【正文】 驟。由于數(shù)據(jù)采集在空間是離散的，經(jīng)A/D變換后幅值也離散，故應(yīng)進行離散卷積。設(shè)在某一旋轉(zhuǎn)角時，采得投影。濾波函數(shù)為,則濾波后的投影的求解變?yōu)椋? ()濾波函數(shù)總是對稱的，理論上為無限長，實際上只能取有限長，例如取511點，即在中點兩邊各取255點。換言之，+255間各點上取值。目前的CT裝置都用硬件來實現(xiàn)式()的線性卷積，求和的極限中，即取至。只在間取值是不夠的，要用到及間的值?？砂匆韵路椒〝U充：在間補以，在間補以。于是，式()變?yōu)? ()為便于計算機實現(xiàn)，避免負(fù)的地址值，可將式()變換為： ()然后進行射束計算與內(nèi)插步驟。圖像重建中，內(nèi)插是重要的一環(huán)，射束計算的目的是為了內(nèi)插。目前CT中常用的內(nèi)插方式是先得到濾波后的投影數(shù)據(jù)，然后進行線性內(nèi)插，求得。對于空問某點，在某一視角必有一個隨之而定，即 ()由于是空間中任一點像素坐標(biāo)，故按式() )算得的并不正好為的整數(shù)倍，它可能位于與之間，即： ()這就需要進行內(nèi)插。這里直接給出射束計算與內(nèi)插的結(jié)果，推導(dǎo)過程從略。 ()如以表示，有： 整數(shù)+小數(shù) ()式中同圖像像素中的，為平行射束的數(shù)目，即為所求的射束編號，相應(yīng)于的位于第號射束與號射束之間，與號射束相距。最后進行反投影重建步驟。直接給出反投影法重建任意點處的圖像最終結(jié)果為： ()再記 ()注意到：則可用下列遞推公式用來計算式() [11,12]： ()其中 重建結(jié)果與分析為了對算法進一步的此驗證，,對該原始圖像進行投影，利用所得的投影數(shù)據(jù)進行圖像重建。該圖像為已經(jīng)過計算機采集所得的離散數(shù)字圖像，大小為。 原始圖像這里分別用RL濾波函數(shù)和SL濾波函數(shù)作為濾波函數(shù)進行實驗。 無噪聲影響設(shè)平行射束數(shù)量為默認(rèn)值條，投影角度范圍為。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。, 。 (a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為95條，投影角度為條件下重建圖像本論文討論的是低劑量的XCT圖像重建，平行射束不一定會達到默認(rèn)值95，投影角度也不一定會取到所有的角度，重點研究的少量投影角度照射下的圖像重建，所以可進行如下討論：設(shè)平行射束數(shù)量為64條，投影角度范圍為。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。, 。(a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，投影角度為條件下重建圖像設(shè)平行射束數(shù)量為64條。當(dāng)投影角度范圍為，每隔取一組投影數(shù)據(jù)，即有18個投影角度時。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。, 。當(dāng)投影角度范圍為，每隔取一組投影數(shù)據(jù)，共36個投影角度時。其中原始圖像、原始圖像的投影數(shù)據(jù)及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。, 。(a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18個投影角度條件下重建圖像 (a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，36個投影角度條件下重建圖像 有噪聲影響 為便于與以后的算法進行比較，我們直接討論有噪聲影響的18個投影角度和36個投影角度條件下的圖像重建。這里加入的噪聲是以投影數(shù)據(jù)矩陣為參數(shù)的泊松噪聲。設(shè)平行射束數(shù)為64條。當(dāng)投影角度數(shù)量為18時。其中無噪聲時原始圖像的投影數(shù)據(jù)，有噪聲的投影數(shù)據(jù)，及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。, 。當(dāng)投影角度數(shù)量為36時。其中無噪聲時原始圖像的投影數(shù)據(jù)，有噪聲的投影數(shù)據(jù)，及RL函數(shù)重建圖像和SL函數(shù)重建圖像分別為圖(a)、圖(b)、圖(c)和圖(d)。, 。(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*18有噪聲平行投影(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18個投影角度條件下重建圖像(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*36有噪聲平行投影(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，36個投影角度條件下重建圖像從以上重建結(jié)果可以看出，此方法是一種快速的可以實時進行圖像重建的方法，重建速度較快。但由于在低劑量前提下，投影射束和投影角度較少的約束條件使該算法的重建圖像與原圖相差很遠(yuǎn)，不能達到我們預(yù)期的結(jié)果，也不能有效地抑制噪聲。3. 迭代重建算法 圖像參數(shù)化重建化和物理模型 圖像參數(shù)化重建(圖像的離散化模型)圖像重建的目標(biāo)就是斷層的圖像，而這個圖像本身就已經(jīng)是一個連續(xù)的參數(shù)空間，但是利用探測器得到的每個投影的值是有限的，要用有限的已知來求解無限的空間點的值的分布是不可能的。所以必須要將圖像近似地利用有限個參數(shù)來表示，這樣才能利用有限的已知來求解這有限個未知的參數(shù)來得到重建圖像。另外由于現(xiàn)有的圖像顯示方式也都是基于像素的方法，需要將連續(xù)的圖像離散化采樣為有限個象素點上的值，這也是對原圖像的近似表示。我們可以利用級數(shù)展開的數(shù)學(xué)方法將連續(xù)的近似表示為有限個參數(shù)和基函數(shù) (其中為基的個數(shù)，為索引值)的加權(quán)求和的形式?？梢詫懗扇缦碌谋磉_式： ()當(dāng)將圖像表示成式()的形式以后可以將其代入正向投影的表達式的離散形式，如式()所示： ()其中表示第個基函數(shù)對第個探測器的值的貢獻；為反映不同系統(tǒng)投影方式的函數(shù)。通過式()的變換可以看出已經(jīng)將連續(xù)的無限模型變成了有限的離散模型。和都取決于基函數(shù)，并且可以定義的矩陣為系統(tǒng)矩陣。最常用的是利用以像素為單位的基函數(shù)來表示一幅二維圖像。 物理模型 所謂物理模型就是能夠正確反映成像系統(tǒng)成像機理的模型，這涉及到掃描的方式，檢測器的分布，響應(yīng)等方面。物理模型將直接影響到重建過程的計算速度和圖像的質(zhì)量。過于復(fù)雜和精確的模型將導(dǎo)致巨大的計算量，可能使得重建時間增加幾倍至幾十倍，而過于簡單的模型又可能由于過度的近似導(dǎo)致圖像不準(zhǔn)確，降低空間分辨率和存在偽影等現(xiàn)象。為此應(yīng)該在圖像質(zhì)量和計算的速度之間進行均衡的選取物理模型。一般情況下主要從以下幾個方面來考慮模型的選取：模型的近似程度；所需要占用的存儲空間；可重復(fù)性等。從投影和反投影的角度來看，系統(tǒng)矩陣正好反映了投影值和成像截面之間的關(guān)系，也就是成像系統(tǒng)的模型，并且是表示投影方式的函數(shù)。所以可以用式()來表示系統(tǒng)的物理模型： ()其中表示系統(tǒng)的背景噪聲[13]。 系統(tǒng)矩陣的求解可先將整個圖像區(qū)域劃分為的有限個像素，將個正方形網(wǎng)格覆蓋在圖像上，設(shè)網(wǎng)格長和寬皆為1。是第號像素的灰度值()。將射線看成寬為，間隔為的平行射束。為由條射線投影得到的投影數(shù)據(jù)，且由式()可得(為原圖像，)，成為第號射線的射線和。系統(tǒng)矩陣中的各個(表示第個像素對第條射線投影的貢獻)的取值遵循如下規(guī)則：，號射線通過號像素內(nèi)任一點 ，其他 ()n*nn…21 射線與網(wǎng)格相交關(guān)系示意圖，以圖像中心為坐標(biāo)原點，水平和豎直方向為坐標(biāo)軸建立二維直角坐標(biāo)系。射線方程用斜截式表示為，其中斜率，為射線束的投影角，為截距。為方便討論，考慮射線斜率的情況，對于和的情況，可利用對稱的性質(zhì)得出。首先計算一條射線與網(wǎng)格線交點坐標(biāo)，根據(jù)射線截距取值不同為3種情況：(1) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點坐標(biāo)為：， ()與水平網(wǎng)格線交點坐標(biāo)為：； ()(2) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點坐標(biāo)為：， ()與水平網(wǎng)格線交點坐標(biāo)為：； ()(3) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點坐標(biāo)為：,， ()與水平網(wǎng)格線交點坐標(biāo)為：。 ()然后計算與射線的相交像素的編號；將射線與垂直網(wǎng)格線交點橫坐標(biāo)，與水平網(wǎng)格線交點橫坐標(biāo)，按從小到大的順序合并排列，以數(shù)組形式保存，設(shè)為數(shù)組。 同樣將射線與垂直、水平網(wǎng)格線交點縱坐標(biāo)按從小到大合并為數(shù)組。顯然射線與網(wǎng)格線最多有個交點，即數(shù)組、只需開辟的空間。 再進行與射線相交網(wǎng)格編號的求解與存儲。由以上計算，分四種情況討論：(1) 當(dāng)時，與射線相交網(wǎng)格編號的表達式為：； ()(2) 當(dāng)時，與射線相交網(wǎng)格編號的表達式為：,其中表示向下取整； ()(3) 當(dāng)時，與射線相交網(wǎng)格編號的表達式為：； ()(4) 當(dāng)時，與射線相交網(wǎng)格編號的表達式為：。 ()若存在相同編號只保留其中一個。編號以數(shù)組形式保存。顯然射線至多和個網(wǎng)格相交。只需開辟一個空間數(shù)組，設(shè)為數(shù)組[14]。 迭代重建算法ART(Algebraic Reconstruction Technique)算法較FBP算法最大的優(yōu)勢在于：當(dāng)采用不完全投影數(shù)據(jù)時，可通過選取不同目標(biāo)函數(shù)得到較高成像質(zhì)量[15]。但目前ART尚存在計算量大，重建速度慢，無法用硬件實現(xiàn)等缺點，限制了其進一步應(yīng)用[16]。該算法的任務(wù)是根據(jù)的得到的和已知的矩陣求得原圖像。先假設(shè)一初始圖像，然后根據(jù)求一次近似圖像，再根據(jù)求二次近似圖像，如此繼續(xù)，直到滿足預(yù)定條件而后止。在根據(jù)求時需加一校正值。只考慮一條射線(例如號射線)的射線投影響，所修正的像素值也限于號射線經(jīng)過的那些像素。下一次則考慮下一條射線即號射線?？傊看涡Ｕ来慰紤]一條射線的射線和，并校正該射線經(jīng)過的像素。文獻中有多種形式的ART，對應(yīng)一定的最優(yōu)準(zhǔn)則。但也有某些形式的ART并不對應(yīng)哪個最優(yōu)準(zhǔn)則，然而行之有效，本論文中討論ARTⅡ就屬于這一類。 ARTⅡ(迭代重建)算法的計算機實現(xiàn) ARTⅡ算法對于圖像重建這一具體情況，ARTⅡ滿足的方程式不是等式，而是滿足線性不等式 ()上式可寫成 。 ()利用線性不等式方程組的松弛法可得其解為：， ，任意； ，其他 () ()上式中代表迭代次數(shù)，代表取整數(shù)。這里對松弛法解不等式方程組的證明從略。 ARTⅡ算法的計算機實現(xiàn)步驟利用ARTⅡ算法重建過程如下：(1) 確定物理模型，計算整個系統(tǒng)的投影矩陣；(2) 設(shè)定迭代次數(shù)，初始化圖像矢量，對每一個圖像象素利用式()進行校正，完成一次迭代過程；(3) 重復(fù)步驟(2)進行下一次的迭代過程，對圖像矢量再次校正；(4) 判斷是否達到設(shè)定的迭代次數(shù)，若達到則停止迭代，否則進入步驟2，進行下一次迭代。 重建結(jié)果與分析。本論文只研究64條平行射束條件下，18個投影角度和36個投影角度兩種情況的圖像重建結(jié)果。 無噪聲影響設(shè)平行射束數(shù)量為64條，分別迭代20000次、15000次、10000次、5000次、2000次和1500次。當(dāng)投影角度數(shù)量為18時，原始圖像、(a)(b)所示，(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。、、。當(dāng)投影角度數(shù)量為36時，原始圖像、(a) (b)所示，(a)、(b