【正文】 具的銷售量為 600 件時，再多銷售 1 件家具，那么總收入不會增加；當(dāng)家具的銷售量為 750 件時，再多銷售 1 件家具，總收入反而減少 100 元. 微分在經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用 微分的概念 微分是數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的分支，其解法和理論已經(jīng)很完善，可以為分析和求得方程的解（或數(shù)值解）提供足夠的方法，使得微分具有極大地普遍性、有效性和非常豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵. 定義 設(shè)函數(shù) 在 的鄰域內(nèi)有定義， 及 在此區(qū)間內(nèi).()yfx?0x??如果函數(shù)的增量 可表示為 （其中 A 是不00f???()YAo?依賴于 的常數(shù)） ，而 是比 高階的無窮小，那么稱函數(shù) 在點(diǎn) 是可xo?fx0微的，且 稱作幻術(shù)在點(diǎn) 相應(yīng)于自變量增量 的微分，記作 ，即A0xxdydy?當(dāng) 充分小時， .利用此關(guān)系可以簡化運(yùn)算，?dy? 微分在經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用例 1 某種載重卡車行駛 500mile 路程的總成本 （美元）是其平均速率()Cv內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文10的函數(shù)(/)vmileh 450()12Cvv?? 試求當(dāng)平均速率由 55 mile/h 增加到 58 mile/h 時, 其總成本改變量的近似值.解 5,583vdv??? 所以 52404039。()d??其中，積分常數(shù) 可由條件 (0)q內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文12也可由定積分直接求出供給函數(shù) 39。 00()()0l()10ppqddp???????例 5 某種名牌女士鞋價格 （元）關(guān)于需求量 （百雙）的變化率為 ，x12Qq??如果銷售量 （百雙）時，每雙售價為 500 元，求這種名牌女士鞋的需求函3x數(shù) .()p解 由已知可求出價格 和需求量 的函數(shù)關(guān)系px內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文14339。 . ()()84 | 1qqqqCdede????????例 8 某跨國公司制造一種便捷式烤爐，生產(chǎn)這種烤爐的日邊際成本為， 表示這種產(chǎn)品每天的生產(chǎn)量，生產(chǎn)這39。0022()()(1) 1|qqRdd?????所以生產(chǎn) 40 個單位時的收入為 ，(4)40()??百 元平均收入為 ，(40)60/)?百 元 單 位如果再增加生產(chǎn) 20 個單位，則總收入增加為 22(6)(1)(140)R??????（ ）可見，增加生產(chǎn)量，使收入最大化，是值得重視的問題.例 10 勞力士表公司的管理者證實(shí)，該公司每天銷售旅游手表的邊際收入函數(shù)為 其中 是銷售量，39。 00039。()25Rq??39。()134085tFte?? 50550()(1348 []| e?????????六． 由邊際函數(shù)求最優(yōu)化問題根據(jù)求函數(shù)極值的方法，下面我們討論經(jīng)濟(jì)中的一些最優(yōu)化問題.例 14 已知某商品的邊際成本為 （萬元/臺） ，固定成本為 100 萬元，39。 ??內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文20，QALK???其中， 、 、 為常數(shù). 是兩個變量 、 的函數(shù)，該函數(shù)稱為0A??0??柯布() 道格拉斯 ()生產(chǎn)函數(shù).某擴(kuò)音器制造生產(chǎn)的擴(kuò)音器系統(tǒng)既可以整套出售，也可以散件出售供消費(fèi)、散件每周的需求量分別為 套、 套，xy零售價分別為 元/套、 元/套，每周的需求方程為pq，13048xy??132408qxy??則每周該公司的收入函數(shù)為 ??,Rxyp?2113302404883xyxy????????????????就是兩個變量的函數(shù).??,Rxy購買大宗商品（如住房、汽車等） ，一般需要向銀行抵押貸款，按月償還.一筆總額 元的貸款， 年還清，年利率為 ，每月的還款額為Atr（元）??12,12[]tAPfArt?????????這里 是三個變量 、 、 90000 元的住房貸款，30 年還清，Prt年利率 ℅，每月的還款額為10（元）????,.[]f ???????????考慮柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) QALK???假設(shè)資金 保持不變，則產(chǎn)量 可以看作是勞動力 的一元函數(shù)，由一元函數(shù)K求導(dǎo)公式，可得 1LAK?????類似地，假設(shè)勞動力 保持不變，則產(chǎn)量 可以看作是資金 的一元函數(shù)，由LQ內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文21一元函數(shù)求導(dǎo)公式，可得 1KQAL?????這種由一個變量變化、而其余變量保持不變所得到的倒數(shù)，稱為多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).例 1 第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束后，某個國家在經(jīng)濟(jì)恢復(fù)時期的生產(chǎn)函數(shù)為 ??213,0fxy?其中 為同期投入的勞動力數(shù)量， （1）試計(jì)算 ， ；xf?y（2）當(dāng)某時刻勞動力投入 125（單位） 、資金投入為 27（單位）時，分別求關(guān)于勞動力、.解 （1）1133200x yf x???????????2233yfy??（2）當(dāng) 、 時，125x?71327(125,)05xf????????其含義表示：當(dāng)勞動力投入 125（單位） 、資金投入為 27（單位）時，勞動力再增加投入一個單位，生產(chǎn)量將增加 12 個單位. 2310(125,7)09yf????????其含義表示：當(dāng)勞動力投入 125（單位） 、資金投入為 27（單位）時，資金再增加投入一個單位，生產(chǎn)量將增加 ，增加資9金的投入可以更快速有效地增加生產(chǎn)，恢復(fù)經(jīng)濟(jì).例 2 某 公 司 銷 售 一 種 新 型 節(jié) 能 產(chǎn) 品 ， 現(xiàn) 準(zhǔn) 備 從 國 內(nèi) 和 國 外 兩 種 銷 售 方 案 中 選 擇一 種 進(jìn) 行 銷 售 ． 若 只 在 國 內(nèi) 銷 售 ， 銷 售 價 格 （ 元 /件 ） 與 月 銷 量 （ 件 ） 的 函 數(shù)yx關(guān) 系 式 為 ， 成 本 為 20 元 /件 ， 無 論 銷 售 多 少 ， 每 月 還 需 支 出 廣150yx???告 費(fèi) 62500 元 ， 設(shè) 月 利 潤 為 （ 元 ） ．w內(nèi)若 只 在 國 外 銷 售 ， 銷 售 價 格 為 150 元 /件 ， 受各種不確定因素影響，成本為a 元/ 件（ 為常數(shù)， ） ，當(dāng)月銷量為 x（件）時，每月還需繳納14a? 元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤為 w 外 （元） ．210x內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文22（1）當(dāng) = 1000 時， = 元/件，w 內(nèi) = 元；xy（2）分別求出 w 內(nèi) ，w 外 與 x 間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫 x 的取值范圍） ；（3）當(dāng) 為何值時，在國內(nèi)銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國內(nèi)銷售月利潤的最大值相同，求 a 的值；（4）如果某月要將 5000 件產(chǎn)品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在國內(nèi)還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大？解（1）當(dāng) 時，10x?225014104ya?????＋(5)265011625007wxx??????內(nèi) ＋ ＋（2） 2(5)0625130wxx??內(nèi) ＋＋ 2()0ax?外（3）由（2）可知 21(65)30w??內(nèi) 所以當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 取最大值 ()a??21()ax??外3a（4）當(dāng) 時，5x21(650)3750w??內(nèi)當(dāng) 時，可解得370?外 .a?所以當(dāng) 時，國內(nèi)和國外銷售所獲月利潤相等；所以當(dāng) 時，國外銷售所獲月利潤較大；05??所以當(dāng) 時，例 3 為迎接第四屆世界太陽城大會，德州市把主要路段路燈更換為太陽能路內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文23燈．已知太陽能路燈售價為 5000 元/個，目前兩個商家有此產(chǎn)品．甲商家用如下方法促銷：若購買路燈不超過 100 個，按原價付款；若一次購買 100 個以上，且購買的個數(shù)每增加一個，其價格減少 10 元，但太陽能路燈的售價不得低于3500 元/個．乙店一律按原價的 80℅銷售．現(xiàn)購買太陽能路燈 個，如果全部在x甲商家購買，則所需金額為 元；如果全部在乙商家購買，則所需金額為 2y（1）分別求出 、 與 之間的函數(shù)關(guān)系式；1y2x（2）若市政府投資 140 萬元，最多能購買多少個太陽能路燈？解（1）由題意可得 2150,??????????（2）若市政府投資 140 萬元，經(jīng)計(jì)算可知在甲商家購買比較實(shí)惠，最多能購買??例 4 某賓館有 50 個房間供游客住宿，當(dāng)每個房間的房價為每天 180 元時，房間會全部住滿．當(dāng)每個房間每天的房價每增加 10 元時，就會有一個房間空閑．賓館需對游客居住的每個房間每天支出 20 元的各種費(fèi)用．根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于 340 元．設(shè)每個房間的房價每天增加 元（ 為 10 的x整數(shù)倍） ．（1）設(shè)一天訂住的房間數(shù)為 ，直接寫出 與 的函數(shù)關(guān)系式及自變量 的取yyx值范圍；（2）設(shè)賓館一天的利潤為 w 元，求 w 與 的函數(shù)關(guān)系式；（3）一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？解（1）由題意可得 5016yx???（2） (18)wy?0(5x 239016x???（3）由（2）可知 210wx?內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文24210(6)40x???所以當(dāng)一天訂住 16 個房間時，賓館的利潤最大，最大利潤是 6440 元.例 5 某商店經(jīng)營一種小