【正文】 ()注意到：則可用下列遞推公式用來計(jì)算式() [11,12]： ()其中 重建結(jié)果與分析為了對算法進(jìn)一步的此驗(yàn)證，,對該原始圖像進(jìn)行投影，利用所得的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像重建。(a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時(shí)，平行射束數(shù)量為64條，18個(gè)投影角度條件下重建圖像 (a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時(shí)，平行射束數(shù)量為64條，36個(gè)投影角度條件下重建圖像 有噪聲影響 為便于與以后的算法進(jìn)行比較，我們直接討論有噪聲影響的18個(gè)投影角度和36個(gè)投影角度條件下的圖像重建。通過式()的變換可以看出已經(jīng)將連續(xù)的無限模型變成了有限的離散模型。為方便討論，考慮射線斜率的情況，對于和的情況，可利用對稱的性質(zhì)得出。只考慮一條射線(例如號射線)的射線投影響，所修正的像素值也限于號射線經(jīng)過的那些像素。(a) 原始圖像 (b) 64*18無噪聲投影數(shù)據(jù) 原始圖像和投影數(shù)據(jù)(a)迭代20000次圖像 (b)迭代15000次圖像 (c)迭代10000次圖像(d)迭代5000次圖像 (e)迭代2000次圖像 (f)迭代1500次圖像 無噪聲時(shí)，平行射束數(shù)量為64條，18個(gè)投影角度下各重建圖像(a) 原始圖像 (b) 64*36無噪聲投影數(shù)據(jù) 原始圖像和投影數(shù)據(jù)(a) 迭代20000次圖像 (b) 迭代15000次圖像 (c) 迭代10000次圖像(d) 迭代5000次圖像 (e) 迭代2000次圖像 (f) 迭代1500次圖像 無噪聲時(shí)，平行射束數(shù)量為64條，36個(gè)投影角度下各重建圖像 有噪聲影響本文加入的噪聲同樣是以投影數(shù)據(jù)矩陣為參數(shù)的泊松噪聲。缺點(diǎn)：(1) 計(jì)算量很大，不能實(shí)時(shí)重建；(2) 模型與解析重建和代數(shù)重建相比非常復(fù)雜；(3) 與重建模型相對應(yīng)的算法實(shí)現(xiàn)也相對復(fù)雜。下面本文將對這兩個(gè)優(yōu)化準(zhǔn)則分別進(jìn)行闡釋。對于本文研究的圖像重建，可先將圖像區(qū)域離散化為像素的數(shù)字圖像。同MLEM算法，令矢量和矢量分別代表投影數(shù)據(jù)和重建圖像，MAP類算法采用的重建準(zhǔn)則為求在已知條件下尋求使下面的后驗(yàn)概率最大 () 其中為先驗(yàn)知識分布,以Gibbs先驗(yàn)知識為例。 無噪聲影響對于MLEM算法：設(shè)平行射束數(shù)量為64條，迭代次數(shù)為10次。也不難看到MAP算法比MLEM算法在抗噪聲能力方面更加突出，圖像重建效果更好。特別地，當(dāng)劃分子集數(shù)為時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)的MLEM算法[22,23]。、。 統(tǒng)計(jì)重建算法的均方誤差 MLEM重建算法。 OSEM算法迭代次數(shù)和最小均方誤差值投影角度投影分6組投影分3組投影分2組18個(gè)角度k=1,k=2,k=2,36個(gè)角度k=1,k=2,k=3,通過以上的重建結(jié)果和分析，我們完全能夠推測出將OSEM重建算法的迭代次數(shù)推至10次的結(jié)果，這也就是為什么我們該重建算法僅進(jìn)行6次迭代計(jì)算。他的諄諄教誨必將令我終生銘記。 參 考 文 獻(xiàn)[1] [D].碩士論文，大連：大連理工大學(xué)，2008[2] Radon die bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Manningfaltigkeiten[J].Ber Verh Saechs Akad Wiss . 1917,69:262~277[3] 彭蕓,李劍穎,[J].中華放射學(xué)雜志，2008, 42(10): 1117~1120[4] , filtering of transmission tomograms in high photon counting noise[J].IEEE .,1991,10(3):445~452 [5] streak artifact reduction in puted tomography resulting from excessive photon noise[J]..,1998,25:2139~2147 [6] , adaptive filtering for conventionnal and spiral ,and CT[J],2001,28:475~490[7] streak artifact reduction in puted tomography resulting from excessive photon .,1998,25:2139~2147 [8] , adaptive filtering for conventionnal and spiral ,and CT[J],2001,28:475~490 [9] [J].無損探傷,2007,31(6):18~21[10] 吳朝霞,劉力,[J]儀器儀表學(xué)報(bào),2002,23(4): 408~410[11] [M].上海:上海交通大學(xué)出版社, 1992：1~99.[12] [D].：西北工業(yè)大學(xué)，2007[13] [D].碩士論文天津：天津大學(xué)，2006[14] 周斌，王連堂，王俊杰，[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2008,44(25):46~47[15] 劉穎, 李正飛, [J]. 機(jī)械工程與自動化,2006,12(4):31~33[16] 李志鵬，叢 鵬，[J]. 核電子學(xué)與探測技術(shù),2005,25(2):184~186[17] 王振天,張麗，[J].CT理論與應(yīng)用究,2007,16(4):8~21[18] [D]. ：天津大學(xué)，2007[19] 李建， 中的應(yīng)用[J]. 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CT理論與應(yīng)用研究，2003,12(3):1~8致 謝在論文完成之際，首先感謝指導(dǎo)老師桂志國教授對我的悉心指導(dǎo)和親切關(guān)懷。 MLEM算法和OSEM算法均方誤差比較 無噪聲影響，k=6重建算法18個(gè)角度36個(gè)角度OSEM投影分6組OSEM投影分3組 OSEM投影分2組 MLEM 。有噪聲影響時(shí)，兩種投影角度下的重建圖像在k=2000處的均方誤差都有一個(gè)明顯地減小，于是我們在k=2000附近取更多的k值進(jìn)行重建實(shí)驗(yàn)，以期找到可能的最小均方誤差值。、。子集劃分有很多種形式，可以按探測器獲投影角度劃分。當(dāng)投影角度數(shù)量為36時(shí)。 MAP算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) 利用MAP算法重建過程如下：(1) 確定物理模型，計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)的投影矩陣；(2) 設(shè)定迭代次數(shù)，初始化圖像矢量，對每一個(gè)圖像象素利用式()進(jìn)行校正，完成一次迭代過程；(3) 重復(fù)步驟(2)進(jìn)行下一次的迭代過程，對圖像矢量再次校正；(4) 判斷是否達(dá)到設(shè)定的迭代次數(shù)，若達(dá)到則停止迭代，否則進(jìn)入步驟2，進(jìn)行下一次迭代。最大后驗(yàn)概率重建算法(maximum a posteriori, MAP)根據(jù)圖像的先驗(yàn)知識分布則可以有效的抑制噪聲。這里完備數(shù)據(jù)空間定義為其中表示從第個(gè)單元發(fā)射而被第個(gè)探測器探測到的光子數(shù)。 優(yōu)化準(zhǔn)則 統(tǒng)計(jì)重建問題的“病態(tài)性”使只能在一定的優(yōu)化準(zhǔn)則下考慮問題的求解。統(tǒng)計(jì)重建算法對噪聲的魯棒性和對數(shù)據(jù)的完備要求更優(yōu)，因此成為了現(xiàn)階段重建方法的研究方向。當(dāng)投影角度數(shù)量為18時(shí)，原始圖像、(a)(b)所示，(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。但目前ART尚存在計(jì)算量大，重建速度慢，無法用硬件實(shí)現(xiàn)等缺點(diǎn)，限制了其進(jìn)一步應(yīng)用[16]。將射線看成寬為，間隔為的平行射束。所以必須要將圖像近似地利用有限個(gè)參數(shù)來表示，這樣才能利用有限的已知來求解這有限個(gè)未知的參數(shù)來得到重建圖像。, 。對于空問某點(diǎn)，在某一視角必有一個(gè)隨之而定，即 ()由于是空間中任一點(diǎn)像素坐標(biāo)，故按式() )算得的并不正好為的整數(shù)倍，它可能位于與之間，即： ()這就需要進(jìn)行內(nèi)插。 經(jīng)線性內(nèi)插后的特性 濾波反投影重建算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)步驟記平移采樣點(diǎn)數(shù)為，例如取取平移采樣間隔，為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)。再者，有限的X射線源尺寸，也提供了附加的低通濾波效應(yīng)。 ()根據(jù)投影定理，投影圖像重建的問題，原則上可按如下流程求解：采集不同視角下的投影(理論上應(yīng)為范圍內(nèi)連續(xù)無窮多個(gè)投影)→求出各投影的1D傅里葉變換(即圖像2D傅里葉變換的各切片，理論上是連續(xù)的無窮多片)→匯集成圖像的2D傅里葉變換→求反變換得重建圖像。然后旋轉(zhuǎn)一角度 (例如)再同步平移步，取得新角度下的另一組數(shù)據(jù)。[8]提出了一種投影域的自適應(yīng)卷積濾波方法，這些方法的不足是沒有或僅僅較少地考慮具體噪聲的統(tǒng)計(jì)分布信息，因而重建出的圖像質(zhì)量不高，還難以在具體的臨床診斷中應(yīng)用。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，圖像重建問題重新引起了人們的興趣，相繼有不少學(xué)者進(jìn)行了卓有成效的創(chuàng)造性研究。CT的問世在放射學(xué)界引起了爆炸性的轟動，被認(rèn)為是繼倫琴發(fā)現(xiàn)X射線后，工程界對放射學(xué)診斷的又一劃時(shí)代的貢獻(xiàn)。同時(shí)將不同重建算法進(jìn)行比較，探討各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。顯然，測得與，即可知道。后者恰是通過定點(diǎn)的射線方程。 離散表示SL濾波函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)： ()相應(yīng)的沖激響應(yīng)： ()相應(yīng)的采樣序列：仍取采樣間隔，對進(jìn)行均勻采樣，即以代入式()，得： ()。首先進(jìn)行卷積計(jì)算步驟。該圖像為已經(jīng)過計(jì)算機(jī)采集所得的離散數(shù)字圖像，大小為。這里加入的噪聲是以投影數(shù)據(jù)矩陣為參數(shù)的泊松噪聲。和都取決于基函數(shù)，并且可以定義的矩陣為系統(tǒng)矩陣。首先計(jì)算一條射線與網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)射線截距取值不同為3種情況：(1) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：， ()與水平網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：； ()(2) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：， ()與水平網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：； ()(3) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：,， ()與水平網(wǎng)格線交點(diǎn)坐標(biāo)為：。下一次則考慮下一條射線即號射線。設(shè)平行射束數(shù)量為64條，當(dāng)投影角度為18時(shí)，(a)(b)所示。 統(tǒng)計(jì)重建方法原理重建圖像的過程其實(shí)就是一個(gè)求解的過程。 最大似然準(zhǔn)則(ML)重建算法EM（Expectation Maximization），被廣泛應(yīng)用于研究不完全數(shù)據(jù)極大似然估計(jì)的一種方法。與每一個(gè)象素相對應(yīng)的估計(jì)參數(shù)為，它與X射線在該處的衰減系數(shù)成正比；表示圖像矢量，其第個(gè)元素表示。對于Gibbs先驗(yàn)知識分布： () 是Gibbs參數(shù),決定了Gibbs prior對重建圖像的影響程度, 是正則化常數(shù), 為圖像的能量函數(shù), 是由鄰域內(nèi)勢函數(shù)(為鄰域中兩像素值之差)相加得到： () 其中為權(quán)重因子，代表鄰域，和為鄰域中像素和像素的像素值。當(dāng)投影角度數(shù)量為18時(shí)，(a)所示,。但統(tǒng)計(jì)重建算法所用的時(shí)間比前面兩種重建算法有大幅度地增加，這是該算法的缺點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該重點(diǎn)加以改善。OSEM算法的理論和其在實(shí)際中的應(yīng)用都已證明，無論投影數(shù)據(jù)被劃分為多少個(gè)子集，只要子集劃分個(gè)數(shù)與迭代次數(shù)的乘積確定，重建所需的時(shí)間也就一定。當(dāng)投影角度數(shù)量為36時(shí)，則原始圖像、(d)、(e)(f)所示。為了便于比較，該表中列出了迭代次數(shù)從k=1至k=10對應(yīng)重建圖像的均方誤差。以上結(jié)論同樣能夠推廣到任意多個(gè)投影角度的圖像重建情況。衷心感謝張權(quán)老師，張老師不厭其煩地幫助我解決設(shè)計(jì)中遇到的問題，糾正出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并為我每一步的前進(jìn)指明方向，給予我莫大的鼓勵和支持。而以上結(jié)論恰又和已知的理論相符合，達(dá)到了降低噪聲，提高重建速度目的。我們可以看出OSEM算法和MLEM算法同樣迭代6次，但在無噪聲影響時(shí)，OSEM算法明