【正文】 1 前 言 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽創(chuàng)辦于 1992 年，每年一屆， 目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競賽。競賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當(dāng)簡化加工的實(shí)際問題，不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專門知識(shí)，只需要學(xué)過高等學(xué)校的數(shù)學(xué)課程。初等數(shù)學(xué)建模方法很多，有比例關(guān)系、狀態(tài)轉(zhuǎn)移、量綱分析、類比建模等。 在⑴中，求 P的駐點(diǎn)，令 dxdp =0，解得 x=v（ 1+6001 ） +100另外，mm 5)5011( ? 是 m的單調(diào)函數(shù)，所以計(jì)算間隔越小， 5 年后的養(yǎng)老金數(shù)就越多，但不會(huì)超過連續(xù)存款和計(jì)息的極限值。實(shí)際中，對(duì)面許多時(shí)變問題都可取微小的時(shí)間段 t? 去考察某些量之 間的變化規(guī)律，從而建立問題的數(shù)學(xué)模型，這是數(shù)學(xué)建模中微分建模常用手段之一。此建模方法的出發(fā)點(diǎn)是考察某一變量的微小變化，即微元分析，找出其他一些變量與該微元間的關(guān)系式，從微分定義出發(fā)建立問題的數(shù)學(xué)模型。對(duì)取值是離散化的經(jīng)濟(jì)變量，差分方程是研究他們之間變化規(guī)律的有效方法。 線性差分方程的解法 方程 )(...110 nbxaxaxa nkknkn ???? ??? （ 1） 其中 kaaa ,..., 10 為常數(shù)，稱方程（ 1）為常系數(shù)線性方程。與此有關(guān)的一類問題是當(dāng)原始數(shù)據(jù) ),(,),(),( 1100 nn yxyxyx ?精度較高，要求確定一個(gè)初等函數(shù) )(xPy? （一般用多項(xiàng)式或分段多項(xiàng)式函數(shù)）通過已知各數(shù)據(jù)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)），即 nixPy ii ,1,0,)( ??? ，或要求得函數(shù)在另外一些點(diǎn)（插值點(diǎn)）處的數(shù)值，這便是插值 問題。或 0l （ x） =0 且 1l (x)=1。只要選取 m組測量值代入式（ 001），便得到方程組 yi＝ f（ x； c1， c2，?? cm） （ 002） 式中 i＝ 1， 2，??， m 個(gè)方程的聯(lián)立解即得 m 個(gè)參數(shù)的數(shù)值。1122 ????Ni iii Cxfy? （ 003） 取最小值：對(duì)于 y 的分布不限于正態(tài)分布來說，式（ 003）稱為最小二乘法準(zhǔn)則。若 yi 服從正態(tài)分布，可引入擬合的 x2 量， ? ?? ??? ??Ni iii Cxfyx 1222 。 優(yōu)化模型的一般形式為 : min(或 max) z=f（ x） （ 1） s． t g（ x）≤ 0.（ i=1,2，?， m） （ 2） （ x=（ x1 ， x2 ，?， xn ） T ） 由（ 1）、（ 2）組成的模型屬于約束優(yōu)化。 第三步：明確目標(biāo)要求，并用決策變量的線性函數(shù)來表示，標(biāo)出對(duì)函 數(shù)是取極大還是取極小的要求。 16 合理下料問題 假定有一批某種型號(hào)的圓鋼長 8 厘米，需要截成 厘米的毛坯 100 根，長 厘米的毛坯 200 根，問應(yīng)該怎樣選擇下料方式才能既滿足需要又使總 用料最少？ 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可將各種可能的方案列出來， 解 設(shè)決策變量 jx （ 4,3,2,1?j ）表示第 j 種方式所用的原材料根數(shù)，則問題的數(shù)學(xué)模型可歸結(jié)為：求 jx （ 4,3,2,1?j ），使得 min 4321 xxxxz ???? ?????????????).4,3,2,1(020204210023.. 432321jxxxxxxxtsj 結(jié)果為： .0,31 0 0,31 0 0,0,32 0 0 4321 ????? xxxxz 注：此問題結(jié)果不唯一，即可有多種方案，將結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際，由實(shí)際情況所限（根數(shù)為整數(shù)）也有多種選擇，但最少用 67 根。 而且，從歷年的數(shù)學(xué)建模競賽看，出現(xiàn)圖論模型的頻率極大，比如： AMCM90B－掃雪問題； AMCM91B－尋找最優(yōu) Steiner 樹； AMCM92B－緊急修復(fù)系統(tǒng)的研制 (最小生成樹 ) AMCM94B－計(jì)算機(jī)傳輸數(shù)據(jù)的最小時(shí)間 (邊染色問題 ) CMCM93B－足球隊(duì)排名 (特征向量法 ) CMCM94B－鎖具裝箱問題 (最大獨(dú)立頂點(diǎn)集、最小覆蓋等用來證明最優(yōu)性 ) CMCM98B－災(zāi)情巡視路線 (最優(yōu)回路 ) 等等。圖 G1=（ V1， E1）稱為 G的子圖，如果 V1 V， E1 E。樹有下列重要性質(zhì)： 7． 如果圖 G=（ V， E）的子圖 Gt=（ Vt， Et）是一個(gè)樹，且 Vt=V，稱 G t 是 G 的生成樹。 數(shù)學(xué)模型：圖 G 為一賦權(quán)圖，對(duì)任給的 v?V(G)，尋求軌道 P(v0,v)，使得 W(P(v0,v))=min{W(P),P 取自所有 v0 到 v 的軌道集合 } 其中 W(P)是軌道 P 上各邊 權(quán)之和。 (3) i=|V(G)|1 時(shí)停止，否則， i+1，轉(zhuǎn)到 (2)。 步驟：設(shè) G 為由 m個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的連通賦權(quán)圖。 該算法的復(fù)雜度為 O(eloge)，其中 e 是圖 G 中的邊數(shù)。 這個(gè)問題算法 的 狀態(tài)調(diào)整規(guī)則是：每次從 7 個(gè)自變量中隨機(jī)選取 14 個(gè)，讓選取的自變量隨機(jī)移動(dòng)，考慮選取的自變量在兩個(gè)方向移動(dòng)組合，從中選取最佳的作為候選者，自變量移動(dòng)的距離隨著溫度的降低而減少，為避免陷入局部極小，可以從多個(gè)隨機(jī)選取的初始值開始計(jì)算 ，算法的其它步驟同上 。 可 是悵然之后，總要說些什么。 感謝和我共度四年美好大學(xué)生活的 2020 級(jí)數(shù)學(xué)系本科班的全體同學(xué)。這篇畢業(yè)論文從開題、資料查找、修改到最后定稿，如果沒有她的 心血，尚不知以何等糟糕的面目出現(xiàn)。 23 致 謝 四年的大學(xué)生活轉(zhuǎn)眼就要說再見了， 當(dāng)自己終于可以從考研、找工作、畢業(yè)論文的壓力下解脫出來，長長地吁出一口氣時(shí)，我忽然間才意識(shí)到，原來四年已經(jīng)過去，到了該告別的時(shí)候了。 應(yīng)用舉例 CMCM91B(通訊網(wǎng)絡(luò)中的極小生成樹 )是一個(gè)求 STEINER 生成樹問題 。 (3) 重復(fù)步驟 (2)，直到 T 中有 m－ 1 條邊為止。這個(gè)問題可由克羅斯克爾 (Kruskal)算法解決。 (2) 對(duì) v?Si， min{l(v)， l(vi)+w(viv)}代替 l(v)；這樣找到點(diǎn) vi＋ 1 使得 l(v)取最小值，v(i＋ 1)?(Si 的余集 )。 G 的權(quán)最小的生成樹稱為 G 的最小生成樹。 6． 一個(gè)無圈的連通圖稱為樹。我們規(guī)定連接兩個(gè)頂點(diǎn) u、 v 至多有一條邊，且一條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)不重合，這種圖稱為簡單圖。 圖論方法已經(jīng)成為數(shù)學(xué)模型中的重要方法。 為了便于研究線性規(guī)劃問題的理論與一般解法，人們需要將任意一個(gè)線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)形式。 第二步：找出所有的限制，即約束條件，并用決策變量的線性方程或線性不等式來表示。線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法，研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問題的數(shù)學(xué)理論和方法。 21 ?？紤]各次測量是相互獨(dú)立的，故觀測值（ y1， y2，?? cN）的似然函數(shù) ? ? ? ?? ? ?????????? ??? ??Ni iiNN CxfyL 1 2 221 。都對(duì)應(yīng)于 xy 平面上一個(gè)點(diǎn)。 ① 線性插值公式 )1(1L ： 設(shè)已知 0x ， 1x 及 0y =f( 0x ) , 1y =f( 1x ), )(1xL 為不超過一次多項(xiàng)式且滿足 )( 01 xL = 0y , )(11xL = 1y ,幾何上， )(1xL 為過（ 0x ， 0y ），（ 1 x ， 1y ）的直線，從而得到 )(1xL = 0y + 01 01 xxyy??（ x 0x ） . （ 2） 為了推廣到高階問題，我們將式（ 2）變成對(duì)稱式 )(1xL =0l （ x） 0y +1l (x) 1y . 其中， 0l （ x） = 101xx xx?? ,1l (x)= 010xx xx?? 。 例如：如果 )(),()( npnpbnb mmn? 為 n 的多項(xiàng)式，則當(dāng) b 不是特征根時(shí)，可設(shè)成形如 )(nqb mn 形式的特解，其中 )(nqm 為 m 次多項(xiàng)式；如果 b 是 r 重根時(shí)，可設(shè) 特解：rnb )(nqm ，將其代入（ 8）中確定出系數(shù)即可。 模型參數(shù)的意義和作用： t 0 為初始時(shí)刻（初始年度）， p0 為初始年度 t 0 的人口總數(shù)，a 為每年的人口凈增長率， b 為人口出生率， d 為人口死亡率。這些量是變量，通常這些變量為離散型變量。 求解某些實(shí)際問題時(shí)，尋求一些微元之間的關(guān)系可以建立問題的數(shù)學(xué)模型。不妨設(shè) t 時(shí)刻容器中溶質(zhì)質(zhì)量為 s(t)，初始值為 s0 ,t 時(shí)刻容器中溶液體積為 V（ t），初 始 值為 V0 ，則這段時(shí)間 ???? ttt, 內(nèi)有??? ?????????? tvtvV tvctvcs212211 （ 1） 6 其中 ， c1 表示單位時(shí)間內(nèi)注入溶液的濃度， c 2 表示單位時(shí)間內(nèi)流出溶液的濃度，當(dāng)△t 很小時(shí)，在 ???? ttt, 內(nèi) c2 ≈)()(tVts=tvvV ts )( )( 210 ?? （ 2） 對(duì)式（ 1）兩端同除以 t? ，令 t? → 0，則有 ???????????????00212211)