【正文】 角度下各重建圖像 有噪聲影響本文加入的噪聲同樣是以投影數(shù)據(jù)矩陣為參數(shù)的泊松噪聲。當(dāng)投影角度數(shù)量為18時(shí)，原始圖像、(a)(b)所示，(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。 ARTⅡ算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)步驟利用ARTⅡ算法重建過程如下：(1) 確定物理模型，計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)的投影矩陣；(2) 設(shè)定迭代次數(shù)，初始化圖像矢量，對(duì)每一個(gè)圖像象素利用式()進(jìn)行校正，完成一次迭代過程；(3) 重復(fù)步驟(2)進(jìn)行下一次的迭代過程，對(duì)圖像矢量再次校正；(4) 判斷是否達(dá)到設(shè)定的迭代次數(shù)，若達(dá)到則停止迭代，否則進(jìn)入步驟2，進(jìn)行下一次迭代。但也有某些形式的ART并不對(duì)應(yīng)哪個(gè)最優(yōu)準(zhǔn)則，然而行之有效，本論文中討論ARTⅡ就屬于這一類。只考慮一條射線(例如號(hào)射線)的射線投影響，所修正的像素值也限于號(hào)射線經(jīng)過的那些像素。但目前ART尚存在計(jì)算量大，重建速度慢，無法用硬件實(shí)現(xiàn)等缺點(diǎn)，限制了其進(jìn)一步應(yīng)用[16]。編號(hào)以數(shù)組形式保存。顯然射線與網(wǎng)格線最多有個(gè)交點(diǎn)，即數(shù)組、只需開辟的空間。為方便討論，考慮射線斜率的情況，對(duì)于和的情況，可利用對(duì)稱的性質(zhì)得出。將射線看成寬為，間隔為的平行射束。從投影和反投影的角度來看，系統(tǒng)矩陣正好反映了投影值和成像截面之間的關(guān)系，也就是成像系統(tǒng)的模型，并且是表示投影方式的函數(shù)。物理模型將直接影響到重建過程的計(jì)算速度和圖像的質(zhì)量。通過式()的變換可以看出已經(jīng)將連續(xù)的無限模型變成了有限的離散模型。所以必須要將圖像近似地利用有限個(gè)參數(shù)來表示，這樣才能利用有限的已知來求解這有限個(gè)未知的參數(shù)來得到重建圖像。, 。其中無噪聲時(shí)原始圖像的投影數(shù)據(jù)，有噪聲的投影數(shù)據(jù)，及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。(a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時(shí)，平行射束數(shù)量為64條，18個(gè)投影角度條件下重建圖像 (a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時(shí)，平行射束數(shù)量為64條，36個(gè)投影角度條件下重建圖像 有噪聲影響 為便于與以后的算法進(jìn)行比較，我們直接討論有噪聲影響的18個(gè)投影角度和36個(gè)投影角度條件下的圖像重建。, 。, 。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。直接給出反投影法重建任意點(diǎn)處的圖像最終結(jié)果為： ()再記 ()注意到：則可用下列遞推公式用來計(jì)算式() [11,12]： ()其中 重建結(jié)果與分析為了對(duì)算法進(jìn)一步的此驗(yàn)證，,對(duì)該原始圖像進(jìn)行投影，利用所得的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像重建。對(duì)于空問某點(diǎn)，在某一視角必有一個(gè)隨之而定，即 ()由于是空間中任一點(diǎn)像素坐標(biāo)，故按式() )算得的并不正好為的整數(shù)倍，它可能位于與之間，即： ()這就需要進(jìn)行內(nèi)插?？砂匆韵路椒〝U(kuò)充：在間補(bǔ)以，在間補(bǔ)以。濾波函數(shù)為,則濾波后的投影的求解變?yōu)椋? ()濾波函數(shù)總是對(duì)稱的，理論上為無限長(zhǎng)，實(shí)際上只能取有限長(zhǎng)，例如取511點(diǎn)，即在中點(diǎn)兩邊各取255點(diǎn)。的最小值均為，即左下角的像素坐標(biāo)為 。 經(jīng)線性內(nèi)插后的特性 濾波反投影重建算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)步驟記平移采樣點(diǎn)數(shù)為，例如取取平移采樣間隔，為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)。對(duì)于緊鄰內(nèi)插，其內(nèi)插函數(shù)為： () 對(duì)于線性內(nèi)插，其內(nèi)插函數(shù)為： () 于是對(duì)于RL濾波函數(shù)，如將的離散表示進(jìn)行線性內(nèi)插，則得另一連續(xù)的空域函數(shù)。可見，重要的是求出濾波后的投影 ()式中,。RL函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)： ()式中，且 ()相應(yīng)的沖激響應(yīng)： ()相應(yīng)的采樣序列：這里的采樣間隔為，對(duì)應(yīng)的最高不是真空間頻率為，以代入式(),得到的離散形式如下： ，=偶數(shù) ()，=奇數(shù) 。再者，有限的X射線源尺寸，也提供了附加的低通濾波效應(yīng)。我們的目的是：選取這樣的濾波函數(shù)，使它既可實(shí)現(xiàn)，又有足夠的精度。本論文只討論平行射束情下，濾波反投影算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。因此，式()和式()的結(jié)果代表的物理意義是：投影經(jīng)過傳遞函數(shù)為的濾波器濾波后得到的修正后的投影在處取值。 ()根據(jù)投影定理，投影圖像重建的問題，原則上可按如下流程求解：采集不同視角下的投影(理論上應(yīng)為范圍內(nèi)連續(xù)無窮多個(gè)投影)→求出各投影的1D傅里葉變換(即圖像2D傅里葉變換的各切片，理論上是連續(xù)的無窮多片)→匯集成圖像的2D傅里葉變換→求反變換得重建圖像。內(nèi)容如下：某一圖像在視角()時(shí)投影的1D傅里葉變換給出的2D傅里葉變換的一個(gè)切片，切片與軸相交成角，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)。這就是從投影重建圖像的大致概念。它是某一角度下所有平行射線引起的射線投影的集合。然后旋轉(zhuǎn)一角度 (例如)再同步平移步，取得新角度下的另一組數(shù)據(jù)。2 平行射束濾波反投影重建算法 CT技術(shù)的基本思想取一理想的X射線源，它發(fā)出極細(xì)的筆束X射線。第2章：闡述濾波反投影重建算法的原理和并利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)其算法。 本文研究的主要內(nèi)容本論文將從無噪聲和有噪聲兩種情況下的低劑量XCT圖像重建入手加以深入，力求做到在圖像重建質(zhì)量得到優(yōu)化的前提下，重建算法的速度有進(jìn)一步提高。[8]提出了一種投影域的自適應(yīng)卷積濾波方法，這些方法的不足是沒有或僅僅較少地考慮具體噪聲的統(tǒng)計(jì)分布信息，因而重建出的圖像質(zhì)量不高，還難以在具體的臨床診斷中應(yīng)用。因此，研究低劑量X射線照射情況下的CT圖像重建算法具有十分重要的實(shí)用價(jià)值。然而由該算法本身的非局部性特征，使得要重建物體的某一斷面必須對(duì)物體進(jìn)行180度全方位掃描以采集完整的數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)質(zhì)量高的情況下才能重建出準(zhǔn)確清晰的圖像，如果得到的數(shù)據(jù)不完整，重建的效果將急劇惡化。這一新式的射線顯像技術(shù)在1974年被正式命名為Computed Tomography(計(jì)算機(jī)斷層成像技術(shù))，簡(jiǎn)稱CT，即通過對(duì)物體進(jìn)行不同角度下的射線投影測(cè)量而獲取物體橫截面信息的成像技術(shù)。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，圖像重建問題重新引起了人們的興趣，相繼有不少學(xué)者進(jìn)行了卓有成效的創(chuàng)造性研究。1895年，德國人倫琴發(fā)現(xiàn)了X射線。三天后，他的夫人偶然看到了自己手的X射線造影，從此用X射線進(jìn)行醫(yī)學(xué)診斷的放射學(xué)走上了歷史舞臺(tái)。1963年。CT的問世在放射學(xué)界引起了爆炸性的轟動(dòng)，被認(rèn)為是繼倫琴發(fā)現(xiàn)X射線后，工程界對(duì)放射學(xué)診斷的又一劃時(shí)代的貢獻(xiàn)。為了獲得更多、更清晰的醫(yī)學(xué)圖像信息，以往都會(huì)采用加大X線劑量的方法。目前常見的低劑量CT圖像重建方法主要有兩類：一類是利用線性或非線性濾波器直接對(duì)投影數(shù)據(jù)或圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，從而抑制噪聲的影響[4,5,6]。而對(duì)于第二類方法，上個(gè)世紀(jì)80年代初，Shepp和Lange等人將期望最大化(EM)算法應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)[9]。同時(shí)將不同重建算法進(jìn)行比較，探討各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。第3章：闡述迭代重建算法的原理和并利用計(jì)算機(jī)并實(shí)現(xiàn)其算法。在其對(duì)面置一檢測(cè)器()。如此重復(fù)，直至旋轉(zhuǎn)次作旋轉(zhuǎn)取得組數(shù)據(jù)(即個(gè)投影)后為止。顯然，測(cè)得與，即可知道。這一圖像當(dāng)然是相應(yīng)掃描平面的物體斷層的圖像。即：2D傅里葉變換o1D傅里葉變換oo 闡明投影定理(中心切片定理)用圖圖像在方向投影的1D傅里葉變換給出了的2D傅里葉變換 的一個(gè)切片，切片位置通過原點(diǎn)且與軸相交成角 ()式中表示一維傅里葉變換。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，由于求反變換時(shí)的數(shù)學(xué)處理方法不同，又分為濾波反投影重建算法和直接傅里葉變換法，我們只研究CT裝置中常用的濾波反投影重建算法。后者恰是通過定點(diǎn)的射線方程。 濾波函數(shù)由式()和式()可知，需先把投影作一維濾波。眾所周知，在物體尺寸有限的情況下，投影數(shù)據(jù)的空間分布是有限的，因而嚴(yán)格說來，其頻帶是無限的。因此，不管怎樣，只要采樣間隔足夠小，完全有理由認(rèn)為高頻分量很小，投影數(shù)據(jù)的頻帶限制在由折疊頻率所規(guī)定的區(qū)間內(nèi)，即。 離散表示SL濾波函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)： ()相應(yīng)的沖激響應(yīng)： ()相應(yīng)的采樣序列：仍取采樣間隔，對(duì)進(jìn)行均勻采樣，即以代入式()，得： ()。一般，為一整數(shù)；故。后者可說是的一次近似。記角度方向采樣點(diǎn)數(shù)(投影數(shù))為，例如取，角度增量為，則有。首先進(jìn)行卷積計(jì)算步驟。換言之，+255間各點(diǎn)上取值。于是，式()變?yōu)? ()為便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，避免負(fù)的地址值，可將式()變換為： ()然后進(jìn)行射束計(jì)算與內(nèi)插步驟。這里直接給出射束計(jì)算與內(nèi)插的結(jié)果，推導(dǎo)過程從略。該圖像為已經(jīng)過計(jì)算機(jī)采集所得的離散數(shù)字圖像，大小為。, 。(a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時(shí)，平行射束數(shù)量為64條，投影角度為條件下重建圖像設(shè)平行射束數(shù)量為64條。當(dāng)投影角度范圍為，每隔取一組投影數(shù)據(jù)，共36個(gè)投影角度時(shí)。這里加入的噪聲是以投影數(shù)據(jù)矩陣為參數(shù)的泊松噪聲。, 。(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*18有噪聲平行投影(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 有噪聲時(shí)，平行射束數(shù)量為64條，18個(gè)投影角度條件下重建圖像(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*36有噪聲平行投影(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 有噪聲時(shí)，平行射束數(shù)量為64條，36個(gè)投影角度條件下重建圖像從以上重建結(jié)果可以看出，此方法是一種快速的可以實(shí)時(shí)進(jìn)行圖像重建的方法，重建速度較快。另外由于現(xiàn)有的圖像顯示方式也都是基于像素的方法，需要將連續(xù)的圖像離散化采樣為有限個(gè)象素點(diǎn)上的值，這也是對(duì)原圖像的近似表示。和都取決于基函數(shù)，并且可以定義的矩陣為系統(tǒng)矩陣。過于復(fù)雜和精確的模型將導(dǎo)致巨大的計(jì)算量，可能使得重建時(shí)間增加幾倍至幾十倍，而過于簡(jiǎn)單的模型又可能由于過度的近似導(dǎo)致圖像不準(zhǔn)確，降低空間分辨率和存在偽影等現(xiàn)象。所以可以用式()來表示系統(tǒng)的物理模型： ()其中表示系統(tǒng)的背景噪聲[13]。為由條射線投影得到的投影數(shù)據(jù)，且由式()可得(為原圖像，)，成為第號(hào)射線的射線和。首先計(jì)算一條射線與網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)射線截距取值不同為3種情況：(1) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：， ()與水平網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：； ()(2) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：， ()與水平網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：； ()(3) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：,， ()與水平網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：。 再進(jìn)行與射線相交網(wǎng)格編號(hào)的求解與存儲(chǔ)。顯然射線至多和個(gè)網(wǎng)格相交。該算法的任務(wù)是根據(jù)的得到的和已知的矩陣求得原圖像。下一次則考慮下一條射線即號(hào)射線。 ARTⅡ(迭代重建)算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) ARTⅡ算法對(duì)于圖像重建這一具體情況，ARTⅡ滿足的方程式不是等式，而是滿足線性不等式 ()上式可寫成 。 重建結(jié)果與分析。、。設(shè)平行射束數(shù)量為64條，當(dāng)投影角度為18時(shí)，(a)(b)所示。、。(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b)