【正文】 () 本文中前面已經(jīng)提到，測量得到的投影值就是期望值為的Poisson分布的一個(gè)樣本。其代理函數(shù)是通過求似然函數(shù)在完備數(shù)據(jù)空間上的條件期望得到。而已知的觀測數(shù)據(jù)則是隨機(jī)變量。MAP準(zhǔn)則通過引入先驗(yàn)知識(shí)彌補(bǔ)了ML的缺點(diǎn)，降低了重建問題的“病態(tài)性”。 統(tǒng)計(jì)模型 在之前對(duì)統(tǒng)計(jì)重建方法的介紹中提到了適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型可以降低圖像的噪聲水平，這是統(tǒng)計(jì)重建的一個(gè)優(yōu)勢所在。以下列舉了統(tǒng)計(jì)方法重建的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：(1) 可以利用與物體相關(guān)的約束條件；(2) 可以利用精確的物理模型來減少偏差，提高圖像的精確性；(3) 可以利用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型來降低圖像的噪聲；(4) 可以利用其他的與特定系統(tǒng)相關(guān)的邊界條件；(5) 可在不規(guī)則采樣和數(shù)據(jù)缺失情況下重建出圖像，不要求標(biāo)準(zhǔn)幾何模型。由于應(yīng)用于重建的數(shù)據(jù)量較小，重建圖像的精度不高，不能重建出原圖像的所有細(xì)節(jié)。、。這里對(duì)松弛法解不等式方程組的證明從略。在根據(jù)求時(shí)需加一校正值。 ()若存在相同編號(hào)只保留其中一個(gè)。射線方程用斜截式表示為，其中斜率，為射線束的投影角，為截距。一般情況下主要從以下幾個(gè)方面來考慮模型的選?。耗Ｐ偷慕瞥潭?；所需要占用的存儲(chǔ)空間；可重復(fù)性等?？梢詫懗扇缦碌谋磉_(dá)式： ()當(dāng)將圖像表示成式()的形式以后可以將其代入正向投影的表達(dá)式的離散形式，如式()所示： ()其中表示第個(gè)基函數(shù)對(duì)第個(gè)探測器的值的貢獻(xiàn)；為反映不同系統(tǒng)投影方式的函數(shù)。其中無噪聲時(shí)原始圖像的投影數(shù)據(jù)，有噪聲的投影數(shù)據(jù)，及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。, 。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。最后進(jìn)行反投影重建步驟。只在間取值是不夠的，要用到及間的值。像素位置記為，為像素在方向的坐標(biāo)，為像素在方向的坐標(biāo)。按內(nèi)插的定義，若為內(nèi)插函數(shù)，則此時(shí)的為： () 常用的內(nèi)插方式有緊鄰內(nèi)插和線性內(nèi)插。與此相應(yīng)，濾波函數(shù)也取離散形式： ()常用的濾波函數(shù)有SL函數(shù)和RL函數(shù)?？梢宰C明這一理想的濾波函數(shù)是不能實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)中心切片定理，可通過在不同視角下的投影的1D 傅里葉變換求得，即： 待建圖像 () 濾波反投影算法所用坐標(biāo)系統(tǒng)求式()的第二個(gè)積分： ()上式可寫成空域變量為的傅里葉反變換式： () 式中， ()而。 濾波反投影重建算法：輸入圖像(原圖像)取投影一維濾波器反投影重建輸出圖像(同原圖像) 濾波反投影重建算法過程 投影定理 投影定理或中心切片定理是無衍射源情況下，圖像重建算法的基礎(chǔ)。若未指定具體路徑，只說明沿某一方向，則有，稱為投影。第5章：。另外，基于先驗(yàn)知識(shí)的貝葉斯最大后驗(yàn)估計(jì)(MAP：Maximum A Posterior)方法，也成為近年來低劑量CT重建算法中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。這常常導(dǎo)致不能獲得完整的投影數(shù)據(jù)。自此之后，人們才真正實(shí)現(xiàn)了人體斷層成像。低劑量X射線CT重建算法研究畢業(yè)論文第 57 頁 共 56 頁1 引言 概述醫(yī)學(xué)影像技術(shù)是診斷疾病的重要手段, 它以非常直觀的圖像形式向人們展示了人體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)形態(tài)或臟器功能, 并且隨著影像學(xué)診斷飛躍進(jìn)步和介入醫(yī)學(xué)的成功應(yīng)用，己成為臨床診斷與醫(yī)學(xué)研究中不可缺少的工具[1]。1972年，英國EMI公司中央研究所工程師G..，研制成功了診斷頭顱用的第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)X射線斷層攝影裝置。但是隨著人們逐漸注意到X線檢查中的放射劑量問題，在臨床中對(duì)放射劑量也有了進(jìn)一步地限制[3]。1994年，Hudson和Larkin提出的OS加速方法，OS加速解決了EM類算法收斂速度慢的缺點(diǎn)，大大提高了統(tǒng)計(jì)重建的實(shí)用性，隨后圍繞算法加速和收斂性的研究迅速展開[10]。第4章：闡述統(tǒng)計(jì)重建算法的原理和并利用計(jì)算機(jī)并實(shí)現(xiàn)其算法。 投射X射線的發(fā)射源與檢測器布置示意 平移/旋轉(zhuǎn)掃描方式取得上述數(shù)據(jù)后如何求得物體中所關(guān)心的那個(gè)斷面的圖像?對(duì)此，我們有如下陳述：先假定物體是均勻的，物體對(duì)于X射線的線性衰減系數(shù)為，則強(qiáng)度為的X射線行進(jìn)距離后，強(qiáng)度變?yōu)?，它們之間存在關(guān)系： ()或 ()若物體是分段均勻的，各段的線性衰減系數(shù)分別為、…, 相應(yīng)的長度為、…()，則下式成立： () 入射X射線強(qiáng)度經(jīng)過線性衰減系數(shù)為、…的介質(zhì)后變?yōu)楦话愕兀矬w在，平面內(nèi)都不均勻，即衰減系數(shù)在沿某一路徑的方向上的衰減為： ()線積分為射線投影。從投影重建圖像需經(jīng)過大量計(jì)算，只有借助計(jì)算機(jī)才能實(shí)現(xiàn)，故稱為“計(jì)算機(jī)斷層成像術(shù)”。 濾波反投影重建算法 ，待建圖像為，它的2D傅里葉變換為。濾波器的傳遞函數(shù)為。由于投影數(shù)據(jù)在空間上的天然離散性，有： ()式中為射束平移的歩距，為整數(shù)，為某一固定的視角，表示序列。求可按以下方案進(jìn)行：根據(jù)給定的離散值，應(yīng)用內(nèi)插函數(shù)，得到在軸上連續(xù)取值的，再根據(jù)式()求出。指定圖像畫面的像素為。目前的CT裝置都用硬件來實(shí)現(xiàn)式()的線性卷積，求和的極限中，即取至。 ()如以表示，有： 整數(shù)+小數(shù) ()式中同圖像像素中的，為平行射束的數(shù)目，即為所求的射束編號(hào)，相應(yīng)于的位于第號(hào)射束與號(hào)射束之間，與號(hào)射束相距。 (a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時(shí)，平行射束數(shù)量為95條，投影角度為條件下重建圖像本論文討論的是低劑量的XCT圖像重建，平行射束不一定會(huì)達(dá)到默認(rèn)值95，投影角度也不一定會(huì)取到所有的角度，重點(diǎn)研究的少量投影角度照射下的圖像重建，所以可進(jìn)行如下討論：設(shè)平行射束數(shù)量為64條，投影角度范圍為。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。當(dāng)投影角度數(shù)量為36時(shí)。我們可以利用級(jí)數(shù)展開的數(shù)學(xué)方法將連續(xù)的近似表示為有限個(gè)參數(shù)和基函數(shù) (其中為基的個(gè)數(shù)，為索引值)的加權(quán)求和的形式。為此應(yīng)該在圖像質(zhì)量和計(jì)算的速度之間進(jìn)行均衡的選取物理模型。系統(tǒng)矩陣中的各個(gè)(表示第個(gè)像素對(duì)第條射線投影的貢獻(xiàn))的取值遵循如下規(guī)則：，號(hào)射線通過號(hào)像素內(nèi)任一點(diǎn) ，其他 ()n*nn…21 射線與網(wǎng)格相交關(guān)系示意圖，以圖像中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平和豎直方向?yàn)樽鴺?biāo)軸建立二維直角坐標(biāo)系。由以上計(jì)算，分四種情況討論：(1) 當(dāng)時(shí)，與射線相交網(wǎng)格編號(hào)的表達(dá)式為：； ()(2) 當(dāng)時(shí)，與射線相交網(wǎng)格編號(hào)的表達(dá)式為：,其中表示向下取整； ()(3) 當(dāng)時(shí)，與射線相交網(wǎng)格編號(hào)的表達(dá)式為：； ()(4) 當(dāng)時(shí)，與射線相交網(wǎng)格編號(hào)的表達(dá)式為：。先假設(shè)一初始圖像，然后根據(jù)求一次近似圖像，再根據(jù)求二次近似圖像，如此繼續(xù)，直到滿足預(yù)定條件而后止。 ()利用線性不等式方程組的松弛法可得其解為：， ，任意； ，其他 () ()上式中代表迭代次數(shù)，代表取整數(shù)。當(dāng)投影角度數(shù)量為36時(shí)，原始圖像、(a) (b)所示，(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*18有噪聲平行投影 無噪聲時(shí)的投影數(shù)據(jù)和有噪聲影響的投影數(shù)據(jù) (a) 迭代20000次圖像 (b) 迭代15000次圖像 (c) 迭代10000次圖像(d) 迭代5000次圖像 (e) 迭代2000次圖像 (f) 迭代1500次圖像 有噪聲時(shí)，平行射束數(shù)量為64條，18個(gè)投影角度下各重建圖像由以上的重建結(jié)果可以看出，與濾波反投影算法不同，即使在射束數(shù)量和投影角度較少的條件下，ARTⅡ算法仍可以有效地進(jìn)行圖像重建，重建出原圖像的大概面貌,且有一定地抗噪聲能力，而其重建時(shí)間大于濾波反投影重建算法所用的時(shí)間。需要進(jìn)一步的優(yōu)化和簡化算法，以提高重建的速度，而目前的研究重點(diǎn)也集中于這方面。在此將重點(diǎn)討論后的三個(gè)步驟。ML準(zhǔn)則僅能在一定迭代次數(shù)范圍內(nèi)起到抵抗噪聲的作用，然而隨著迭代深入，該準(zhǔn)則不能有效的抑制噪聲，圖像質(zhì)量將變差。因此,在使用最大似然估計(jì)方法時(shí),被估計(jì)的參數(shù)假定是常數(shù)，但未知。最大化的過程要比直接最大化似然函數(shù)容易。然后我們通過如下的方法來實(shí)現(xiàn)圖像的重建：給定一組測量得到的投影矢量，找到一組圖像矢量使得概率有最大值。MAP重建算法是一種貝葉斯重建(Bayesian Reconstruction, BR)算法,該類算法既考慮了投影數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性,又充分利用了源、射線的先驗(yàn)知識(shí)分布，多次迭代后仍可以很好的抑制噪聲而且可以克服ML重建算法收斂慢的缺點(diǎn)。我們采用馬爾可夫隨機(jī)場(Markov random fields, MRF)描述圖像,不同的先驗(yàn)知識(shí)分布模型里又可選擇不同的勢函數(shù)。同樣，我們將在64條平行射束條件下，18個(gè)投影角度和36個(gè)投影角度兩種情況的圖像重建結(jié)果。當(dāng)投影角度數(shù)量為36時(shí)，(b)所示,。、。有序子集最大期望值方法（Ordered Subsets Expectation Maximization,OSEM）是一種改進(jìn)的MLEM重建算法，它具有較好的重建圖像質(zhì)量和較短的計(jì)算時(shí)間。每隔個(gè)角度選取投影，這樣就將投影數(shù)據(jù)劃分為個(gè)子集，無重疊子集作如下劃分：，…。 重建結(jié)果與分析。設(shè)平行射束數(shù)量為64條，所得投影數(shù)據(jù)的分別劃分為2個(gè)子集，3個(gè)子集和6個(gè)子集，分別迭代6次。 濾波反投影重建算法的均方誤差。，其中曲線(1)表示18個(gè)投影角度下的擬合結(jié)果，曲線(2)表示36個(gè)投影角度下的擬合結(jié)果，從圖中我們能清楚地看到，迭代重建算法來重建有噪聲影響的圖像時(shí)，在一定迭代次數(shù)范圍內(nèi)，圖像的均方誤差會(huì)隨迭代次數(shù)的增加而減小，重建圖像的效果越來越好，該算法能在一定程度上抑制噪聲；而超過這個(gè)范圍后，圖像的均方誤差將隨迭代次數(shù)的增加而呈現(xiàn)增大的趨勢，相對(duì)應(yīng)的重建圖像效果將惡化，但是投影角度的增加會(huì)使惡化情況減輕。從圖中可以看到，MLEM算法重建結(jié)果的均方誤差變化呈現(xiàn)一個(gè)凹函數(shù)的性質(zhì)，在取到最小均方誤差值之前，均方誤差隨著迭代次數(shù)的增加而減小，而超過這個(gè)最小值點(diǎn)后，圖像的均方誤差將隨迭代次數(shù)的增加而增大，相對(duì)應(yīng)的重建圖像效果也將惡化，但惡化的程度將隨投影數(shù)目的增加而有所減輕，同時(shí)投影角度的增加也能優(yōu)化重建效果。在有噪聲作用時(shí)，因?yàn)镺SEM算法與MLEM算法所采用的思想相同，則OSEM算法重建結(jié)果也必然存在最小均方誤差()，而且最小均方誤差值與MLEM算法相應(yīng)情況下的最小均方誤差在超過取得最小均方誤差值相當(dāng)，可見兩種算法對(duì)噪聲的抑制作用相同。，MAP算法重建結(jié)果取得最小均方誤差的k值與MLEM算法相應(yīng)情形下的k值都取在k=5或k=6,同時(shí)隨著β取值的減小或投影角度的增加，MAP算法的最小均方誤差減小，抗噪聲能力更強(qiáng)。在做畢業(yè)設(shè)計(jì)的這些日子里，桂老師一直對(duì)我十分關(guān)心，給我提供了優(yōu)越的科研