艾滋病療法評(píng)價(jià)及療效預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)建模論文高教社杯數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題(存儲(chǔ)版)
【正文】 ( 3 ) 由于治療 AIDS 的藥品是相當(dāng)昂貴， 193A中 4種療法使用的藥物數(shù)量和品種均不相同，針對(duì) (2)中問題，如果病人考慮各種療法費(fèi)用的情況，建立治療費(fèi)用最小，治療時(shí)間 3 短等約束條件，組成多目標(biāo)函數(shù)，通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)求解并結(jié)合問題二推斷的 4 種療法的療效，綜合評(píng)價(jià) 4 種療法的結(jié)果會(huì)有什么變化，預(yù)測(cè)繼續(xù)治療效果或確定的最佳治療終止時(shí)間又有何 改變． 模型假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明 假設(shè)部分： 1．假設(shè) CD4 細(xì)胞濃度 在問題中近似服從正態(tài)分布； 2．假設(shè)各種療法之間不存在顯著性關(guān)系． 部分符號(hào)說(shuō)明： 1． iW ： CD4 濃度指標(biāo)與 HIV 濃度指標(biāo)權(quán)重 )2,1( ?i 2． i? ：比率標(biāo)度指標(biāo) )2,1( ?i 3． t ： 被試驗(yàn)艾滋病病人的治療時(shí)間 4． X ： 表示年齡時(shí)間的段隨機(jī)變量 5． im ：第 i種療法的最佳終止時(shí)間， i=1， 2， 3， 4 6． ix ： 4,3,2,1,0 ,1 ????? iiix i 種療法不采用第 種療法采用第 模型建立及求解 本文中出現(xiàn)檢測(cè)時(shí)刻為 2周、 CD4 和 HIV濃度檢測(cè)值為空值的數(shù)據(jù)，在 [1]中分別稱刪失數(shù)據(jù)、截尾數(shù)據(jù)， 在所給大樣本的前提下（一般稱樣本值大于 30 為大樣本），利用數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)時(shí)，對(duì)結(jié)果幾乎沒有什么影響，可以忽略 刪失數(shù)據(jù)、截尾數(shù)據(jù)等 特殊數(shù)據(jù)對(duì)樣本推斷的影響． 問題 一： 若密度函數(shù) [2] )(2 1)( 22 )(2 1 ??????? ?? xexp x ???? 則稱 X 服從正態(tài)分布 ),( 2??N ． 用 MATLAB 命令擬合得 CD4 細(xì)胞濃度正態(tài)分布的均值與方差分別為： 106, 2 ?? ?? ． 則 CD4 細(xì)胞濃度的密度函數(shù)： 1062 )(12 1)( ?????tetf?， ]60,0[?t HIV 濃度與時(shí)間具有曲線關(guān)系： 1078)( 22 ??? tttf ， ]60,0[?t 4 驗(yàn)證 CD4 的正態(tài)概率圖如下左： HIV 濃度與時(shí)間曲線擬合圖如下右： 利用擬合出的函數(shù) )(1tf ， )(2tf 建立目標(biāo)函數(shù)： ?????????????1078)(m in1)(m a x221062)(12tttfetft? ????????（ 1） 該問題歸結(jié)為多目標(biāo)規(guī)劃問題，采用線性加權(quán)法求解 . 首先考慮權(quán)系數(shù)：根據(jù)艾滋病治療的目的，盡量減少人體內(nèi) HIV 的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生更多的 CD4 細(xì)胞． CD4 細(xì)胞在抵御 HIV 的入侵中起著重要作用，是人體免疫能力強(qiáng)弱的一個(gè)非常重要的量度．因此，在考慮療效的時(shí)候，可以適當(dāng)增加其權(quán)重進(jìn)行處理． 以下運(yùn)用判斷矩陣對(duì)初始權(quán)數(shù)進(jìn)行處理，確定其權(quán)系數(shù) [3]． (1)建立判斷矩陣．有二個(gè)指標(biāo) 21,?? ，通過專家評(píng)判比較后，其初始權(quán)數(shù)形成判斷矩陣（此處用表給出）： 在表中，第二行第二列的比率標(biāo)度為指標(biāo) 1? 與指標(biāo) 2? 的比較，說(shuō)明指標(biāo) 1? 比指標(biāo) 2?稍微重要，這樣，指標(biāo) 2? 與指標(biāo) 1? 比較后的比率標(biāo)度是 46 ． 兩個(gè)指標(biāo)的判斷矩陣如下表： 指標(biāo) 1? 2? 比率尺度 6 4 6/4 1 (2)計(jì)算判斷矩陣每一行各標(biāo) 度的乘積的 n 次方根： iW 表示行數(shù) )2,1( ?i 8 99 ???W 2 2 4 ???W 歸一化處理： 2 5 7 7 21??????WW 通過以上計(jì)算，確定兩個(gè)指標(biāo)的權(quán)數(shù)分別為： ， ．即 CD4 權(quán)重為 ， HIV 權(quán)重為 ． 5 由此，式（ 1）可以改寫為： )1078( in 21062 )( 2 ?????? ??? tte t? 在 區(qū)間 [0， 60]上，用 MATLAB 程序求解得到 t=37．即最佳治療終止時(shí)間為 37 周． 問題二： 在對(duì) 4種療法優(yōu)劣評(píng)價(jià)中，以 CD4 為主要依據(jù)，各種治療方法之間 dii .. （獨(dú)立同分布）．則 4種療法構(gòu)成一個(gè) 4元統(tǒng)計(jì)模型，可將該統(tǒng)計(jì)模型向兩樣本問題轉(zhuǎn)化．在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)中，設(shè) }0,)(|)({ ??????? 為一固定正態(tài)分布tFxFF 為一分布函數(shù)族，)(F? 為定義于 F 上的有限實(shí)值函數(shù)， nm yyxx , 11 ?? 和 分別為取自總體分布 )(?F 和)( ???F 的兩樣本，記為樣本 X和 Y，而 )(?F 和 )( ???F 都屬函數(shù)分布族 F ，其中 R??檢驗(yàn)問題 [4]： 或 00 00 10 10 ???? ?
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