(新)整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根定理及求解方法-在線瀏覽
2025-05-25 04:11本頁面
【正文】 是的有理根.證明：（反證法）設(shè)是的有理根,則,其中是整系數(shù)多項(xiàng)式,于是有設(shè),令,則有又因?yàn)槭瞧鏀?shù), ,等號(hào)左邊是奇數(shù),等號(hào)右邊是偶數(shù),.所以不是的有理根. （關(guān)于整根的牛頓法）【2】 如果d是整系數(shù)方程（）的整根,那么能夠整除, ,如果,那么是的根.由以上定理可得下面推論：推論 整系數(shù)多項(xiàng)式,當(dāng)(互素)是有理數(shù)時(shí),若,則是的根. 證明：因?yàn)?在上式兩邊同時(shí)乘以,則有即 . 所以是的根.第三章 整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法 整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的判定[7]存在性的判定通?？梢杂贸?shù)項(xiàng)的所有因數(shù)逐個(gè)地代入多項(xiàng)式去驗(yàn)證,但當(dāng)常數(shù)項(xiàng)較大,因數(shù)較多,多項(xiàng)式的次數(shù)較高時(shí),計(jì)算量之大,沒有計(jì)算機(jī)的幫助是很難實(shí)現(xiàn)的. 如果先判別多項(xiàng)式的不可約,或者將多項(xiàng)式分解成幾個(gè)多項(xiàng)式的積后再作判斷. 這在理論上是可行的,但實(shí)際要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)卻不是一件容易的事情. 所以,研究整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的存在性問題,明智的選擇還是從系數(shù)開始。如果有一個(gè)素?cái)?shù)，使得1；2；.那么在有理數(shù)域上是不可約的.證明 如果在有理數(shù)域上可約，可以分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積：= .因此 ，因?yàn)?，因?yàn)?，都能被整除?【3】設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若能找到一個(gè)素?cái)?shù)和整數(shù),使得 (1) (2) ,但；(3) (i)當(dāng)時(shí)。 證明： (i)當(dāng)時(shí)，假設(shè)多項(xiàng)式存在有理根，則在有理數(shù)域上從而。比較兩邊系數(shù)，即得 （△） 因?yàn)槭撬財(cái)?shù)，且，由（△）知 ，所以 或 ，同時(shí)，因?yàn)椋? 且 。即，故。又因?yàn)榧? ,所以,即 ,所以,故。必有，則。 由(△)式依次類推知。又由前面所述知且，為素?cái)?shù)。 (ii)當(dāng)是正整數(shù)且時(shí)， (因?yàn)榈那闆r為上述所證明)。 整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法【5】設(shè)既約分?jǐn)?shù)，多項(xiàng)式除整系數(shù)多項(xiàng)式 所得的商式為 余式為常數(shù)，多項(xiàng)式除多項(xiàng)式所得的商式為，則(ⅰ)為的一個(gè)根的充要條件為的各系數(shù)都能被整除，并且； (ⅱ) 為的一個(gè)根的充要條件是為的一個(gè)根；(ⅲ)當(dāng)為的一個(gè)根時(shí)，證明 (ⅰ) .因是多項(xiàng)式的一個(gè)根，故存在整系數(shù)多項(xiàng)式使 從而這時(shí)，的各系數(shù)均能被整除(
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