【正文】 ()注意到：則可用下列遞推公式用來計算式() [11,12]： ()其中 重建結(jié)果與分析為了對算法進一步的此驗證，,對該原始圖像進行投影，利用所得的投影數(shù)據(jù)進行圖像重建。(a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18個投影角度條件下重建圖像 (a) 原始圖像 (b) 原始圖像的投影數(shù)據(jù)(c) rl重建圖像 (d) sl重建圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，36個投影角度條件下重建圖像 有噪聲影響 為便于與以后的算法進行比較，我們直接討論有噪聲影響的18個投影角度和36個投影角度條件下的圖像重建。通過式()的變換可以看出已經(jīng)將連續(xù)的無限模型變成了有限的離散模型。為方便討論，考慮射線斜率的情況，對于和的情況，可利用對稱的性質(zhì)得出。只考慮一條射線(例如號射線)的射線投影響，所修正的像素值也限于號射線經(jīng)過的那些像素。(a) 原始圖像 (b) 64*18無噪聲投影數(shù)據(jù) 原始圖像和投影數(shù)據(jù)(a)迭代20000次圖像 (b)迭代15000次圖像 (c)迭代10000次圖像(d)迭代5000次圖像 (e)迭代2000次圖像 (f)迭代1500次圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18個投影角度下各重建圖像(a) 原始圖像 (b) 64*36無噪聲投影數(shù)據(jù) 原始圖像和投影數(shù)據(jù)(a) 迭代20000次圖像 (b) 迭代15000次圖像 (c) 迭代10000次圖像(d) 迭代5000次圖像 (e) 迭代2000次圖像 (f) 迭代1500次圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，36個投影角度下各重建圖像 有噪聲影響本文加入的噪聲同樣是以投影數(shù)據(jù)矩陣為參數(shù)的泊松噪聲。缺點：(1) 計算量很大，不能實時重建；(2) 模型與解析重建和代數(shù)重建相比非常復(fù)雜；(3) 與重建模型相對應(yīng)的算法實現(xiàn)也相對復(fù)雜。下面本文將對這兩個優(yōu)化準則分別進行闡釋。對于本文研究的圖像重建，可先將圖像區(qū)域離散化為像素的數(shù)字圖像。同MLEM算法，令矢量和矢量分別代表投影數(shù)據(jù)和重建圖像，MAP類算法采用的重建準則為求在已知條件下尋求使下面的后驗概率最大 () 其中為先驗知識分布,以Gibbs先驗知識為例。 無噪聲影響對于MLEM算法：設(shè)平行射束數(shù)量為64條，迭代次數(shù)為10次。也不難看到MAP算法比MLEM算法在抗噪聲能力方面更加突出，圖像重建效果更好。特別地，當劃分子集數(shù)為時為標準的MLEM算法[22,23]。、。 統(tǒng)計重建算法的均方誤差 MLEM重建算法。 OSEM算法迭代次數(shù)和最小均方誤差值投影角度投影分6組投影分3組投影分2組18個角度k=1,k=2,k=2,36個角度k=1,k=2,k=3,通過以上的重建結(jié)果和分析，我們完全能夠推測出將OSEM重建算法的迭代次數(shù)推至10次的結(jié)果，這也就是為什么我們該重建算法僅進行6次迭代計算。他的諄諄教誨必將令我終生銘記。 參 考 文 獻[1] [D].碩士論文，大連：大連理工大學，2008[2] Radon die bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Manningfaltigkeiten[J].Ber Verh Saechs Akad Wiss . 1917,69:262~277[3] 彭蕓,李劍穎,[J].中華放射學雜志，2008, 42(10): 1117~1120[4] , filtering of transmission tomograms in high photon counting noise[J].IEEE .,1991,10(3):445~452 [5] streak artifact reduction in puted tomography resulting from excessive photon noise[J]..,1998,25:2139~2147 [6] , adaptive filtering for conventionnal and spiral ,and CT[J],2001,28:475~490[7] streak artifact reduction in puted tomography resulting from excessive photon .,1998,25:2139~2147 [8] , adaptive filtering for conventionnal and spiral ,and CT[J],2001,28:475~490 [9] [J].無損探傷,2007,31(6):18~21[10] 吳朝霞,劉力,[J]儀器儀表學報,2002,23(4): 408~410[11] [M].上海:上海交通大學出版社, 1992：1~99.[12] [D].：西北工業(yè)大學，2007[13] [D].碩士論文天津：天津大學，2006[14] 周斌，王連堂，王俊杰，[J].計算機工程與應(yīng)用,2008,44(25):46~47[15] 劉穎, 李正飛, [J]. 機械工程與自動化,2006,12(4):31~33[16] 李志鵬，叢 鵬，[J]. 核電子學與探測技術(shù),2005,25(2):184~186[17] 王振天,張麗，[J].CT理論與應(yīng)用究,2007,16(4):8~21[18] [D]. ：天津大學，2007[19] 李建， 中的應(yīng)用[J]. CT理論與應(yīng)用研究,2005,14(2):10~15 [20] 黎暉,陳陽,[J].生物醫(yī)學工程研究,2008,27(1):45~48[21] 馬建華,黃靜,[J].計算機工程與應(yīng)用,2008,44(16):4~6 [22] 任變青, [J]. 中北大學學報,2006,27(5):462~466[23] 印胤， OSEM 算法及子集劃分的研究[J]. CT理論與應(yīng)用研究，2003,12(3):1~8致 謝在論文完成之際，首先感謝指導(dǎo)老師桂志國教授對我的悉心指導(dǎo)和親切關(guān)懷。 MLEM算法和OSEM算法均方誤差比較 無噪聲影響，k=6重建算法18個角度36個角度OSEM投影分6組OSEM投影分3組 OSEM投影分2組 MLEM 。有噪聲影響時，兩種投影角度下的重建圖像在k=2000處的均方誤差都有一個明顯地減小，于是我們在k=2000附近取更多的k值進行重建實驗，以期找到可能的最小均方誤差值。、。子集劃分有很多種形式，可以按探測器獲投影角度劃分。當投影角度數(shù)量為36時。 MAP算法的計算機實現(xiàn) 利用MAP算法重建過程如下：(1) 確定物理模型，計算整個系統(tǒng)的投影矩陣；(2) 設(shè)定迭代次數(shù)，初始化圖像矢量，對每一個圖像象素利用式()進行校正，完成一次迭代過程；(3) 重復(fù)步驟(2)進行下一次的迭代過程，對圖像矢量再次校正；(4) 判斷是否達到設(shè)定的迭代次數(shù)，若達到則停止迭代，否則進入步驟2，進行下一次迭代。最大后驗概率重建算法(maximum a posteriori, MAP)根據(jù)圖像的先驗知識分布則可以有效的抑制噪聲。這里完備數(shù)據(jù)空間定義為其中表示從第個單元發(fā)射而被第個探測器探測到的光子數(shù)。 優(yōu)化準則 統(tǒng)計重建問題的“病態(tài)性”使只能在一定的優(yōu)化準則下考慮問題的求解。統(tǒng)計重建算法對噪聲的魯棒性和對數(shù)據(jù)的完備要求更優(yōu)，因此成為了現(xiàn)階段重建方法的研究方向。當投影角度數(shù)量為18時，原始圖像、(a)(b)所示，(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。但目前ART尚存在計算量大，重建速度慢，無法用硬件實現(xiàn)等缺點，限制了其進一步應(yīng)用[16]。將射線看成寬為，間隔為的平行射束。所以必須要將圖像近似地利用有限個參數(shù)來表示，這樣才能利用有限的已知來求解這有限個未知的參數(shù)來得到重建圖像。, 。對于空問某點，在某一視角必有一個隨之而定，即 ()由于是空間中任一點像素坐標，故按式() )算得的并不正好為的整數(shù)倍，它可能位于與之間，即： ()這就需要進行內(nèi)插。 經(jīng)線性內(nèi)插后的特性 濾波反投影重建算法的計算機實現(xiàn)步驟記平移采樣點數(shù)為，例如取取平移采樣間隔，為旋轉(zhuǎn)坐標。再者，有限的X射線源尺寸，也提供了附加的低通濾波效應(yīng)。 ()根據(jù)投影定理，投影圖像重建的問題，原則上可按如下流程求解：采集不同視角下的投影(理論上應(yīng)為范圍內(nèi)連續(xù)無窮多個投影)→求出各投影的1D傅里葉變換(即圖像2D傅里葉變換的各切片，理論上是連續(xù)的無窮多片)→匯集成圖像的2D傅里葉變換→求反變換得重建圖像。然后旋轉(zhuǎn)一角度 (例如)再同步平移步，取得新角度下的另一組數(shù)據(jù)。[8]提出了一種投影域的自適應(yīng)卷積濾波方法，這些方法的不足是沒有或僅僅較少地考慮具體噪聲的統(tǒng)計分布信息，因而重建出的圖像質(zhì)量不高，還難以在具體的臨床診斷中應(yīng)用。隨著科學技術(shù)的進步，特別是計算機技術(shù)的發(fā)展，圖像重建問題重新引起了人們的興趣，相繼有不少學者進行了卓有成效的創(chuàng)造性研究。CT的問世在放射學界引起了爆炸性的轟動，被認為是繼倫琴發(fā)現(xiàn)X射線后，工程界對放射學診斷的又一劃時代的貢獻。同時將不同重建算法進行比較，探討各種方法的優(yōu)缺點。顯然，測得與，即可知道。后者恰是通過定點的射線方程。 離散表示SL濾波函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)： ()相應(yīng)的沖激響應(yīng)： ()相應(yīng)的采樣序列：仍取采樣間隔，對進行均勻采樣，即以代入式()，得： ()。首先進行卷積計算步驟。該圖像為已經(jīng)過計算機采集所得的離散數(shù)字圖像，大小為。這里加入的噪聲是以投影數(shù)據(jù)矩陣為參數(shù)的泊松噪聲。和都取決于基函數(shù)，并且可以定義的矩陣為系統(tǒng)矩陣。首先計算一條射線與網(wǎng)格線交點坐標，根據(jù)射線截距取值不同為3種情況：(1) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點坐標為：， ()與水平網(wǎng)格線交點坐標為：； ()(2) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點坐標為：， ()與水平網(wǎng)格線交點坐標為：； ()(3) 若，射線與垂直網(wǎng)格線交點坐標為：,， ()與水平網(wǎng)格線交點坐標為：。下一次則考慮下一條射線即號射線。設(shè)平行射束數(shù)量為64條，當投影角度為18時，(a)(b)所示。 統(tǒng)計重建方法原理重建圖像的過程其實就是一個求解的過程。 最大似然準則(ML)重建算法EM（Expectation Maximization），被廣泛應(yīng)用于研究不完全數(shù)據(jù)極大似然估計的一種方法。與每一個象素相對應(yīng)的估計參數(shù)為，它與X射線在該處的衰減系數(shù)成正比；表示圖像矢量，其第個元素表示。對于Gibbs先驗知識分布： () 是Gibbs參數(shù),決定了Gibbs prior對重建圖像的影響程度, 是正則化常數(shù), 為圖像的能量函數(shù), 是由鄰域內(nèi)勢函數(shù)(為鄰域中兩像素值之差)相加得到： () 其中為權(quán)重因子，代表鄰域，和為鄰域中像素和像素的像素值。當投影角度數(shù)量為18時，(a)所示,。但統(tǒng)計重建算法所用的時間比前面兩種重建算法有大幅度地增加，這是該算法的缺點，在實際應(yīng)用中應(yīng)該重點加以改善。OSEM算法的理論和其在實際中的應(yīng)用都已證明，無論投影數(shù)據(jù)被劃分為多少個子集，只要子集劃分個數(shù)與迭代次數(shù)的乘積確定，重建所需的時間也就一定。當投影角度數(shù)量為36時，則原始圖像、(d)、(e)(f)所示。為了便于比較，該表中列出了迭代次數(shù)從k=1至k=10對應(yīng)重建圖像的均方誤差。以上結(jié)論同樣能夠推廣到任意多個投影角度的圖像重建情況。衷心感謝張權(quán)老師，張老師不厭其煩地幫助我解決設(shè)計中遇到的問題，糾正出現(xiàn)的錯誤，并為我每一步的前進指明方向，給予我莫大的鼓勵和支持。而以上結(jié)論恰又和已知的理論相符合，達到了降低噪聲，提高重建速度目的。我們可以看出OSEM算法和MLEM算法同樣迭代6次，但在無噪聲影響時，OSEM算法明