數(shù)列中的存在性問題-經(jīng)典(教師)(存儲(chǔ)版)
【正文】 ）；例【無錫市2010年秋學(xué)期高三期末考試】 由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表，用表示第行第個(gè)數(shù)（），使，每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)的之和。3n+1 – 3n+2 – 3n ) = 0即– (4 – p2)例1【2012上海一聯(lián)】設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成公差為的等差數(shù)列(如：在與之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列，其公差為；在與之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列，其公差為，…以此類推)，設(shè)第個(gè)等差數(shù)列的和是. 是否存在一個(gè)關(guān)于的多項(xiàng)式，使得對(duì)任意恒成立？若存在，求出這個(gè)多項(xiàng)式；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)對(duì)于(2)中的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)(其中正整數(shù)成等差數(shù)列)成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說明理由.解：(1)設(shè)，由知，………2分解得， ∴…………………………………………………………4分(2)依題意，；要使，則，…………………………………8分∴，即存在滿足條件；………10分(3)對(duì)于(2)中的數(shù)列，若存在不同的三項(xiàng)(其中正整數(shù)成等差數(shù)列)成等比數(shù)列，則，即∵，∴，即………………………………………14分由①②可得，與是不同的三項(xiàng)矛盾，∴不存在不同的三項(xiàng)(其中正整數(shù)成等差數(shù)列)成等比數(shù)列. …16分第 11 頁 共 11 頁。N* )所以 [(2 + p)3n+1 + ( 2 – p)]2 – [{2 + p)3n + (2 – p)][(2 + p)3n+2 + (2 – p)] = 0(n206?！?分⑶證明：由⑵知， ……………………………………………10分若三個(gè)不同的項(xiàng)成等比數(shù)列，、為非負(fù)整數(shù)，且，則，得， ……………………………12分若，則，得==，這與矛盾。從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)；綜上，當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。專題：數(shù)列中的存在性問題 單存在性變量解題思路：該類問題往往和恒成立問題伴隨出現(xiàn)（否則就是一個(gè)方程有解問題，即零點(diǎn)問題），可以先假設(shè)存在，列出一個(gè)等式，通過化簡，整理成關(guān)于任意性變量（一般為n）的方程，然后n的系數(shù)為0，構(gòu)造方程，進(jìn)而解出存在性變量，最后檢驗(yàn)。由得，設(shè)，則是上的減函數(shù)，∴ 的解只有一個(gè)從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有符合要求）。
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