東北大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文(存儲(chǔ)版)
【正文】 X 和 Y 變化后用一下過(guò)程擬合。 p8 = 。 d2 = diff(out,2)。 end for i = 1:1:1259 q(i)=sum(s(1:i))。 (,)a ? ，平均速度 0v 取 得： 3min 39。 39。 求解微分方程數(shù)值解需對(duì)模型中變量做近似，因?yàn)閮牲c(diǎn)間直線距離最短，當(dāng)直線距離為 50 米時(shí)緩和曲線取值大于 50 米，但由于緩和曲線的曲率半徑很小所以可以近似的認(rèn)為緩和曲線設(shè)置在直線長(zhǎng)度為 50 區(qū)間內(nèi)， 求解得出直線上距離入彎點(diǎn) 50 米得點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ ， ） 求解過(guò)程如下： x=[0::50]。22,(1 )( ) 1,S s S su Y u uux x k Auu y u y? ???? ??? ? ???? ???? (24) 2u 關(guān)于 x 的一系列值。 八 模型 評(píng)價(jià)與推廣 解題過(guò)程中分析了公路上行駛的汽車(chē)是否發(fā)成側(cè)滑建立了一系列模型，抓住重要因素舍棄不重要因素，對(duì)汽車(chē)的滾動(dòng)摩擦力，路面超高，滑動(dòng)摩擦力，側(cè)滑條件，能否平滑過(guò)渡等問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的討論與分析，依據(jù)物理學(xué)知識(shí)建立了第一個(gè)模型，討論了在彎道曲線上行駛時(shí)發(fā)生側(cè)滑的條件，緊接著考慮汽車(chē)剎車(chē)后在滾動(dòng)摩擦力作用下在彎道曲線上行駛的情況，整 個(gè)過(guò)程中考慮因素比較充分，模型雖然不是很復(fù)雜，但能比較好的反映出，事故發(fā)生路段的真實(shí)情況。 緩和曲線模型點(diǎn)：由于只在二維空間上建立模型，沒(méi)有考慮超高的設(shè)置情況，即路面從平面變化到傾斜面時(shí)緩和曲線段應(yīng)該將超高從 0 變化到路面值，這點(diǎn)在模型優(yōu)化中提出了改進(jìn)方案。 側(cè)滑模型缺點(diǎn)：在汽車(chē)在彎道中減速時(shí)，減速的加速度沒(méi)有考慮超高的情況，可能使減速的過(guò)程減慢。可由下面公式確定 ： min BiL p? (26) 其中 B 為旋轉(zhuǎn)軸至 行車(chē)道外側(cè)邊緣的寬度 ， i 為超高坡度與路拱坡度的代數(shù)差 。 39。39。39。 end min(f) ans = 得出要安全過(guò)彎在彎道入口處得最大速度為 速度應(yīng)為 。 min(ans) ans = 14 計(jì)算彎道 個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度 根據(jù)曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，在計(jì)算公式中，積分可變成求個(gè)段得和 matlab 實(shí)現(xiàn)代碼如下： s = sqrt(1+d1^2)。 公路彎道設(shè)計(jì)合理性求解 計(jì)算 彎道 的曲率半徑 由求得的擬合多項(xiàng)式函數(shù)及曲率半徑的公示計(jì)算可得曲率半徑為： for i = 1:1:1259 in=x(i) out(i)=p1*in^10 + p2*in^9 +p3*in^8 + p4*in^7 +p5*in^6 + p6*in^5 +p7*in^4 + p8*in^3 +p9*in^2 + p10*in+p11。 p6 = 。 要求解處此微分方 9 程解析解非常困難，本模型通過(guò)計(jì)算數(shù)值解在曲線上描點(diǎn)后擬合得出其曲線方程。39。39。21 ( )jxxL Y dx??? 。a 的取值 8 2 0min 39。 上式可化為： 2j jAR l? (14) 此公式即為緩和曲線公式，滿足此條件的螺旋線稱為 霍爾布魯克螺線 （回旋線） 。 讓司機(jī)有足夠的時(shí)間調(diào)整車(chē)頭方向，使汽車(chē)平滑入彎。設(shè)滑到 ( , )iixy 處時(shí)汽車(chē)速度為 iv ，在此處彎道的曲率半徑為 iR 。通過(guò)動(dòng)力學(xué)理論分析可求得此 最大速度。a 緩和曲線上行駛的離心加速度變化率為 39。 第一步，通過(guò)取點(diǎn)將入彎段得公路 彎道曲線 離散化，用 Hermite 插值對(duì)所取離散的點(diǎn)進(jìn)行插值處理，之后用最小二乘法擬合出在入彎處得 公路曲線的函數(shù)。 3. 汽車(chē)的轉(zhuǎn)彎半徑約等于彎道的曲率半徑?！备?近居民說(shuō)，行駛至該路段的駕駛員被前方十字路口的建筑擋住視線，駛過(guò)此路段的車(chē)輛車(chē)速都很快，一下坡就遇到紅綠燈，根本來(lái)不及剎車(chē)。(1 )( ) 1,S s S sYx x k AYY y Y y? ??? ? ??? ??? 此微分方程無(wú)法求得解析解，因此采用計(jì)算出其在 設(shè)置緩和曲線范圍內(nèi)的一系列數(shù)值解，之后通過(guò)最小二乘法對(duì)緩和曲線方程做擬合的方法近似計(jì)算緩和曲線方程。2 2220 39。 對(duì)于問(wèn)題一，首先，通過(guò)在 google 地圖上取點(diǎn)，描繪出事 故多發(fā)地彎道的曲線形狀，將屏幕坐標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為實(shí)際道路情況坐標(biāo)點(diǎn)。最后，考慮汽車(chē)在彎道上每一點(diǎn)行駛的滾動(dòng)摩擦力，結(jié)合已經(jīng)分析得出的側(cè)滑條件，計(jì)算得出在彎道上最容易發(fā)生事故的點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的進(jìn)入彎道的初始速度的值，這個(gè)值就是能順利過(guò)彎而不發(fā)生事故的速度最大值。 39。 一輛拉磚的貨車(chē)一頭撞進(jìn)路邊居民房?jī)?nèi) ，司機(jī)受傷。 在題目給定的條件下，同學(xué)們可自行設(shè)計(jì)符合題意的情景，建立你的數(shù)學(xué)模型： (1) 說(shuō)明道路設(shè)計(jì)是否合理； (2) 如道路設(shè)計(jì)不合理需要如何修改設(shè)計(jì)在最小成本的情況下得到最大改善。 四 問(wèn)題分析 通過(guò)查閱 google 地圖中當(dāng)?shù)氐匦蔚膶?shí)際情況的衛(wèi)星視圖可清楚的看到事故發(fā)生路段的地形情況，事故所發(fā)生路段 為一個(gè)直道下坡之后接一個(gè) S 型彎道如下圖所示： 3 圖片一：事故發(fā)生地地形示意圖 結(jié)合 google 地圖中的地形和照片中的路口實(shí)際情況，分析事 故發(fā)生的原因可以推斷， 汽車(chē)行駛經(jīng)過(guò)下坡路段后，車(chē)速達(dá)到較大的值 ，在不知道前方有彎道和紅綠燈的情況
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