，=奇數(shù) 。的最小值均為，即左下角的像素坐標為 。直接給出反投影法重建任意點處的圖像最終結果為： ()再記