【正文】 角度下各重建圖像 有噪聲影響本文加入的噪聲同樣是以投影數(shù)據(jù)矩陣為參數(shù)的泊松噪聲。當投影角度數(shù)量為18時，原始圖像、(a)(b)所示，(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。 ARTⅡ算法的計算機實現(xiàn)步驟利用ARTⅡ算法重建過程如下：(1) 確定物理模型，計算整個系統(tǒng)的投影矩陣；(2) 設定迭代次數(shù)，初始化圖像矢量，對每一個圖像象素利用式()進行校正，完成一次迭代過程；(3) 重復步驟(2)進行下一次的迭代過程，對圖像矢量再次校正；(4) 判斷是否達到設定的迭代次數(shù)，若達到則停止迭代，否則進入步驟2，進行下一次迭代。但也有某些形式的ART并不對應哪個最優(yōu)準則，然而行之有效，本論文中討論ARTⅡ就屬于這一類。只考慮一條射線(例如號射線)的射線投影響，所修正的像素值也限于號射線經過的那些像素。但目前ART尚存在計算量大，重建速度慢，無法用硬件實現(xiàn)等缺點，限制了其進一步應用[16]。編號以數(shù)組形式保存。顯然射線與網格線最多有個交點，即數(shù)組、只需開辟的空間。為方便討論，考慮射線斜率的情況，對于和的情況，可利用對稱的性質得出。將射線看成寬為，間隔為的平行射束。從投影和反投影的角度來看，系統(tǒng)矩陣正好反映了投影值和成像截面之間的關系，也就是成像系統(tǒng)的模型，并且是表示投影方式的函數(shù)。物理模型將直接影響到重建過程的計算速度和圖像的質量。通過式()的變換可以看出已經將連續(xù)的無限模型變成了有限的離散模型。所以必須要將圖像近似地利用有限個參數(shù)來表示，這樣才能利用有限的已知來求解這有限個未知的參數(shù)來得到重建圖像。, 。其中無噪聲時原始圖像的投影數(shù)據(jù)，有噪聲的投影數(shù)據(jù)，及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。(a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18個投影角度條件下重建圖像 (a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，36個投影角度條件下重建圖像 有噪聲影響 為便于與以后的算法進行比較，我們直接討論有噪聲影響的18個投影角度和36個投影角度條件下的圖像重建。, 。, 。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。直接給出反投影法重建任意點處的圖像最終結果為： ()再記 ()注意到：則可用下列遞推公式用來計算式() [11,12]： ()其中 重建結果與分析為了對算法進一步的此驗證，,對該原始圖像進行投影，利用所得的投影數(shù)據(jù)進行圖像重建。對于空問某點，在某一視角必有一個隨之而定，即 ()由于是空間中任一點像素坐標，故按式() )算得的并不正好為的整數(shù)倍，它可能位于與之間，即： ()這就需要進行內插?？砂匆韵路椒〝U充：在間補以，在間補以。濾波函數(shù)為,則濾波后的投影的求解變?yōu)椋? ()濾波函數(shù)總是對稱的，理論上為無限長，實際上只能取有限長，例如取511點，即在中點兩邊各取255點。的最小值均為，即左下角的像素坐標為 。 經線性內插后的特性 濾波反投影重建算法的計算機實現(xiàn)步驟記平移采樣點數(shù)為，例如取取平移采樣間隔，為旋轉坐標。對于緊鄰內插，其內插函數(shù)為： () 對于線性內插，其內插函數(shù)為： () 于是對于RL濾波函數(shù)，如將的離散表示進行線性內插，則得另一連續(xù)的空域函數(shù)?？梢姡匾氖乔蟪鰹V波后的投影 ()式中,。RL函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)： ()式中，且 ()相應的沖激響應： ()相應的采樣序列：這里的采樣間隔為，對應的最高不是真空間頻率為，以代入式(),得到的離散形式如下： ，=偶數(shù) ()，=奇數(shù) 。再者，有限的X射線源尺寸，也提供了附加的低通濾波效應。我們的目的是：選取這樣的濾波函數(shù)，使它既可實現(xiàn)，又有足夠的精度。本論文只討論平行射束情下，濾波反投影算法的計算機實現(xiàn)。因此，式()和式()的結果代表的物理意義是：投影經過傳遞函數(shù)為的濾波器濾波后得到的修正后的投影在處取值。 ()根據(jù)投影定理，投影圖像重建的問題，原則上可按如下流程求解：采集不同視角下的投影(理論上應為范圍內連續(xù)無窮多個投影)→求出各投影的1D傅里葉變換(即圖像2D傅里葉變換的各切片，理論上是連續(xù)的無窮多片)→匯集成圖像的2D傅里葉變換→求反變換得重建圖像。內容如下：某一圖像在視角()時投影的1D傅里葉變換給出的2D傅里葉變換的一個切片，切片與軸相交成角，且通過坐標原點。這就是從投影重建圖像的大致概念。它是某一角度下所有平行射線引起的射線投影的集合。然后旋轉一角度 (例如)再同步平移步，取得新角度下的另一組數(shù)據(jù)。2 平行射束濾波反投影重建算法 CT技術的基本思想取一理想的X射線源，它發(fā)出極細的筆束X射線。第2章：闡述濾波反投影重建算法的原理和并利用計算機實現(xiàn)其算法。 本文研究的主要內容本論文將從無噪聲和有噪聲兩種情況下的低劑量XCT圖像重建入手加以深入，力求做到在圖像重建質量得到優(yōu)化的前提下，重建算法的速度有進一步提高。[8]提出了一種投影域的自適應卷積濾波方法，這些方法的不足是沒有或僅僅較少地考慮具體噪聲的統(tǒng)計分布信息，因而重建出的圖像質量不高，還難以在具體的臨床診斷中應用。因此，研究低劑量X射線照射情況下的CT圖像重建算法具有十分重要的實用價值。然而由該算法本身的非局部性特征，使得要重建物體的某一斷面必須對物體進行180度全方位掃描以采集完整的數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)質量高的情況下才能重建出準確清晰的圖像，如果得到的數(shù)據(jù)不完整，重建的效果將急劇惡化。這一新式的射線顯像技術在1974年被正式命名為Computed Tomography(計算機斷層成像技術)，簡稱CT，即通過對物體進行不同角度下的射線投影測量而獲取物體橫截面信息的成像技術。隨著科學技術的進步，特別是計算機技術的發(fā)展，圖像重建問題重新引起了人們的興趣，相繼有不少學者進行了卓有成效的創(chuàng)造性研究。1895年，德國人倫琴發(fā)現(xiàn)了X射線。三天后，他的夫人偶然看到了自己手的X射線造影，從此用X射線進行醫(yī)學診斷的放射學走上了歷史舞臺。1963年。CT的問世在放射學界引起了爆炸性的轟動，被認為是繼倫琴發(fā)現(xiàn)X射線后，工程界對放射學診斷的又一劃時代的貢獻。為了獲得更多、更清晰的醫(yī)學圖像信息，以往都會采用加大X線劑量的方法。目前常見的低劑量CT圖像重建方法主要有兩類：一類是利用線性或非線性濾波器直接對投影數(shù)據(jù)或圖像數(shù)據(jù)進行濾波處理，從而抑制噪聲的影響[4,5,6]。而對于第二類方法，上個世紀80年代初，Shepp和Lange等人將期望最大化(EM)算法應用于統(tǒng)計[9]。同時將不同重建算法進行比較，探討各種方法的優(yōu)缺點。第3章：闡述迭代重建算法的原理和并利用計算機并實現(xiàn)其算法。在其對面置一檢測器()。如此重復，直至旋轉次作旋轉取得組數(shù)據(jù)(即個投影)后為止。顯然，測得與，即可知道。這一圖像當然是相應掃描平面的物體斷層的圖像。即：2D傅里葉變換o1D傅里葉變換oo 闡明投影定理(中心切片定理)用圖圖像在方向投影的1D傅里葉變換給出了的2D傅里葉變換 的一個切片，切片位置通過原點且與軸相交成角 ()式中表示一維傅里葉變換。具體實現(xiàn)時，由于求反變換時的數(shù)學處理方法不同，又分為濾波反投影重建算法和直接傅里葉變換法，我們只研究CT裝置中常用的濾波反投影重建算法。后者恰是通過定點的射線方程。 濾波函數(shù)由式()和式()可知，需先把投影作一維濾波。眾所周知，在物體尺寸有限的情況下，投影數(shù)據(jù)的空間分布是有限的，因而嚴格說來，其頻帶是無限的。因此，不管怎樣，只要采樣間隔足夠小，完全有理由認為高頻分量很小，投影數(shù)據(jù)的頻帶限制在由折疊頻率所規(guī)定的區(qū)間內，即。 離散表示SL濾波函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)： ()相應的沖激響應： ()相應的采樣序列：仍取采樣間隔，對進行均勻采樣，即以代入式()，得： ()。一般，為一整數(shù)；故。后者可說是的一次近似。記角度方向采樣點數(shù)(投影數(shù))為，例如取，角度增量為，則有。首先進行卷積計算步驟。換言之，+255間各點上取值。于是，式()變?yōu)? ()為便于計算機實現(xiàn)，避免負的地址值，可將式()變換為： ()然后進行射束計算與內插步驟。這里直接給出射束計算與內插的結果，推導過程從略。該圖像為已經過計算機采集所得的離散數(shù)字圖像，大小為。, 。(a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，投影角度為條件下重建圖像設平行射束數(shù)量為64條。當投影角度范圍為，每隔取一組投影數(shù)據(jù)，共36個投影角度時。這里加入的噪聲是以投影數(shù)據(jù)矩陣為參數(shù)的泊松噪聲。, 。(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*18有噪聲平行投影(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18個投影角度條件下重建圖像(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*36有噪聲平行投影(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，36個投影角度條件下重建圖像從以上重建結果可以看出，此方法是一種快速的可以實時進行圖像重建的方法，重建速度較快。另外由于現(xiàn)有的圖像顯示方式也都是基于像素的方法，需要將連續(xù)的圖像離散化采樣為有限個象素點上的值，這也是對原圖像的近似表示。和都取決于基函數(shù)，并且可以定義的矩陣為系統(tǒng)矩陣。過于復雜和精確的模型將導致巨大的計算量，可能使得重建時間增加幾倍至幾十倍，而過于簡單的模型又可能由于過度的近似導致圖像不準確，降低空間分辨率和存在偽影等現(xiàn)象。所以可以用式()來表示系統(tǒng)的物理模型： ()其中表示系統(tǒng)的背景噪聲[13]。為由條射線投影得到的投影數(shù)據(jù)，且由式()可得(為原圖像，)，成為第號射線的射線和。首先計算一條射線與網格線交點坐標，根據(jù)射線截距取值不同為3種情況：(1) 若，射線與垂直網格線交點坐標為：， ()與水平網格線交點坐標為：； ()(2) 若，射線與垂直網格線交點坐標為：， ()與水平網格線交點坐標為：； ()(3) 若，射線與垂直網格線交點坐標為：,， ()與水平網格線交點坐標為：。 再進行與射線相交網格編號的求解與存儲。顯然射線至多和個網格相交。該算法的任務是根據(jù)的得到的和已知的矩陣求得原圖像。下一次則考慮下一條射線即號射線。 ARTⅡ(迭代重建)算法的計算機實現(xiàn) ARTⅡ算法對于圖像重建這一具體情況，ARTⅡ滿足的方程式不是等式，而是滿足線性不等式 ()上式可寫成 。 重建結果與分析。、。設平行射束數(shù)量為64條，當投影角度為18時，(a)(b)所示。、。(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b)