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正文內(nèi)容

機械振動--第07課頻率方程、振型與正則坐標(存儲版)

2025-04-21 04:16上一頁面

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【正文】 則坐標 2022年 4月 14日 主要內(nèi)容 ? 頻率方程與特征值問題 ? 坐標耦合 ? 模態(tài)正交性與主坐標 主要內(nèi)容 ? 頻率方程與特征值問題 ? 坐標耦合 ? 模態(tài)正交性與主坐標 頻率方程與特征值問題 設(shè) n 自由度系統(tǒng)運動方程 0KxxM ???? ( 1) 的解為 steXx ? ( 2) 即設(shè)系統(tǒng)的各坐標作同步協(xié)調(diào)振動。對于任何一個 n自由度振動系統(tǒng),總可以找到 n 個固有頻率和與之對應(yīng)的 n 階主振型。 ? 通過適當?shù)倪x擇坐標,可以將系統(tǒng)的運動方程表示成既無靜力耦合又無動力耦合的形式。同樣可以證明第 i階固有振動的廣義彈性力在第 j階固有振動的微小位移上的元功之和也等于零,因此不同階固有振動之間也不存在勢能的轉(zhuǎn)換,或者說不存在彈性耦合。 由前面的討論可知 , 主振型矩陣 U與正則振型矩陣 , 均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對角陣 。因此,位移響應(yīng)向量是各階模態(tài)貢獻的疊加的結(jié)果,而不是模態(tài)耦合的結(jié)果。任何一階主振型的存在,并不依賴于其他主振型是否同時存在。 因此 , 系統(tǒng)的運動微分方程中既有動力耦合又有靜力耦合 。 i j?i j? iii M?Muu TniK iii ,3,2,1 ,T ???uKuKi稱為第 i階主剛度或第 i階模態(tài)剛度; Mi稱為第 i階主質(zhì)量或第 i階模態(tài)質(zhì)量。 另外 , 當一個微分方程式中出現(xiàn)兩個以上的加速度項時 , 稱為在坐標之間有 動力 耦合或質(zhì)量 ( 慣性 ) 耦合 。 頻率方程與特征值問題 將各個固有頻率代入式 ( 4) ? ? 0XKM ??2s ( 4) 可分別求出對應(yīng)的 X 。將式 ( 3,2 2) 代入式 ( 3,2 1) ,得到 ? ? 0XKM ??sts e2 ( 3) 由于 0e ?st,所以有 ? ? 0XKM ??2s ( 4) 即 MXKX2s?? ( 5) 頻率方程與特征值問題 在線性代數(shù)中,形如 BxAx ?? 稱為 廣義特征值問題 ,如果矩陣 B 可逆,可以將 上式表示成我們在線性代數(shù)中學過的 特征值問題 xAxB ??? 1 對于式 ( 3. 2 4) ,令 KMA ??2s ( 5) 稱為特征矩陣。 例題 試求圖示兩個自由度系統(tǒng)振動的固有頻率和主振型。 ? 采用主坐標或正則坐標可以使運動方程解耦。 對于每一個主振動來說,它的動能和勢能之和是個常數(shù)。 因此 , 可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進行坐標變換 , 以尋求主坐標或正則坐標 。各階模態(tài)之間是不耦合的。而在模態(tài)坐標系統(tǒng)中,第 i 個模態(tài)坐標代表在位移向量中第 i階主振型(模態(tài)振型)所作的貢獻。 ??????jijiji ,0 ,1~
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