【正文】 () 本文中前面已經(jīng)提到，測量得到的投影值就是期望值為的Poisson分布的一個樣本。其代理函數(shù)是通過求似然函數(shù)在完備數(shù)據(jù)空間上的條件期望得到。而已知的觀測數(shù)據(jù)則是隨機變量。MAP準則通過引入先驗知識彌補了ML的缺點，降低了重建問題的“病態(tài)性”。 統(tǒng)計模型 在之前對統(tǒng)計重建方法的介紹中提到了適當?shù)慕y(tǒng)計模型可以降低圖像的噪聲水平，這是統(tǒng)計重建的一個優(yōu)勢所在。以下列舉了統(tǒng)計方法重建的優(yōu)缺點：優(yōu)點：(1) 可以利用與物體相關的約束條件；(2) 可以利用精確的物理模型來減少偏差，提高圖像的精確性；(3) 可以利用適當?shù)慕y(tǒng)計模型來降低圖像的噪聲；(4) 可以利用其他的與特定系統(tǒng)相關的邊界條件；(5) 可在不規(guī)則采樣和數(shù)據(jù)缺失情況下重建出圖像，不要求標準幾何模型。由于應用于重建的數(shù)據(jù)量較小，重建圖像的精度不高，不能重建出原圖像的所有細節(jié)。、。這里對松弛法解不等式方程組的證明從略。在根據(jù)求時需加一校正值。 ()若存在相同編號只保留其中一個。射線方程用斜截式表示為，其中斜率，為射線束的投影角，為截距。一般情況下主要從以下幾個方面來考慮模型的選?。耗Ｐ偷慕瞥潭龋凰枰加玫拇鎯臻g；可重復性等?？梢詫懗扇缦碌谋磉_式： ()當將圖像表示成式()的形式以后可以將其代入正向投影的表達式的離散形式，如式()所示： ()其中表示第個基函數(shù)對第個探測器的值的貢獻；為反映不同系統(tǒng)投影方式的函數(shù)。其中無噪聲時原始圖像的投影數(shù)據(jù)，有噪聲的投影數(shù)據(jù)，及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。, 。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。最后進行反投影重建步驟。只在間取值是不夠的，要用到及間的值。像素位置記為，為像素在方向的坐標，為像素在方向的坐標。按內(nèi)插的定義，若為內(nèi)插函數(shù)，則此時的為： () 常用的內(nèi)插方式有緊鄰內(nèi)插和線性內(nèi)插。與此相應，濾波函數(shù)也取離散形式： ()常用的濾波函數(shù)有SL函數(shù)和RL函數(shù)?？梢宰C明這一理想的濾波函數(shù)是不能實現(xiàn)的。根據(jù)中心切片定理，可通過在不同視角下的投影的1D 傅里葉變換求得，即： 待建圖像 () 濾波反投影算法所用坐標系統(tǒng)求式()的第二個積分： ()上式可寫成空域變量為的傅里葉反變換式： () 式中， ()而。 濾波反投影重建算法：輸入圖像(原圖像)取投影一維濾波器反投影重建輸出圖像(同原圖像) 濾波反投影重建算法過程 投影定理 投影定理或中心切片定理是無衍射源情況下，圖像重建算法的基礎。若未指定具體路徑，只說明沿某一方向，則有，稱為投影。第5章：。另外，基于先驗知識的貝葉斯最大后驗估計(MAP：Maximum A Posterior)方法，也成為近年來低劑量CT重建算法中的一個研究熱點。這常常導致不能獲得完整的投影數(shù)據(jù)。自此之后，人們才真正實現(xiàn)了人體斷層成像。低劑量X射線CT重建算法研究畢業(yè)論文第 57 頁 共 56 頁1 引言 概述醫(yī)學影像技術是診斷疾病的重要手段, 它以非常直觀的圖像形式向人們展示了人體內(nèi)部的結構形態(tài)或臟器功能, 并且隨著影像學診斷飛躍進步和介入醫(yī)學的成功應用，己成為臨床診斷與醫(yī)學研究中不可缺少的工具[1]。1972年，英國EMI公司中央研究所工程師G..，研制成功了診斷頭顱用的第一臺電子計算機X射線斷層攝影裝置。但是隨著人們逐漸注意到X線檢查中的放射劑量問題，在臨床中對放射劑量也有了進一步地限制[3]。1994年，Hudson和Larkin提出的OS加速方法，OS加速解決了EM類算法收斂速度慢的缺點，大大提高了統(tǒng)計重建的實用性，隨后圍繞算法加速和收斂性的研究迅速展開[10]。第4章：闡述統(tǒng)計重建算法的原理和并利用計算機并實現(xiàn)其算法。 投射X射線的發(fā)射源與檢測器布置示意 平移/旋轉(zhuǎn)掃描方式取得上述數(shù)據(jù)后如何求得物體中所關心的那個斷面的圖像?對此，我們有如下陳述：先假定物體是均勻的，物體對于X射線的線性衰減系數(shù)為，則強度為的X射線行進距離后，強度變?yōu)?，它們之間存在關系： ()或 ()若物體是分段均勻的，各段的線性衰減系數(shù)分別為、…, 相應的長度為、…()，則下式成立： () 入射X射線強度經(jīng)過線性衰減系數(shù)為、…的介質(zhì)后變?yōu)楦话愕?，物體在，平面內(nèi)都不均勻，即衰減系數(shù)在沿某一路徑的方向上的衰減為： ()線積分為射線投影。從投影重建圖像需經(jīng)過大量計算，只有借助計算機才能實現(xiàn)，故稱為“計算機斷層成像術”。 濾波反投影重建算法 ，待建圖像為，它的2D傅里葉變換為。濾波器的傳遞函數(shù)為。由于投影數(shù)據(jù)在空間上的天然離散性，有： ()式中為射束平移的歩距，為整數(shù)，為某一固定的視角，表示序列。求可按以下方案進行：根據(jù)給定的離散值，應用內(nèi)插函數(shù)，得到在軸上連續(xù)取值的，再根據(jù)式()求出。指定圖像畫面的像素為。目前的CT裝置都用硬件來實現(xiàn)式()的線性卷積，求和的極限中，即取至。 ()如以表示，有： 整數(shù)+小數(shù) ()式中同圖像像素中的，為平行射束的數(shù)目，即為所求的射束編號，相應于的位于第號射束與號射束之間，與號射束相距。 (a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為95條，投影角度為條件下重建圖像本論文討論的是低劑量的XCT圖像重建，平行射束不一定會達到默認值95，投影角度也不一定會取到所有的角度，重點研究的少量投影角度照射下的圖像重建，所以可進行如下討論：設平行射束數(shù)量為64條，投影角度范圍為。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。當投影角度數(shù)量為36時。我們可以利用級數(shù)展開的數(shù)學方法將連續(xù)的近似表示為有限個參數(shù)和基函數(shù) (其中為基的個數(shù)，為索引值)的加權求和的形式。為此應該在圖像質(zhì)量和計算的速度之間進行均衡的選取物理模型。系統(tǒng)矩陣中的各個(表示第個像素對第條射線投影的貢獻)的取值遵循如下規(guī)則：，號射線通過號像素內(nèi)任一點 ，其他 ()n*nn…21 射線與網(wǎng)格相交關系示意圖，以圖像中心為坐標原點，水平和豎直方向為坐標軸建立二維直角坐標系。由以上計算，分四種情況討論：(1) 當時，與射線相交網(wǎng)格編號的表達式為：； ()(2) 當時，與射線相交網(wǎng)格編號的表達式為：,其中表示向下取整； ()(3) 當時，與射線相交網(wǎng)格編號的表達式為：； ()(4) 當時，與射線相交網(wǎng)格編號的表達式為：。先假設一初始圖像，然后根據(jù)求一次近似圖像，再根據(jù)求二次近似圖像，如此繼續(xù)，直到滿足預定條件而后止。 ()利用線性不等式方程組的松弛法可得其解為：， ，任意； ，其他 () ()上式中代表迭代次數(shù)，代表取整數(shù)。當投影角度數(shù)量為36時，原始圖像、(a) (b)所示，(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*18有噪聲平行投影 無噪聲時的投影數(shù)據(jù)和有噪聲影響的投影數(shù)據(jù) (a) 迭代20000次圖像 (b) 迭代15000次圖像 (c) 迭代10000次圖像(d) 迭代5000次圖像 (e) 迭代2000次圖像 (f) 迭代1500次圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18個投影角度下各重建圖像由以上的重建結果可以看出，與濾波反投影算法不同，即使在射束數(shù)量和投影角度較少的條件下，ARTⅡ算法仍可以有效地進行圖像重建，重建出原圖像的大概面貌,且有一定地抗噪聲能力，而其重建時間大于濾波反投影重建算法所用的時間。需要進一步的優(yōu)化和簡化算法，以提高重建的速度，而目前的研究重點也集中于這方面。在此將重點討論后的三個步驟。ML準則僅能在一定迭代次數(shù)范圍內(nèi)起到抵抗噪聲的作用，然而隨著迭代深入，該準則不能有效的抑制噪聲，圖像質(zhì)量將變差。因此,在使用最大似然估計方法時,被估計的參數(shù)假定是常數(shù)，但未知。最大化的過程要比直接最大化似然函數(shù)容易。然后我們通過如下的方法來實現(xiàn)圖像的重建：給定一組測量得到的投影矢量，找到一組圖像矢量使得概率有最大值。MAP重建算法是一種貝葉斯重建(Bayesian Reconstruction, BR)算法,該類算法既考慮了投影數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性,又充分利用了源、射線的先驗知識分布，多次迭代后仍可以很好的抑制噪聲而且可以克服ML重建算法收斂慢的缺點。我們采用馬爾可夫隨機場(Markov random fields, MRF)描述圖像,不同的先驗知識分布模型里又可選擇不同的勢函數(shù)。同樣，我們將在64條平行射束條件下，18個投影角度和36個投影角度兩種情況的圖像重建結果。當投影角度數(shù)量為36時，(b)所示,。、。有序子集最大期望值方法（Ordered Subsets Expectation Maximization,OSEM）是一種改進的MLEM重建算法，它具有較好的重建圖像質(zhì)量和較短的計算時間。每隔個角度選取投影，這樣就將投影數(shù)據(jù)劃分為個子集，無重疊子集作如下劃分：，…。 重建結果與分析。設平行射束數(shù)量為64條，所得投影數(shù)據(jù)的分別劃分為2個子集，3個子集和6個子集，分別迭代6次。 濾波反投影重建算法的均方誤差。，其中曲線(1)表示18個投影角度下的擬合結果，曲線(2)表示36個投影角度下的擬合結果，從圖中我們能清楚地看到，迭代重建算法來重建有噪聲影響的圖像時，在一定迭代次數(shù)范圍內(nèi)，圖像的均方誤差會隨迭代次數(shù)的增加而減小，重建圖像的效果越來越好，該算法能在一定程度上抑制噪聲；而超過這個范圍后，圖像的均方誤差將隨迭代次數(shù)的增加而呈現(xiàn)增大的趨勢，相對應的重建圖像效果將惡化，但是投影角度的增加會使惡化情況減輕。從圖中可以看到，MLEM算法重建結果的均方誤差變化呈現(xiàn)一個凹函數(shù)的性質(zhì)，在取到最小均方誤差值之前，均方誤差隨著迭代次數(shù)的增加而減小，而超過這個最小值點后，圖像的均方誤差將隨迭代次數(shù)的增加而增大，相對應的重建圖像效果也將惡化，但惡化的程度將隨投影數(shù)目的增加而有所減輕，同時投影角度的增加也能優(yōu)化重建效果。在有噪聲作用時，因為OSEM算法與MLEM算法所采用的思想相同，則OSEM算法重建結果也必然存在最小均方誤差()，而且最小均方誤差值與MLEM算法相應情況下的最小均方誤差在超過取得最小均方誤差值相當，可見兩種算法對噪聲的抑制作用相同。，MAP算法重建結果取得最小均方誤差的k值與MLEM算法相應情形下的k值都取在k=5或k=6,同時隨著β取值的減小或投影角度的增加，MAP算法的最小均方誤差減小，抗噪聲能力更強。在做畢業(yè)設計的這些日子里，桂老師一直對我十分關心，給我提供了優(yōu)越的科研