(新)整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根定理及求解方法(存儲(chǔ)版)
【正文】 存在有理根.解：先分析系數(shù)的情況： ， ， ，取，有但。由于 及由 (△)式中 ，所以 ，但，必有 。因?yàn)榛ニ?，所以是一個(gè)本原多項(xiàng)式，根據(jù)推論由，依次類推，即得，所以。（高斯引理）兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積還是本原多項(xiàng)式。本文根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)資料，給出了關(guān)于整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的較為系統(tǒng)的求法。 專業(yè)： 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 姓名 amp。為了簡(jiǎn)化求解過(guò)程，可以先運(yùn)用本文中的相關(guān)定理，將可能的有理根的范圍盡量縮小，然后再用綜合除法進(jìn)行檢驗(yàn)，進(jìn)而求出整系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根。將代入上式得, ： 若是一個(gè)次數(shù)大于的整系數(shù)多項(xiàng)式,如果是的一個(gè)有理根,其中是互素的整數(shù),那么 若為整系數(shù)多項(xiàng)式的整數(shù)根,則為常數(shù)項(xiàng)的約數(shù),且對(duì)于.證明：因?yàn)閝是整系數(shù)多項(xiàng)式的整數(shù)根,所以,其中是整系數(shù)多項(xiàng)式.,則有.又,故,所以.當(dāng)時(shí), .因?yàn)槭浅?shù)項(xiàng),故為常數(shù)項(xiàng)的約數(shù),所以. 若整系數(shù)多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為奇數(shù),而為偶數(shù),則不是的有理根.證明：（反證法）設(shè)是的有理根,則,其中是整系數(shù)多項(xiàng)式,于是有設(shè),令,則有又因?yàn)槭瞧鏀?shù), ,等號(hào)左邊是奇數(shù),等號(hào)右邊是偶數(shù),.所以不是的有理根. （關(guān)于整根的牛頓法）【2】 如果d是整系數(shù)方程（）的整根,那么能夠整除, ,如果,那么是的根.由以上定理可得下面推論：推論 整系數(shù)多項(xiàng)式,當(dāng)(互素)是有理數(shù)時(shí),若,則是的根. 證明：因?yàn)?在上式兩邊同時(shí)乘以,則有即 . 所以是的根.第三章 整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法 整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的判定[7]存在性的判定通?？梢杂贸?shù)項(xiàng)的所有因數(shù)逐個(gè)地代入多項(xiàng)式去驗(yàn)證,但當(dāng)常數(shù)項(xiàng)較大,因數(shù)較多,多項(xiàng)式的次數(shù)較高時(shí),計(jì)算量之大,沒(méi)有計(jì)算機(jī)的幫助是很難實(shí)現(xiàn)的. 如果先判別多項(xiàng)式的不可約,或者將多項(xiàng)式分解成幾個(gè)多項(xiàng)式的積后再作判斷. 這在理論上是可行的,但實(shí)際要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)卻不是一件容易的事情. 所以,研究整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的存在性問(wèn)題,明智的選擇還是從系數(shù)開始。即，故。又由前面所述知且，為素?cái)?shù)。本文較為系統(tǒng)的綜述了整系數(shù)多項(xiàng)式有理根方面的定理及求解方法。 整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法【5】設(shè)既約分?jǐn)?shù)，多項(xiàng)式除整系數(shù)多項(xiàng)式
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