數(shù)列習(xí)題課(一)(存儲版)
【正文】 ___.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列答案 解析 易知{an}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝32n－1，∴bn＝＝.{an}中，a1＝1，an＋1＝an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 累乘法求通項(xiàng)答案 n解析 an＝2n－1＝.即an＝.{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－3an(n∈N*).(1)求a3，a4的值；(2)證明：數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列；(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列(1)解 a3＝4a2－3a1＝13，a4＝4a3－3a2＝40.(2)證明 ∵an＋2＝4an＋1－3an，∴an＋2－an＋1＝3(an＋1－an).又a1＝1，a2＝4，∴＝3，則{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.(3)解 由(2)得an＋1－an＝3n，則當(dāng)n≥2時，an－an－1＝3n－1，故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝＝.又a1＝1適合上式，故an＝，n∈N*.?！?12223…2n－1，即＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝，故an＝a1＝.故選C.(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1 (n＝2,3,4…)，求{an}的通項(xiàng)公式.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) an＋1＝pan＋f(n)型解 ∵當(dāng)n＝1時，a1＝1，當(dāng)n≥2時，這n－1個等式累加得，an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝，故an＝＋a1＝且a1＝1也滿足該式，∴an＝(n∈N*).例3 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列解 遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，則t＝－3.故遞推公式為an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以bn＝42n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.反思與感悟 型如an＋1＝pan＋q(其中p，q為常數(shù)，且pq(p－1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項(xiàng)公式，步驟如下：第一步 假設(shè)將遞推公式改寫為an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步 由待定系數(shù)法，解得t＝；第三步 寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；第四步 寫出數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練3 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋35n，a1＝6，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) an＋1＝pan＋f(n)型解 設(shè)an＋1＋x5n＋1＝2(an＋x5n)，①將an＋1＝2an＋35n代入①式，得2an＋35n＋x5n＋1＝2an＋2x5n，等式兩邊消去2an，得35n＋x5n＋1＝2x5n，兩邊除以5n，得3＋5x＝2x，則x＝－1，代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n).②由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，則＝2，則數(shù)列{an－5n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n.類型三 利用前n項(xiàng)和Sn與an 的關(guān)系求通項(xiàng)公式例4
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1